流體力學(xué)的基本概念

1、第一章 流體力學(xué)的基本概念主要內(nèi)容描述流體運動的兩種方法速度分解定理 變形速度張量 本構(gòu)方程漩渦運動的基本概念一、拉格朗日法 第一節(jié) 描述流體運動的兩種方法拉格朗日法是從分析各個流體質(zhì)點的運動狀態(tài)著手來研究整個流場的流體運動的。該方法的基本思想是：從某個時刻開始跟蹤每一個流體質(zhì)點，記錄這些質(zhì)點的位置、速度、加速度及其它物理參數(shù)的變化。這種方法是離散的質(zhì)點運動描述方法在流體力學(xué)中的推廣。該方法的分析公式為 式中： 為初始時刻時任意流體質(zhì)點的坐標(biāo)。對于某一確定的流體質(zhì)點， 為常數(shù)，式（1-1）表示其運動軌跡。不同的流體質(zhì)點在 時刻處于不同的位置，即 的值不同。通常稱區(qū)別不同流體質(zhì)點的 為拉格朗日變

2、數(shù)，它只是流體質(zhì)點標(biāo)號的函數(shù)。（1-1）流體質(zhì)點的矢徑： 速度和加速度：拉格朗日法初看容易理解，但就某些特定問題來求解方程是很困難的。歐拉法是從分析流場空間點上物理量的變化著手來研究整個流場的流體運動情況。該方法的基本思想是：研究運動特征量和其它物理量在流場中的分布以及隨時間的變化規(guī)律。顯然，該方法與拉格朗日法不同，歐拉法的著眼點不是流體質(zhì)點，而是流場中的空間點，在不同的時刻有不同的流體質(zhì)點經(jīng)過空間某個固定點，由于流場中某個點的速度是可測的，因此速度矢量是用于描述流體變化狀態(tài)的基本量。二、歐拉法 其它物理量如壓強(qiáng)、溫度、密度均可表示為流體質(zhì)點加速度的表達(dá)式 方程右邊的第一項為當(dāng)?shù)丶铀俣?，是由?/p>

3、場的不定常性引起的；第二項為遷移加速度，是由流場的不均勻性引起的。引進(jìn)幾種符號： 是自由指標(biāo)，可取1、2、3 ; 表示一個矢量的三個分量，其中 （1）(2) 約定求和法則 為書寫簡便，約定在同一項中若有兩個自由指標(biāo)相同時則表示要對這個指標(biāo)從1到3求和 ;補(bǔ)：張量表示法直角坐標(biāo)系中的單位矢量，可分別依次用表示。 2）1）在張量表示法中將坐標(biāo)改寫為，分別表示坐標(biāo) 。角標(biāo)1、2、3 分別表示角標(biāo) ；三、隨體導(dǎo)數(shù) 在拉格朗日法中，速度對時間的偏導(dǎo)數(shù)表示流體質(zhì)點的速度對時間的變化率，即加速度。而在歐拉法中，速度對時間的偏導(dǎo)數(shù)則只表示流場固定點上速度對時間的變化率。為了表示屬于某流體質(zhì)點的物理量（如速度、

4、溫度、壓強(qiáng)等）隨時間的變化率，把在歐拉法中引進(jìn)的運算符號稱為隨體導(dǎo)數(shù)（或稱為質(zhì)點導(dǎo)數(shù)） 式中： 為流場中的任一物理量，它可以是矢量或標(biāo)量，右邊第一項、第二項分別稱為當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)和遷移導(dǎo)數(shù)。通過上述分析可見： 采用歐拉法描述流體運動常常比采用拉格朗日法優(yōu)越，其原因不僅在于采用歐拉法可利用場論分析這一數(shù)學(xué)工具，更主要的是在解決工程問題時通常沒有必要知道每個流體質(zhì)點的詳細(xì)歷史，因此在流體力學(xué)的研究中歐拉法得到了廣泛的應(yīng)用。當(dāng)然，這并不意味著可以忽略拉格朗日法的應(yīng)用價值，因為在計算流體力學(xué)中研究某些問題時采用拉格朗日法還是很方便的。實際上，在歐拉法隨體導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式中，已用到了短時間追蹤流體質(zhì)點的拉格朗日觀

5、點。第二節(jié) 速度分解定理由理論力學(xué)可知，任何一剛體的運動可分解為平動和轉(zhuǎn)動之和 為剛體中任選一點o的平動速度, 為剛體繞o點轉(zhuǎn)動的瞬時角速度， 為要確定速度的那一點到 o 點的矢徑. 為剛體的速度分解定理 對于流體，其運動要比剛體復(fù)雜的多，除平動和轉(zhuǎn)動外，還有變形運動。下面討論流體微團(tuán)運動速度的分解。(b)圖1-1純剪切流動的運動分解(a)(c)(d)1423yxO1423332211441111332 22443322441由圖可見，在某一時刻 取的正方形流體微團(tuán)1234，在經(jīng)過 時刻后運動到新的位置，且由于速度分布不均變成菱形1234，流體微團(tuán)的這種變化可看成三種運動的復(fù)合：1）平動，將微

6、團(tuán)1234右移，并使3與3、4與4重合圖1-1（b）；2）轉(zhuǎn)動，使正方形繞4軸轉(zhuǎn)動，直至對角線42與42重合圖1-1（c），則其轉(zhuǎn)角為242；3）變形，剪切正方形1234，并拉伸42對角線，使2與2重合圖1-1（d）。由此可見，這種流線都是直線的簡單流動，也還是由平動、轉(zhuǎn)動、變形這三種運動形式復(fù)合而成的。 分析一般情況下流體運動的分解 為一階小量 圖1-2 流體微團(tuán)示意圖利用張量表示法可寫成:為一個二階張量，它可以進(jìn)一步分解為一個對稱張量和一個反對稱張量之和. 右邊第一項用 表示，稱之為變形速度張量（或變形率張量）。在直角坐標(biāo)系下展開，可得關(guān)于二階張量：(1)矢量可視為一階張量： (2)兩個矢

7、量的并矢所得之新張量的階次是兩張量的階次之和,并矢又稱為兩矢量的外積。定義兩個矢量的并矢為 對應(yīng)的矩陣運算為 令可構(gòu)成一新的二階張量 （3）任一個二階張量均可用下式表示，以方便運算（4）二階單位張量可用兩個單位矢量 和 的并矢來表示，即( 5 ) 克羅尼克符號式中： 稱之為線變形速率 稱之為剪切變形速率 為一對稱張量，它只有六個獨立的分量。右邊第二項用 表示，在直角坐標(biāo)系下展開，可得 為一反對稱張量，它只有三個獨立的分量，其對應(yīng)的物理量表示流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度 于是 為反對稱張量右點乘一矢量可寫成 即為亥姆霍茲（Helmholtz）速度分解定理的一般形式，它描述了流體微團(tuán)上任意點與參考點之間的

8、速度關(guān)系 寫成矢量形式 為轉(zhuǎn)動速度，由流體微團(tuán)繞通過 點的瞬時軸線旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生. 為平動速度； 為變形速度，由流體微團(tuán)變形引起，其特征量是二階對稱張量 , 這也是稱 為變形速度張量的由來; 亥姆霍茲速度分解定理可敘述為：流體微團(tuán)的運動速度可分解為平動速度、轉(zhuǎn)動速度和變形速度三部分之和（矢量和）。該定理的重大意義在于它把流體的變形運動和旋轉(zhuǎn)運動從一般運動中分離了出來，這對研究流體的運動規(guī)律是非常重要的。因為當(dāng)研究流體受力時，其作用面上的表面力與流體的變形速度直接相關(guān)；當(dāng)流體無旋流動時，可應(yīng)用勢流理論去研究流體的運動。第三節(jié) 變形速度張量 稱為角變形速度 軸平行的微元線段 的物理意義分別為：過 點且

9、分別與 軸、 軸、 在單位時間內(nèi)的相對伸長量或相對壓縮量，故稱之為線變形速度或線變形速率。 表明微分符號 與 可以對換 于是有 散度相對體積膨脹率 圖1-3 微元線段示意圖M0Myxz（b）（a）MM0表明微分符號與可以對換 即相對體積膨脹率為零，是流體不可壓縮的條件。 物理意義為過 點且與坐標(biāo)軸平行的微元正交線段夾角在單位時間內(nèi)的減少量，稱之為角變形速度或剪切角速度。變形速度張量有三個不變量，變形速度張量的各分量在某一固定的坐標(biāo)系下其大小是固定的。當(dāng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到另一位置時，其分量將發(fā)生變化，但它有三個不隨坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)而改變的不變量，即根據(jù)對稱張量的性質(zhì)，存在著一個使得非對角線上的分量均為零的

10、坐標(biāo)系位置，稱這個位置的三個坐標(biāo)軸為主軸，此時的 改用 表示，稱為主相對拉伸速度或變形率主值。變形速度張量變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式例1-1 設(shè)平面剪切運動速度分布為 試求： 1）流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度 和旋轉(zhuǎn)速度 ; 2）變形速度張量 及變形速度 ; 3）主值及變形速度張量的標(biāo)準(zhǔn)形式。第四節(jié) 應(yīng)力張量本節(jié)主要分析作用在所研究流體上的力及其性質(zhì)。圖1-5 作用在界面上的表面力和應(yīng)力yxzV一、質(zhì)量力和表面力表面力也可由其表面上的力分布密度或應(yīng)力表示 （1-35） 是作用在界面上包圍 點的某一小面積 上的力，式（1-35）表示作用在 點上以 為外法線的單位面積上的表面力（即應(yīng)力）。 在靜止流體中，作用在單位面積

11、上的表面力沿作用面的內(nèi)法線方向，其大小與作用面所處的方位無關(guān)，即靜止流體中某一點的靜壓強(qiáng)各方向均相等，只是空間坐標(biāo)的函數(shù)。 對于運動的理想流體，由于忽略了粘性，因此不存在切向應(yīng)力，只有垂直于作用面的法向應(yīng)力（即壓強(qiáng)），且其數(shù)值也與作用面所處的方位無關(guān)。但對于運動的粘性流體，在作用面上除法向應(yīng)力外，還存在切向應(yīng)力。因此，在粘性流體中應(yīng)力的大小和方向不僅取決于作用面所處的方位，而且還隨著空間點的不同而變化，即表示粘性流體中的應(yīng)力需要兩個矢量，一是作用面的法線方向，二是應(yīng)力本身的方向。質(zhì)量力為 作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力 由于粘性的原因，應(yīng)力 一般不垂直于作用面。 沒有選擇指向作用面是為了討論問題

12、的方便，并不表明流體承受拉力。第一個角標(biāo)表示應(yīng)力作用面的法線方向，第二個角標(biāo)表示應(yīng)力的投影方向。 在三個坐標(biāo)軸上的投影 二、應(yīng)力張量根據(jù)達(dá)朗貝爾（Alembert）原理，上述各種力應(yīng)處于平衡狀態(tài)。當(dāng)微元四面體向M點收縮時，由于質(zhì)量力和慣性力與表面力相比是高一階小量，可不考慮其作用。該分析也說明流體在運動時，作用在所研究微元面上的表面力的合力應(yīng)保持平衡. yMABC圖1-6 微元四面體的受力分析xzAB （1-39） （1-41） 稱為應(yīng)力張量。根據(jù)力矩平衡原理或應(yīng)用動量矩原理，可以證明 。 、為單位矢量，、=1、2、3時分別表示、與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，為一張量不變量. 現(xiàn)給出平均壓強(qiáng)的定義 “”

13、號表示壓強(qiáng)的指向為作用面的內(nèi)法線方向。 對于不可壓縮流體（液體和低速運動的氣體），；對于可壓縮流體（高速運動的氣體）， 流體的體積在運動過程中發(fā)生膨脹或壓縮，將引起平均法向應(yīng)力 值發(fā)生 的變化. 。 稱為第二粘性系數(shù)。對于單原子氣體，在壓強(qiáng)不太高的條件下和像空氣這樣的雙原子氣體在溫度不太高的情況下，可近似認(rèn)為對于一般性的表達(dá)式 在理想流體中的應(yīng)力張量為 單位張量 第五節(jié) 本構(gòu)方程對運動的粘性流體，應(yīng)力與變形速度之間的關(guān)系稱為本構(gòu)方程，又稱為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律。 應(yīng)力與角變形速度之間的關(guān)系。如圖1-8所示，其角變形速度為圖1-8 切向應(yīng)力與角變形速度的關(guān)系牛頓內(nèi)摩擦定律可寫成如下形式對于一般的粘

14、性流體的運動，要從理論上或通過實驗直接導(dǎo)出應(yīng)力張量與變形速度張量之間的關(guān)系是困難的。斯托克斯（Stokes）在推導(dǎo)本構(gòu)方程時，曾作了如下三個假設(shè)：1、應(yīng)力與變形速度成線性關(guān)系，與流體的平移和旋轉(zhuǎn)無關(guān)。這是牛頓內(nèi)摩擦定律邏輯上的推廣，根據(jù)這一假設(shè)將牛頓內(nèi)摩擦定律拓展寫成或 2、流體是各向同性的。各向同性的含義是指流體的所有性質(zhì)如粘性、熱傳導(dǎo)等物性在任一點的各個方向上都是相同的，即流體的性質(zhì)不依賴于流動方向或坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。也就是說無論坐標(biāo)系怎么選取，流體中的應(yīng)力與變形速度之間的關(guān)系都相同。所有氣體都是各向同性的，大部分簡單流體如水等也是各向同性的。3、當(dāng)流體靜止時，變形速度為零，流體中的應(yīng)力就是流

15、體靜壓強(qiáng)。靜止流體中的應(yīng)力可表示為 為克羅內(nèi)克（Kronecker）符號 要保持式（1-51）的線性關(guān)系，坐標(biāo)系的變化不應(yīng)影響系數(shù)的大小。 （1-51）和分量線性相加可得只能由的線性不變量來確定。將式（1-51）中的對角線對于第二粘性系數(shù) 的流體 對于不可壓縮流體（液體和低速運動的氣體）、單原子氣體在壓強(qiáng)不太高的條件下、像空氣這樣的雙原子氣體在溫度不太高的情況下。 （1-54） （1-55） 稱為本構(gòu)方程或廣義牛頓內(nèi)摩擦定律。凡是遵從廣義牛頓內(nèi)摩擦定律的流體稱為牛頓流體。反之，稱為非牛頓流體。大多數(shù)常見流體如水和空氣均屬于牛頓流體。對式（1-55）寫出應(yīng)力張量與變形速度張量各分量之間的關(guān)系，即

16、（1-54） （1-55） （1-56）對于不可壓縮流體， （1-57） （1-56） （1-56）（1-58） 第六節(jié) 旋渦運動的基本概念本節(jié)討論流體作有旋運動時的一些基本概念，對于在工程流體力學(xué)中學(xué)習(xí)過的內(nèi)容，只作簡單的闡述。一、渦量及渦通量流體運動速度的旋度稱為渦量 在幾何上表征渦量場的一些概念如同在幾何上表征速度場一樣，可引進(jìn)渦線、渦面和渦管的概念，它們與流線、流面和流管的定義是相似的。 圖1-9渦線、渦面、渦管示意圖在流場中取一有限曲面，作面積分可得 稱為渦量通過該曲面的渦通量。若曲面為渦管的任意截面，則稱為渦管通量，又稱為渦管強(qiáng)度。若曲面是封閉的，則通過封閉曲面的渦通量可直接由高斯定理求出，即通過有旋流場的任一封閉曲面的渦通量為零，這是有旋流場的一個重要特性。二、速度環(huán)量速度環(huán)量是與渦通量有著密切聯(lián)系的一個物理量，是流體力學(xué)的重要的基本概念之一。 速度環(huán)量與渦通量之間的關(guān)系由斯托克斯定理給出張于封閉曲線上 規(guī)定逆時針積分方向為的正方向 A圖1-10 速度環(huán)量與渦通量dAs速度環(huán)量和渦通量雖然都能表征渦旋的強(qiáng)