2022年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)線性代數(shù)期末試題doc

1、中 國 科 學(xué) 技 術(shù) 大 學(xué)20222022 學(xué)年第 1 學(xué)期考試試卷考試科目 : 線性代數(shù) 得分 : 同學(xué)所在系 : 姓名: 學(xué)號一、填空題（每題 5 分,共 40 分）11 2 2（1）0 1 2 . 0 0 14（2）向量 1 ,1 2 , 1 4, , 2 ,9 100 , 10 , 4 , 3 2 , 4 , 2 , 8 生成的 R 的子空間的維數(shù)等于；（3）設(shè) n 階方陣 A 滿意 A 2 A-2I 0,其中 I 是單位陣,就 A-1. 1 2 2（4）設(shè) A 2 1 2,就 A 2022 的全體特點值為；2 2 11 a a（5）設(shè) A a 1 a 是正定矩陣,就 a 的取值范

2、疇是；a a 1（6）每個元素的肯定值都相等的實二階正交陣一共有 個；1 a 1 0 0 0（7）設(shè)矩陣 A a 1 b 與 B 0 1 0 相像,就 a, b . 1 b 1 0 0 23（8）設(shè) R 是給予通常內(nèi)積的三維歐氏空間 , a , b , c 是長度為 1 的向量 , W 是由方程 ax by cz 0 給定的平面 . 設(shè)線性變換 A 把 R 中的向量映為它在平面 W 上的 3投影向量 , 那么 A 在標(biāo)準(zhǔn)正交基 1e ,1 ,0 0 , e 2 0 ,1, 0 , e 3 0 0, 1, 之下的矩陣是_. 二、解答題（共 60 分）1（10 分）問為何值時,線性方程組2x 22

3、x311. 2x 12x 15x24x322x 14x 25x 3有唯獨解、無解或有無窮多解？并在有無窮多解時求其通解；2（10 分）設(shè)1,2,s是數(shù)域 F 上的 n 階方陣 A 的不同特點值,X 1i,X im i是 A 的屬于i的線性無關(guān)的特點向量,i1 ,s；證明：向量組X1 ,X 1 ,X2 ,X2,Xs ,Xs 線性無關(guān)；1m 11m 21ms20222022 學(xué)年第 1 學(xué)期第1頁（共 2 頁）3（10 分）設(shè)1,m為歐氏空間 V 中的向量；證明：1,m線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣1,11,2x 1 21,m4x 1x24x 1x34x2x 3為2,12,22,mm,1m,2m,m為正定陣,其中,是 V 中的內(nèi)積；x 3x2 2x 3 24（15 分）用正交變換化二次型Qx1,x2,標(biāo)準(zhǔn)形,并指出曲面Qx 1,x2,x31的類型；20222022 學(xué)年第 1 學(xué)期第2頁（共 2 頁）5. （15 分）設(shè)VXR22|trX0 ；XV 的維數(shù)；在這組（1）證明 V 是實數(shù)域上的線性空間,并求（2）設(shè)線性變換A:V