項分布與其應(yīng)用講義

1、 要點梳理1.條件概率及其性質(zhì) (1)對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條 件下,事件B發(fā)生的概率叫做_,用符號 _來表示,其公式為P(B|A)= . 在古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件的個 數(shù),則 12.5 二項分布及其應(yīng)用條件概率P(B|A)基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí) (2)條件概率具有的性質(zhì)： _； 如果B和C是兩互斥事件,則 P(BC|A)=_.2.相互獨立事件 (1)對于事件A、B,若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響, 則稱_. (2)若A與B相互獨立,則P(B|A)=_, P(AB)=_=_. (3)若A與B相互獨立,則_,_,_也都 相互獨立. (4)若P(AB)=P(A)

2、P(B),則_. 0P(B|A)1P(B|A)+P(C|A)A、B是相互獨立事件P(B)P(B|A)P(A)P(A)P(B)A與B相互獨立3.二項分布 (1)獨立重復(fù)試驗是指在相同條件下可重復(fù)進行的, 各次之間相互獨立的一種試驗,在這種試驗中每一次 試驗只有_種結(jié)果,即要么發(fā)生,要么不發(fā)生,且任何 一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的.(2)在n次獨立重復(fù)試驗中,事件A發(fā)生k次的概率為 _(p為事件A發(fā)生的概 率),事件A發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量X,其分布列為 _,記為_. 二項分布XB(n,p)兩基礎(chǔ)自測1.小王通過英語聽力測試的概率是 他連續(xù)測試 3 次,那么其中恰有1次獲得通過的概率是 ( )

3、 A. B. C. D. 解析 所求概率A2.一射手對同一目標獨立地進行四次射擊,已知至少 命中一次的概率為 則此射手的命中率為 ( ) A. B. C. D. 解析 設(shè)此射手射擊目標命中的概率為P,B3.設(shè)隨機變量 則P(X=3)等于 ( ) A. B. C. D. 解析A4.一個電路如圖所示,A、B、C、D、 E、F為6個開關(guān),其閉合的概率都是 且是相互獨立的,則燈亮的概率 是 ( ) A. B. C. D. 解析 設(shè)A與B中至少有一個不閉合的事件為T, E與F至少有一個不閉合的事件為R, 則 所以燈亮的概率 B5.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格,從中任意取2件，試求 在所取得的產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一

4、件是不合格品,另一件也 是不合格品的概率是 ( ) 解析 記事件A為“有一件是不合格品”,事件B為 “另一件也是不合格品”,A 題型一 條件概率【例1】1號箱中有2個白球和4個紅球,2號箱中有5個 白球和3個紅球,現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2 號箱,然后從2號箱隨機取出一球,問 (1)從1號箱中取出的是紅球的條件下,從2號箱取出 紅球的概率是多少？ (2)從2號箱取出紅球的概率是多少？題型分類 深度剖析 從2號箱取出紅球,有兩種互斥的情況:一是當從1號箱取出紅球時,二是當從1號箱取出白球時. 解 記事件A：最后從2號箱中取出的是紅球；事件B：從1號箱中取出的是紅球.思維啟迪 求復(fù)雜事件的概

5、率,可以把它分解為若干 個互不相容的簡單事件,然后利用條件概率和乘法公式,求出這些簡單事件的概率,最后利用概率的可加性,得到最終結(jié)果. 探究提高知能遷移1 拋擲紅、藍兩顆骰子，設(shè)事件A為“藍 色骰子的點數(shù)為3或6”,事件B為“兩顆骰子的點數(shù) 之和大于8”. (1)求P(A),P(B),P(AB)； (2)當已知藍色骰子兩點數(shù)為3或6時,問兩顆骰子的 點數(shù)之和大于8的概率為多少？ 解 (1)設(shè)x為擲紅骰子得到的點 數(shù),y為擲藍骰子得到的點數(shù),則 所有可能的事件與(x,y)建立對 應(yīng),由題意作圖,如右圖所示： (2)方法一 方法二 題型二 事件的相互獨立性 【例2】 (2008天津)甲、乙兩個籃球

6、運動員互不影 響地在同一位置投球,命中率分別為 與p,且乙投球 2次均未命中的概率為 (1)求乙投球的命中率p; (2)求甲投球2次,至少命中1次的概率； (3)若甲、乙兩人各投球2次,求兩人共命中2次的概 率. 甲、乙兩人投球是相互獨立的；同一人 的兩次投球也是相互獨立的.用獨立事件同時發(fā)生的 概率求解. 思維啟迪解 (1)方法一 設(shè)“甲投球一次命中”為事件A, “乙投球一次命中”為事件B,由題意得(1-P(B)2=(1-p)2= 解得 (舍去),所以乙投球的命中率為 方法二 設(shè)“甲投球一次命中”為事件A,“乙投球一次命中”為事件B,由題意得 所以乙投球的命中率為(2)方法一 由題設(shè)和(1)

7、知, 故甲投球2次至少命中1次的概率為方法二 由題設(shè)和(1)知, 故甲投球2次至少命中1次的概率為(3)由題設(shè)和(1)知,甲、乙兩人各投球2次,共命中2次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中2次,乙2次均不中；甲2次均不中,乙中2次.概率分別為所以甲、乙兩人各投球2次,共命中2次的概率為探究提高 (1)相互獨立事件是指兩個試驗中,兩事 件發(fā)生的概率互不影響；相互對立事件是指同一次試驗中,兩個事件不會同時發(fā)生；(2)求用“至少”表述的事件的概率時,先求其對立事件的概率往往比較簡單. 知能遷移2 設(shè)甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標， 他們擊中目標的概率分別為、0.9,求： (1)兩人都擊中目標的概率

8、； (2)兩人中恰有1人擊中目標的概率； (3)在一次射擊中,目標被擊中的概率； (4)兩人中,至多有1人擊中目標的概率. 解 設(shè)事件A=甲射擊一次,擊中目標, 事件B=乙射擊一次,擊中目標,A與B相互獨立. 則P(A)=0.8,P(B)=0.9, (1)兩人都擊中目標的事件為AB, P(AB)=P(A)P(B)=0.80.9=0.72, 即兩人都擊中目標的概率為0.72.(2)設(shè)事件C=兩人中恰有1人擊中目標,=P(A)1-P(B)+P(B)1-P(A)=0.80.1+0.90.2=0.26,即兩人中恰有1人擊中目標的概率為0.26. (3)設(shè)D=目標被擊中=兩人中至少有1人擊中目標,本問有

9、三種解題思路：方法一 =P(A)1-P(B)+P(B)1-P(A)+P(A)P(B)=0.80.1+0.90.2+0.80.9=0.98,即目標被擊中的概率是0.98. 方法二 利用求對立事件概率的方法.兩人中至少有1人擊中的對立事件為兩人都未擊中,所以兩人中至少有1人擊中的概率為即目標被擊中的概率是0.98.方法三 D=A+B,且A與B獨立,P(D)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.9-0.80.9=0.98.故目標被擊中的概率是0.98. (4)設(shè)E=至多有1人擊中目標,=0.80.1+0.90.2+0.10.2=0.28.故至多有1人擊中目標的概率為0.28.

10、題型三 獨立重復(fù)試驗與二項分布 【例3】 (12分)一名學(xué)生每天騎車上學(xué),從他家到學(xué) 校的途中有6個交通崗,假設(shè)他在各個交通崗遇到紅 燈的事件是相互獨立的,并且概率都是 (1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù),求X的分 布列； (2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù),求Y 的分布列； (3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率. 思維啟迪 因為在各個交通崗遇到紅燈的事件相互 獨立,且概率均為 因此該題可歸結(jié)為n次獨立重復(fù)試驗與二項分布問題. 解 (1)將通過每個交通崗看做一次試驗,則遇到紅燈的概率為 且每次試驗結(jié)果是相互獨立的,故 2分所以X的分布列為 4分(2)由于Y表示這名學(xué)生在

11、首次停車時經(jīng)過的路口數(shù), 顯然Y是隨機變量,其取值為0,1,2,3,4,5,6.其中：Y=k(k=0,1,2,3,4,5)表示前k個路口沒有遇上紅燈,但在第k+1個路口遇上紅燈,故各概率應(yīng)按獨立事件同時發(fā)生計算. 6分而Y=6表示一路沒有遇上紅燈,故其概率為因此Y的分布列為： 8分 Y0123PY456P(3)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的事件為 X1=X=1或X=2或或X=6, 10分所以其概率為 12分探究提高 要正確理解獨立重復(fù)試驗與獨立事件間 的關(guān)系,獨立重復(fù)試驗是指在同樣條件下可重復(fù)進行的、各次之間相互獨立的一種試驗,每次試驗都只有兩種結(jié)果(即某事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生),并且在任

12、何一次試驗中,事件發(fā)生的概率均相等.獨立重復(fù)試驗是相互獨立事件的特例(概率公式也是如此),就像對立事件是互斥事件的特例一樣,只是有“恰好”字樣的用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算更簡單,就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣. 知能遷移3 (2008山東高考改編)甲、乙兩隊參加 奧運知識競賽,每隊3人,每人回答一個問題,答對者 為本隊贏得一分,答錯得零分.假設(shè)甲隊中每人答對 的概率均為 乙隊中3人答對的概率分別為 且各人回答正確與否相互之間沒有影響.用 表示甲 隊的總得分. (1)求隨機變量 的分布列； (2)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一 事件,用B表示“

13、甲隊總得分大于乙隊總得分”這一 事件,求P(AB). 解 (1)由題意知, 的可能取值為0,1,2,3,且所以 的分布列為0123P(2)方法一 用C表示“甲隊得2分乙隊得1分”這一 事件,用D表示“甲隊得3分乙隊得0分”這一事件,所以AB=CD,且C、D互斥,由互斥事件的概率公式得方法二 用Ak表示“甲隊得k分”這一事件,用Bk表 示“乙隊得k分”這一事件,k=0,1,2,3.由于事件A3B0,A2B1為互斥事件,故有P(AB)=P(A3B0A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).由題設(shè)可知,事件A3與B0獨立,事件A2與B1獨立,因此P(AB)=P(A3B0)+P(A2B1)=P(A3

14、)P(B0)+P(A2)P(B1) 1.古典概型中,A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式 為 其中,在實際應(yīng)用中 是一種重要的求條件概率的方法.2.運用公式P(AB)=P(A)P(B)時一定要注意公式成立 的條件,只有當事件A、B相互獨立時,公式才成立.3.在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為 其中p是一次方法與技巧思想方法 感悟提高 試驗中該事件發(fā)生的概率.實際上， 正好是二項式(1-p)+pn的展開式中的第k+1項.1.獨立重復(fù)試驗中,每一次試驗只有兩種結(jié)果,即某事 件要么發(fā)生,要么不發(fā)生,并且任何一次試驗中某事 件發(fā)生的概率相等.注意恰好與至多(少)的關(guān)系,靈 活運用對立事件.

15、2.二項分布要注意確定成功概率. 失誤與防范 一、選擇題1.甲、乙兩人同時報考某一所大學(xué)，甲被錄取的概 率為0.6,乙被錄取的概率為0.7,兩人是否被錄取互 不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為( ) 解析 由題意知,甲、乙都不被錄取的概率為 (1-0.6)(1-0.7)=0.12. 至少有一人被錄取的概率為1-0.12=0.88. D定時檢測2.在4次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的概率相同.若事 件A至少發(fā)生一次的概率為 則事件A在一次試驗 中出現(xiàn)的概率為 ( ) A. B. C. D.以上都不對 解析 設(shè)一次試驗出現(xiàn)的概率為p， A3.如圖所示,在兩個圓盤中，指針 落在本圓盤每個數(shù)所在區(qū)域的

16、機會均等,那么兩個指針同時落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 由獨立事件發(fā)生的概率得A4.某人射擊一次擊中目標的概率為，經(jīng)過3次射 擊,此人至少有兩次擊中目標的概率為 ( ) A. B. C. D. 解析 兩次擊中的概率 三次擊中的概率 至少兩次擊中目標的概率A5.位于坐標原點的一個質(zhì)點P按下列規(guī)則移動：質(zhì)點 每次移動一個單位；移動的方向為向上或向右，并 且向上、向右移動的概率都是 質(zhì)點P移動五次后 位于點(2,3)的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 質(zhì)點在移動過程中向右移動2次，向上移動3 次,因此質(zhì)點P移動5次后位于點(2,3)的概率為B6.袋中有紅

17、、黃、綠色球各一個,每次任取一個，有 放回地抽取三次,球的顏色全相同的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 三次均為紅球的概率為 三次均為黃、綠球的概率也為 抽取3次顏色相同的概率為B二、填空題7.(2008湖北文,14)明天上午李明要參加奧運志愿 者活動,為了準時起床,他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自 己.假設(shè)甲鬧鐘準時響的概率是0.80,乙鬧鐘準時響 的概率是0.90,則兩個鬧鐘至少有一個準時響的概率 是_. 解析 設(shè)A=“兩個鬧鐘至少有一個準時響”. P(A)=1- =1-(1-0.80)(1-0.90) =1-0.20.1=0.98. 8.高二某班共有60名學(xué)生,其中女生有20名，三好

18、學(xué) 生占 而且三好學(xué)生中女生占一半.現(xiàn)在從該班同 學(xué)中任選一名參加某一座談會 .則在已知沒有選上 女生的條件下,選上的是三好學(xué)生的概率為_. 解析 設(shè)事件A表示“任選一名同學(xué)是男生”；事 件B為“任取一名同學(xué)為三好學(xué)生”,則所求概率為 P(B|A).9.有一批書共100本，其中文科書40本,理科書60本, 按裝潢可分精裝、平裝兩種,精裝書70本,某人從這 100本書中任取一書，恰是文科書,放回后再任取1 本,恰是精裝書,這一事件的概率是_. 解析 設(shè)“任取一書是文科書”的事件為A,“任取 一書是精裝書”的事件為B,則A、B是相互獨立的事 件,所求概率為P(AB).三、解答題10.(2008重慶文,18)在每道單項選擇題給出的4個 備選答案中,只有一個是正確的.若對4道選擇題中的 每一道都任意選定一個答案,求這4道題中： (1)恰有兩道題答對的概率； (2)至少答對一道題的概率. 解 視“選擇每道題的答案”為一次試驗,則這是4 次獨立重復(fù)試驗,且每次試驗中“選擇正確”這一事 件發(fā)生的概率為由