導(dǎo)數(shù)中的證明問題

1、導(dǎo)數(shù)中的證明問題一、題型選講題型一與零點(diǎn)、極值點(diǎn)有關(guān)的證明例1、已知函數(shù)以)=夕一32ax(a0).若函數(shù)y=f(x)恰好在x=x】和x=X2兩處取得極值，求證:X1+X2-2-na.思路分析直接證明比較困難，需要利用分析法，通過代數(shù)變形，換元等方法將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式問題，再通過構(gòu)造函數(shù).結(jié)合常用不等式，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明.規(guī)范解答axa,因?yàn)閤i,x?為f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，,、f(xi)=0,!Jex1axi-a=0.If(X2)=0.I.ex2-axz-a=0.X4-axi-a=0,兩式相減，得&=八.ex：-ax：a=0.兩式相減，得a=匏二唯,(8分)XI-X2-ZoV_4xA.

2、/r/.X14-X2,eXlX2rlnXI-X2Xl-X2-1則所證不等式等價(jià)一5-加，即e亍0,所以證不等式只需證明：t/-1t叼v-t叼一10,設(shè)9(。=。；3+1卜)，所以p(t)S0,所以p(t)在(0,+8)單調(diào)遞減，3時(shí)，記函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)/(x)的兩個(gè)零點(diǎn)是占和也81ln2.2v*hx+1要證明此不等式，首先要考察X】，X2的范圍與a,b的關(guān)系，由已知求出/(、)=一-(X0)t因此人XI,X2是方程8(、)=2/bx+l=0的兩根，X1X2=1*粗略地估計(jì)一下，由于50)=與7的)一大1),這里瑞一期巧一:一成年一儂，正好可證明題設(shè)結(jié)論.規(guī)范解答證法1因?yàn)?=1,所以/)=爐

3、一歷+hix,從而-一(x0).人由題意知，XI，X2是方程2X2&+1=0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得XIX2=；.記g(x)=2x26x+l，因?yàn)閎3,所以g(l)=3-60,所以八日；0，；)，制(1，+8),且珈=2x?+l(i=l,2),(12分)所以y(xi)-J(X2)=(XT-X2)(dxi6x2)+lnT；=(xx-X2)+Ing.入232因?yàn)閤ix2=g,所以危i)2)=一表一ln(2d),.犯(1,4-oo).(14分)令，=2x(2,4-oo),夕=X-n)一九口)(f-1)33因?yàn)?(，)=-5再所以夕在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增，所以3(。夕(2)=W-1112即

4、兀n)V2)4一ln2.(16分)9y-hy+1證法2因?yàn)?=1,所以犬*)=爐一灰+11“9從而“幻二2(x0).X由題意知，XI，X2是方程2x2&+1=0的兩個(gè)根.記g(x)=2x2一枚+1，因?yàn)閎3,所以g(l)=3TV0,所以xQ。，；)，木(1,+),且九0在xi，上為減函數(shù).(12分)所以1)一逃2)啟)一犬1)=；苦+6_(1_3=_(+2-1112.因?yàn)?3,所以兀一儂)一1112.(16分)解后反思(1)導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般流程：求定義域T求導(dǎo)數(shù)/(X)一求/(x)=0在定義域內(nèi)的根一用求得的根劃分定義區(qū)間T確定/(、)在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)T得相應(yīng)開區(qū)間上的單調(diào)性.(

5、2)在函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，解方程/(x)=0時(shí)必須對參數(shù)進(jìn)行分類討論，這里分類討論的標(biāo)準(zhǔn)要按照不等式的形式正確確定.(3)已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件/(、)沙(或x)WO),x(a,b),轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題求解.例3、已知函數(shù)x)=ax2x-hlX,aR.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)“X)的最小值：(2)若一13迎，證明：函數(shù)兀r)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；思路分析(1)這是一個(gè)基本題型，通過求導(dǎo)，得極值點(diǎn)，討論單調(diào)性，求得最小值；(2)先通過求導(dǎo)得函數(shù)小)在(0,+8)上單調(diào)遞減，從而確定至多一個(gè)零點(diǎn)，再找到穴公)=立/0,通過判定定理證明只有一個(gè)零點(diǎn)；規(guī)范解答(1)當(dāng)。時(shí)，危)=|r2r

6、-.Inx31(3x+2)(x-2)、故了()=開一1一1=Ji，x0.(2分)令/(x)=0,得x=2,當(dāng)x(0,2)時(shí)，x)VO：當(dāng)x(2,+8)時(shí)/(x)0,所以函數(shù)段)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=2時(shí)，大x)有最小值2)=一:一ln2.(4分)1x1(2)由/)=/一X-Inx,得/(x)=2ax17,x0.人人V1所以當(dāng)0時(shí)，-0,人函數(shù)加)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)爛。時(shí)，函數(shù)五、)在(0,+8)上最多有一個(gè)零點(diǎn).(6分)因?yàn)楫?dāng)一1370時(shí)，0,所以當(dāng)一1氐口時(shí)，函數(shù)兒0在(0，+8)上有零點(diǎn).綜上，當(dāng)一134)時(shí)，函數(shù)x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).(

7、8分)題型二、存在與恒成立問題例4、已知函數(shù)兀r)=exax-1,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，aR(1)若a=e,函數(shù)g(x)=(2-e).x.求函數(shù)心)=/)一g(x)的單調(diào)區(qū)間；木)，若函數(shù)F(x)=(0)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.g(x)，.xnt(2)若存在實(shí)數(shù)xi，%202，使得加1)=危2)，且卜1一刈之1，求證：elo0,得/（x）ln2,所以（X）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-8,ln2,單調(diào)遞增區(qū)間是ln2,+oo）.（3分）首先，一次函數(shù)g（x）=（2e）x在（瀏，+oo）上單調(diào)遞減，值域?yàn)椋?8,（2e.因?yàn)?（x）=ev-e,易得x）在（一41上單調(diào)遞減，在1.+8）上單調(diào)遞增

8、，且當(dāng)X-8時(shí)，0）一+8,所以在（-8,W上，7（w）=ew-e?7/LVI,y（x）mm=）其值域?yàn)?（）11汕，400）.加）=一1，因?yàn)槭╔）的值域?yàn)镽，所以次、）（2-e加，（5分）f?r?L即或lewent1（2e）?n1（2e）w,HI卜7W1.ew2?n10由知，力（加）=十一2次一1在（一如In2上單調(diào)遞減，在1112,1）上單調(diào)遞增，且版0）=0,（l）=e3V0,所以的解集為0,1）.11綜上所述，實(shí)數(shù)桁的取值范圍是0,二50時(shí)，若InawO或InoN，則人X）在02上單調(diào),也不合題意：（11分）當(dāng)0V1I14V2時(shí)，兀T）在0,Inx上單調(diào)遞減，在Ina,2上單調(diào)遞增

9、.由XI，X20.2,危】）=危2），不妨設(shè)OX1In。X22.又因?yàn)榫W(wǎng)一刈之1,所以修0,1,且小口,2,從而丁目加.所以1)水不用(0)，且式1)水治后(2).(14分)僅1*0)，由卜192),得)e10e一一122-2a-1,解得e13rse2e.得證.(16分)例5、已知函數(shù)x)=x2+zx+10R),(x)=ev.於)趴X)(1)當(dāng)x0,2時(shí)，尸(x)=Xx)g(x)為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)初的取值范圍;】7(X)=；X+/,求證：對任意X,為1,1一加，G(X1)0在血2上恒成立的問題，然后利用分離參數(shù)的方法求解；(2)問題可轉(zhuǎn)化為證明：G(X)皿利用分析法，通過變形，換元，構(gòu)造，進(jìn)

10、一步將問題轉(zhuǎn)化為證明不等式恒成立的問題.規(guī)范解答因?yàn)槭?、)=爐+川*+1亡，所以尸a)=2x+/L-因?yàn)楫?dāng)0,2時(shí)，尸(x)=x)蚣)為單調(diào)增函數(shù)，所以尸口以)，即2x+w-ex0在0,2上恒成立，即me-2x在血2上恒成立.(2分)令/心)=一2為戈0,2,則/的=/一2,令(x)=0,貝ljx=ln2.所以力(x)在0,ln2上單調(diào)遞減，在ln2、2上單調(diào)遞增.(4分)因?yàn)槿?0)=1，A(2)=e2-4b所以7/(x)max=7:(2)=e24,所以?ne24.(6分)(2)G(x)=F+mx+1則63=一爐+(27+初_1=_(3也匚上嗎)1(8分)要證任意X，工21/一切，(7(力

11、)夕/3)恒成立，即證G(X)majSH(X)miii.因?yàn)閄W1,1M，所以G(X)在1,1間上單調(diào)遞增，G(X)max=G(l次)=上?因?yàn)镠(X)在1,1一間上單調(diào)遞減，2/(X)mm=/f(l/)=7W)J-1.(10分)要證GGKxSHa)!：皿,即證丁祖一;(1一7刀)+,即證4(2一OSe】叫5(1-w).令1一川=人則f(l,2).設(shè)7。)=/(5x)4(x+l),xl,2,即r(x)=5eK-xex4x4.?(x)=(4-x)ex-42ex-40.所以7。)=爐(5x)4(x+l)在口,2上單調(diào)遞增.(14分)因?yàn)閞(l)=4e80所以e*(5x)N4(x+l),從而有一“(

12、I刖)+產(chǎn)1:,即當(dāng)xLl7時(shí)，G(x)皿xSH(.X)mm成立.(16分)題型三、證明不等式或最值問題例6、已知函數(shù)g(x)=x3+ax?+bx(a,bR)有極值，且函數(shù)兀0=(、+)，的極值點(diǎn)是g(x)的極值點(diǎn)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時(shí)對應(yīng)的自變量的值)(1)求b關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式：(2)當(dāng)。0時(shí)，若函數(shù)尸(x)=y(x)g(x)的最小值為M(o),證明：M(a)一(思路分析(1)易求得f(x)的極值點(diǎn)為一a-l,則或一a-l)=0且或x)=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，解之得b與a的關(guān)系.(2)求導(dǎo)得F(x)=(x+a+l)e3x+a+3),解方程F(x)=0時(shí)，無法解

13、方程夕一3x+a+3=0,構(gòu)造函數(shù)h(x)=夕一3x+a+3,證得h(x)0,所以一a1為極小值點(diǎn)，而且得出M(a),利用導(dǎo)數(shù)法證明即可.規(guī)范解答(1)因?yàn)?x)=，+(x+a)=(x+a+l)，令f(x)=0,解得x=-a-L列表如F：X(oo,-a-1)-a-1(-a-l,+oc)f(x)0+嶇)極小值所以x=-a-l時(shí)，f(x)取得極小值.(2分)因?yàn)間r(x)=3x2+2ax+b由題意可知g(a-1)=0且A=4a2-12b0,所以3(-al+2a(al)+b=0,化簡得b=-a2-4a3.(4分)由A=4a212b=4a24-12(a+l)(a4-3)0.得a#-所以b=a?-4a3

14、aj一3.(6分)(2)因?yàn)镕(x)=f(x)g(x)=(x+a)夕一(x3+ax?+bx)，所以Fr(x)=f(x)g(x)=(x+a+1)-3x?+2ax(a+1)(a+3)=(x4-a+l)ex(x+a+l)(3x-a-3)=(x+a+l)(夕-3x+a+3).(8分)記h(x)=3x+a+3,則h(x)=夕一3,令h(x)=O,解得x=/3.列表如下：X(-8,hi3)ln3(歷3,4-oc)h(x)0+h(x)極小值所以x=/3時(shí)，h(x)取得極小值，也是最小值,此時(shí)，h(/3)=/33加3+a+3=6-3歷3+a=3(2加3)+a=37r?y+aa0(10分)所以h(x)=夕一3x

15、+a+3濁(加3)0,令F(x)=0,解得x=-a-L列表如F：X(8,a-1)-a_1(-a-L+oc)F(x)0+F(x)極小值所以x=-a-l時(shí)，F(xiàn)(x)取得極小值，也是最小值.所以M(a)=F(-al)=(-al+a)ca1(al)3+a(al)2+b(a1)=-c&i-(a+l(a+2).(12分)令t=-a-1,則t-1,記m(t)=-t2(l-1)=c，+t3-F,t-1則mz(t)=-t+3t2_2tt5.所以所以m(t)單調(diào)遞增.(14分)7所以nXt）v-c12-2=yEIPM（a）0.得出M（a）表達(dá)式后，要能觀察函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，換元t=-a1,t-l,從而簡化證明的過

16、程.例7、已知函數(shù)危）=、一1一alnx（其中。為參數(shù)）.（1）求函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意x（0，+8）都有x）X）成立，求實(shí)數(shù)。的取值集合；（3）證明：1+；下1（其中，0為自然對數(shù)的底數(shù)）.規(guī)范解答（1）幻=1一三=三%0），人人當(dāng)a0時(shí)，危）的單調(diào)遞增區(qū)間是（。，+oc），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，。）.（5分）（2）由題意得人丫燦知.當(dāng)a一8，故不合題意；（6分）當(dāng)。0時(shí)，由知加）即寸。）=。一1一”44出（13分）令g（a）=alana，則由g，（a）=In。=0，得。=1，a(0,1)1(1,+oo)g(a)+0g(a)極大值所以g（a）=a-l-ahlQWO，又危）皿=貝。

17、）=4一1一。仙。次，所以。一1一aln=O，所以。=1，即實(shí)數(shù)。的取值集合是1.（10分）要證不等式1+91+9】,兩邊取對數(shù)后，只要證lnl+vlv（+l）lnl+：，分）TOC o 1-5 h z即只要證一二尸1111+鼻,77+1”W令x=l+，則只要證1-llnxvx-1（10W2）.（12分）由知當(dāng)=1時(shí)，危）=X1-lnx在（1,2上遞增，因此大、）MD，即x-l-lnx0，所以lnxvx-i（iv爛2）.（14分）1x-1令3（x）=lm+;-1（10，所以3（x）在（1,2上遞增，故0（x）0（l），即lnx+：-10，所以l-1（lnxlrl時(shí)，求函數(shù)4x）的單調(diào)區(qū)間和極值

18、:（2）若對于任意xe,e2,都有x）41nx成立，求實(shí)數(shù)k的取值范用:若X詳X2，且ri）=X2），證明：XlX2K（x）恒成立問題.（3）先說明0Vxi，Vx2,從而只要證2V斗,只要證危1）=危2）勺（.轉(zhuǎn)化為關(guān)于為的不等式對OVxiV/恒成立問題.規(guī)范解答（l）/（x）=lnxk,其中1.（1分）若陋0，則X1時(shí)，/（x）0恒成立，0,則40在（1，i上單調(diào)遞減，在二,+8）上單調(diào)遞增，（4分）有極小值大6）=-J，無極大值.（5分）（2）問題可轉(zhuǎn)化為左（1一力lnx-1對xe,T恒成立.（7分）設(shè)K（x）=（l*lnxf則/口）=最1111+1興=*lnxT）+1Q當(dāng)xe,T時(shí)，K(

19、俎0,所以K(x)在e,日上單調(diào)遞增，K(x)皿x=K(e?)=l一二.(9分)人W所以實(shí)數(shù)左的取值范闈是(1一*+8)(10分)(3)因?yàn)?(X)=lnx匕所以危)在(0,dI遞減,在d,+8)上單調(diào)遞增.不妨設(shè)OVxiVjVx?.要證xgVe次只要證X1因?yàn)槠谠谛?8)上單調(diào)遞增，所以只要證危1)=02)店，e2*即要ilE(hui-Arl)xi0.設(shè)(/)=2)e，+r+2,則只要證H(t)0對r0恒成立.從=(f-l)er+1,4。)=/0對t0恒成立.所以才在(0,+8)上單調(diào)遞增，廳廳(0)=0.(14分)所以H在(0,+8)上單調(diào)遞增，H(f)H(0)=0.綜上所述，xix2e”

20、(16分)二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、設(shè)函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=ax+-c(a,b,cR).X當(dāng)。=1時(shí)，設(shè)函數(shù)y=y(x)與y=W)的圖像交于,4(X1，”)，3(、2，竺)(1租)兩點(diǎn).求證：xix2X2bxlX2一X1.1Mxi=xi4-c,1b兩式相減,加X2=X2+C,X2得b=XlX2(lhlX2-/mxjX2xi)(12分)要證明XiX2_X2bXiX2Xp即證X1X2X21,此時(shí)即證i-Jvln/vt1.X1令(p(t)=lnz+；l,所以0,所以當(dāng)tl時(shí)，函數(shù)中單調(diào)遞增.又q)(l)=O,所以p=出/即1-成立：TOC o 1-5 h z11-t再令in=ln/-t+l,所以山(

21、t)=;-1=丁l時(shí)，函數(shù)m(t)單調(diào)遞減.又m(l)=O,所以m(t)=hVt+lvO,即hvvt-1也成立.綜上所述，實(shí)數(shù)XI，X2滿足X1X2X2b0,(1)當(dāng)。=2時(shí)，求函數(shù)危)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程式x)+危)=3-3在區(qū)間(0,+8)上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍：(3)若存在實(shí)數(shù)冽，0,2,且制一“R1,使得大二次?)，求證：1三三產(chǎn)已思路分析(1)先分段討論，再整體說明單調(diào)區(qū)間是否可合并(關(guān)鍵是圖像在x=0處怎樣跳躍).TOC o 1-5 h z(2)轉(zhuǎn)化為a=x?+x+：在(0,+8)上有實(shí)數(shù)解，即求函數(shù)g(x)=x?+x+：在(0,+8)上的值域.XX(3)首先縮小a的范

22、圍為IvaG,在此基礎(chǔ)上考察f(x)在0,1,2,m,n處的函數(shù)值的大小關(guān)系.規(guī)范解答(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=4/；一2x,x0.當(dāng)xvO時(shí)，f(x)=-3x2+2xvO恒成立,所以f(x)在(一8,0)上遞減;(2分)當(dāng)瘧0時(shí)，f(x)=2,可得f(x)在0,-2上遞減，在方2,+oo)上遞增.(4分)因?yàn)閒(0)=l0,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,0)和0,M2,單調(diào)遞增區(qū)間是加2,+8).(5分)(2)當(dāng)x0時(shí)，f(x)=/ax,此時(shí)一xv(hx)=(x)3+(-x)2=x3+x2.所以可化為a=x?+x+；在區(qū)間(0,+8)上有實(shí)數(shù)解.(6分)X12(X1)(2x2+3x+

23、3)記g(x)=x2+x+1x(0,+8),則g，(x)=2x+l最=-不7分)可得虱X)在(0,1上遞減，在1,+8)上遞增,且g(l)=5,當(dāng)X+8時(shí)，g(x)-+8.(9分)所以g(x)的值域是5,+oc),即實(shí)數(shù)a的取值范用是5,+oo).(10分)(3)當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)=產(chǎn)一ax,有f(x)=夕-a.若延1或史后，則f(x)在0,2上是單調(diào)函數(shù)，不合題意.(11分)所以kav/，此時(shí)可得f(x)在0,加a上遞減，在加a,2上遞增.不妨設(shè)0ni7z?anf(m)f(7?a),且f(7?/a)f(n)lt可得0iiiln2.(12分)因?yàn)閒(m)=f(n).lae2pa所以If(0

24、)f(m)f(1),得(14分)f(2)f(n)f(1),/一2aN。-a.即elWaM2-e,所以1&廣.(16分)x31X22x0解后反思第(1)題中，若函數(shù)f(x)改為f(x)=.i八則函數(shù)f(x)的“兩個(gè)”遞減區(qū)間(-8.0)和0,加2應(yīng)合并為一個(gè)遞減區(qū)間(-8,M2,因?yàn)楹瘮?shù)圖像在x=0處(從左往右)向下跳躍.而原題中函數(shù)圖像在x=0處(從左往右)向上跳躍，所以不能合并./MV3、已知函數(shù)f(x)=(一尸,其中a為常數(shù).若a=-l,設(shè)函數(shù)f(x)在(0,1)上的極值點(diǎn)為M，求證：f(xo)XXI37-2.人口.Inxx_1-2x/7?x規(guī)范解答當(dāng)a=-l時(shí)，f(x)=-(-xf(x)

25、=x-i-1)3-令h(x)=x-l-2x加x,xG(0,1),則h(x)=12(77/x+1)=_2bjx1令h(x)=0,得x=e5xv所以F(x)=：xixl)3yo恒成立，所以f(x)=，K三單調(diào)遞減，且f(x)f(-).當(dāng)00,h(c2)=。2-12c2ne2=1所以存在唯一xoEe入；)，使得h(xo)=0,所以f(xo)=0,7v當(dāng)(Xxvx。時(shí)，f(x)0,所以f(x)=(.單調(diào)遞增:當(dāng)xoxf(e-乙VX1z乙由和可知，f(x)=，一；二在(0,X0)上單調(diào)遞增，在(X0,1)上單調(diào)遞減,/7X所以當(dāng)x=xo時(shí)，f(x)=7UT取極大值.XXJLzX0-因?yàn)閔(xo)=xo-

26、l-2xo加xo=0,所以加刈=：葭。所以f(xo)=：；、1=5(TV=-77T:7(xo-1)22x0(xo1)J1Y12匹F-a又xo(e2,；),所以2卜一。一黑(一：，0),所以電0)=7、廣一2.2(xo”)下4、已知函數(shù)兀V)=XInX,g(A)=X(A-2-1)(；.為常數(shù)).(1)若函數(shù)y=x)與函數(shù)y=g(x)在X=1處有相同的切線，求實(shí)數(shù)2的值；(2)若丸=；,且后1,證明：y(A)g(A)：規(guī)范解答(l)/(x)=lnx+l，則7(1)=1且直1)=0.(1分)所以y=/)在X=1處的切線方程為(2分)從而gl)=2i=l,即4=；.此時(shí)g(l)=gx(12-1)=0,

27、符合題意.(4分)(2)由題意知，設(shè)函數(shù)力(x)=wlnx-；(x21),則萬(x)=lnx+lx.(5分)設(shè)p(x)=lnx+l-x,從而p(x)=；-14)對任意xl,+8)恒成立，(6分)所以(%)=Inx+1-xp(l)=0,HP7/Xr)因此函數(shù)方&)=xlnx-4(F1)在口，+8)上單調(diào)遞減，(7分)即A(a)/?(1)=0,所以當(dāng)眾1時(shí)，兀儂式x)成立.(8分)5、若對任意的實(shí)數(shù)k.b,函數(shù)y=f(x)+kx+b與直線y=kx4-b總相切，則稱函數(shù)f(x)為“恒切函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)f(x)=x2是否為“恒切函數(shù)”；(2)若函數(shù)f(x)=Hnx+兀l(m卻)是“恒切函數(shù)”，求

28、實(shí)數(shù)m,n滿足的關(guān)系式；(3)若函數(shù)f(x)=(-xl)/+m是“恒切函數(shù)”，求證：一|m0.思路分析(1)設(shè)出切點(diǎn)(xo,yo),根據(jù)已知條件，建立方程組，求出xo,即可以判斷結(jié)論.(2)設(shè)出切點(diǎn)(xo，y),根據(jù)直線與曲線相切，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率和切點(diǎn)同時(shí)在曲線和直線上,建立方程組，通過變量代換即可得到m,n滿足的關(guān)系式.(3)解法1設(shè)出切點(diǎn)(xo,y),建立方程組，易得加=一(e-七一l)e%,可以通過研究g(x)=2-x2,確定零點(diǎn)xo所在的范圍，通過代換處理m=(exoxo-l)exo=/o(xo+2),就能證得一解法2設(shè)出切點(diǎn)(xo,y0).建立方程組，易得?=一(明)一七

29、-l)ex,),通過研究u(x)=x得到m0,通過代換處理m=-(woxo-l)exo=；(xo+l)2得證=1nE0.規(guī)范解答(1)函數(shù)代x)為“恒切函數(shù)”，設(shè)切點(diǎn)為(x。，yo).則/(%)+攵+。，所以/(%)=。，Q分)對于函數(shù)f(x)=x2,f(x)=2x.設(shè)切點(diǎn)為(xo,yo).所以片=0,(3分)解得xo=O,所以f(x)=x2是“恒切函數(shù)”.(4分)(2)若函數(shù)f(x)=Hn%+心(m翔)是“恒切函數(shù)”，設(shè)切點(diǎn)為(xo,yo).因?yàn)镕(x)=+n,所以。n/+MX()=0,+=0.(5分)Xx解得lnxQ=1,即xo=e.(7分)所以實(shí)數(shù)m,n滿足的關(guān)系式為m+ne=0.(8分

30、)(3)解法1函數(shù)f(x)=(-x-l)+m是“恒切函數(shù)”，設(shè)切點(diǎn)為(右，y0).因?yàn)閒(x)=(2x-2)e所以(e%-x0-l)?x0+7=0所以7=一(氣一X。-1)%,(10分)考查方程26=x+2的解，設(shè)g(x)=2-x-2.因?yàn)榛騲)=2-1,令或x)=0,解得x=-/2.所以當(dāng)x(8,一加2)時(shí)，g(x)0,g(x)單調(diào)遞增.所以g(x)m/n=g(-hi2)=7?210,g(-1)=-10.所以g(x)=2夕一x-2在(一8,一加2)上有唯一零點(diǎn)xo(2,-1).又因?yàn)閙=-(exox-l)exo=%(xo+2),所以m(；，0，(14分)2當(dāng)x(一加2,+8)時(shí),因?yàn)間(0)

31、=0，所以g(x)=2夕-X-2在(一加2,+8)上有唯一零點(diǎn)0,所以m=0.(15分)綜上可知一!0,Mx)單調(diào)遞增：當(dāng)x(8,0)時(shí)，4(x)v0,Mx)單調(diào)遞減.所以Mx巨卜(0)=0,所以皈)一xq1沙，得m=(公ox。-l)exo&O.由2ao=xo+2,得m=一(oxo-1)睜=3(xo+2)=；(xo+1)由必o=xo+2知x(#L所以ni=1(xo+l)21一；.綜上可知一10).(1)若函數(shù)y=f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；(2)設(shè)。=4,x)=x)+Z?lnx+lSR,bM),gG)是式0的導(dǎo)函數(shù).若對任意的x0，g(x)0,求證：存在xo，使g(xo)O：若g(Xl)=式X2)(X1壬X2)，求證：A1X20,g(x)0,知家x)為增函數(shù)，根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)得出必須有b0,當(dāng)然要說明理由，再尋找支撐點(diǎn)M)的值，x-0酎，blnx下降的程度大于X,而一，sinx在固定范圍，所以使blnx足夠小即可；用(1)的結(jié)論和g(、i)=g(X2)(XlX2),構(gòu)建不等式一26；三;.0,然后運(yùn)用放縮和換元的策略，轉(zhuǎn)化為證明一元函數(shù)的單調(diào)性，1即可證明.規(guī)范解答(1)由題意,/(x)=lacosxX)對xR恒成立