七年級數(shù)學寒假專題-有理數(shù)及其運算

1、七年級數(shù)學寒假專題有理數(shù)及其運算【本講教育信息】一、教學內(nèi)容：寒假專題有理數(shù)及其運算1、通過復習，能在具體情境中理解負數(shù)的概念，進一步掌握有理數(shù)及其運算的意義.2、能用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，會比較有理數(shù)的大小.3、能熟練地借助數(shù)軸理解相反數(shù)與絕對值的意義，會求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對值.4、經(jīng)歷探索有理數(shù)運算法則和運算律的過程；掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算；理解有理數(shù)的運算律，并能利用運算律簡化運算，及能運用有理數(shù)及其運算律解決簡單的實際問題.5、會用計算器進行較復雜的有理數(shù)混合運算.二、學習重難點：有理數(shù)及其運算這一章的重點內(nèi)容是絕對值的概念和有理數(shù)的運算（包括法則、運算律、

2、運算順序、混合運算）等；而絕對值的概念及有關計算，有理數(shù)的大小比較，及有理數(shù)的運算則是本章的難點. 三、知識要點講解：專講一：基本概念1. 正數(shù)與負數(shù)（1）概念：大于0的數(shù)是正數(shù)，小于0的數(shù)是負數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負數(shù)（2）注意：了解負數(shù)的引入是實際的需要帶正號的數(shù)不一定是正數(shù)，帶負號的數(shù)不一定是負數(shù)對零的認識：0可以表示沒有；0可以表示一個確切的量，如今天的最低氣溫是0；0是整數(shù)也是偶數(shù)還是自然數(shù)；0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是正數(shù)和負數(shù)的分界線，是中性數(shù)2. 有理數(shù)的分類整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù) 3. 有理數(shù)中的“三重錘”（1）數(shù)軸數(shù)軸：原點、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可. 有

3、理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點并不都表示有理數(shù). 在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大. （2）相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)是互為相反數(shù)，除零以外，相反數(shù)總是一正一負，成對出現(xiàn)的. 在數(shù)軸上看，表示互為相反數(shù)的兩個點分別在原點的兩側，而且到原點的距離相等. 通常用a與表示一對相反數(shù). 若a與b互為相反數(shù)，則. 互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，即. 若，則，或（a與b互為相反數(shù)）. （3）絕對值：由絕對值的幾何意義可知：一個數(shù)的絕對值是指在數(shù)軸上表示該數(shù)的點與原點的距離. 因為距離總是正數(shù)或零，所以有理數(shù)的絕對值不可能是負數(shù)，即. 從絕對值的定義可知：一個正數(shù)的絕對值是它的本身，

4、一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0，綜合到一起我們可以得到任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù). 若，則；若，則；，絕對值的非負性?；橄喾磾?shù)的絕對值相等，即若兩個數(shù)的絕對值相等，則這兩個數(shù)相等或互為相反數(shù). 即：絕對值最小的數(shù)是0. 【典型例題】例1. 若a與5互為相反數(shù)，那么a是（ ）A. 5 B. C. D. 5析解：本題根據(jù)互為相反數(shù)的概念和意義，兩個互為相反數(shù)的數(shù)之和為0，可以得到a，故應選D例2. 點A在數(shù)軸上表示+2，從點A沿數(shù)軸向左平移3個單位到點B，則點B所表示的實數(shù)是（ ）A. 3. B. 1. C. 5. D. 1或3.析解：本題主要考查學生對數(shù)軸知識的理解程度，解

5、答本題要畫出數(shù)軸，注意平移的方向，先找出A點的坐標，就可以找到B點的坐標，應選B例3. 將正偶數(shù)按下表排列： 第1列 第2列 第3列 第4列第1行 2第2行 4 6第3行 8 10 12第4行 14 16 18 20根據(jù)上面的規(guī)律，則2006所在的行、列分別是 .例4. 北京等5個城市的國際標準時間（單位：小時）可在數(shù)軸上表示如下：如果將兩地國際標準時間的差稱為時差，那么（ ）A. 漢城與紐約的時差為13小時；B. 漢城與多倫多的時差為13小時；C. 北京與紐約的時差為14小時；D. 北京與多倫多的時差為14小時.解析：本題是一道與地理知識“聯(lián)姻”的題，把中時區(qū)定為0，東時區(qū)定為正數(shù)，西時區(qū)定

6、為負數(shù).根據(jù)時區(qū)之間時間的換算規(guī)律：同時區(qū)相減，異時區(qū)相加.所以，漢城與紐約的時差為95=14小時；漢城與多倫多的時差為94=13小時；北京與紐約的時差為85=13小時；北京與多倫多的時差為84=12小時.故應選B.專練一：1. 2006年世界杯足球賽在德國舉行，本次比賽共32支球隊平均分成8個小組首先進行小組賽，每小組內(nèi)舉行單循環(huán)比賽（每個球隊都與本小組的其它隊比賽一場），選出兩個球隊進入16強. 本次足球賽的小組賽共進行 場比賽. 2. 小敏中午放學回家自己煮面條吃. 有下面幾道工序：洗鍋盛水2分鐘；洗菜3分鐘；準備面條及佐料2分鐘；用鍋把水燒開7分鐘；用燒開的水煮面條和菜要3分鐘. 以上

7、各道工序，除外，一次只能進行一道工序. 小敏要將面條煮好，最少要用 _分鐘. 3. 已知：2=2，3=3，4=4，若10=10（a，b都為正整數(shù)），則ab的最小值是 .4. 一串有趣的圖案按一定的規(guī)律排列. 請仔細觀察，按此規(guī)律第2008個圖案是 .5. 如圖，是用火柴棒擺出的一系列三角形圖案，按這種方案擺下去，當每邊上擺2006根火柴棒時，共需要擺_根火柴棒.專講二：基本運算1. 運算法則（1）加法：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；異號兩數(shù)相加，絕對值相等時，和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)（2）減法：減

8、去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)（3）乘法：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘注意：運算步驟：確定積的符號；求出積的絕對值幾個有理數(shù)相乘，只要有一個為0，則乘積為0幾個不為零的有理數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)，積為負；當負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)，積為正。（4）除法：法則1：除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)；法則2：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除，0除以任何非0數(shù)都得0。注意：倒數(shù)：乘積為1的兩數(shù)互為倒數(shù)，因為除數(shù)不能為零，所以零沒有倒數(shù)（5）乘方：意義：求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，記作“” =，乘方的結果叫做冪，在中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，叫

9、做a的n次方乘方運算的符號法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)2. 運算律：（1）加法交換律：a+b=b+a（2）加法結合律：（a+b）+c=a+（b+c）（3）乘法交換律：ab=ba（4）乘法結合律：a（bc）=（ab）c（5）乘法分配律：a（b+c）=ab+ac3. 運算順序：有理數(shù)的混合運算順序是：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，先算括號里面的4. 用計算器進行簡單的運算注意鍵盤中各鍵的功能及運算過程中的按鍵順序【典型例題】例1. 我市2005年的最高氣溫為39，最低氣溫為零下7，則計算2005年溫差列式正確的是（ ）A. （39）（7） B.

10、 （39）（7） C. （39）（7） D. （39）（7）解析：本題是只列式不計算的題，根據(jù)條件要求列出算式即可，應選A例2. 下列四個運算中. 結果最小的是（ ）A. 1+（2） B. 1（2） C. l（2） D. 1（2）解析：本題考查學生簡單的加、減、乘、除計算，應選C例3. 將長為1的繩子，截去一半，然后將剩下的再截去一半，如此下去，若余下的繩子長不足1，則至少需截幾次（ ）A. 6次 B. 7次 C. 8次 D. 9次解析：本題考查乘方的定義和計算，應選B例4. 用火柴棒按下圖的方式搭三角形，照這樣的規(guī)律搭下去，搭第10個圖形需要 根火柴棒.解析：觀察圖形會發(fā)現(xiàn)：所搭的圖形都是由

11、三角形構成的.搭第1個圖形（一個三角形）用了3根火柴棒，而后來所搭的圖形都與前面的圖形的一邊“共享”. 所以第2個圖形的火柴棒根數(shù)為：231=5，第3個圖形的火柴棒根數(shù)為：332=7，第n個圖形的火柴棒根數(shù)為：3n（n1）.故搭第10個圖形需要的火柴棒根數(shù)為：3n（n1）=310（101）=21.專練二：1. 計算：.2. 計算：1（）（）3. 下列圖案由邊長相等的黑、白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成。依此規(guī)律，第5個圖案中白色正方形的個數(shù)為 個。4. 觀察下列圖形，按規(guī)律填空：5. 觀察下列數(shù)表：根據(jù)數(shù)列所反映的規(guī)律，第行第列交叉點上的數(shù)應為 6. 用同樣大小的正方形按下列規(guī)律擺放，將重疊部分

12、涂上顏色，下面的圖案中，第n個圖案中正方形的個數(shù)是 個。專講三：有理數(shù)綜合問題（一）易錯點掃描1. 有理數(shù)常見思維誤區(qū)（1）對正、負數(shù)的理解有誤，如：a一定表示正數(shù)，a一定表示負數(shù)（2）有理數(shù)的分類問題，易把小數(shù)作為單獨的一類，不知道有限和無限循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分數(shù)2. 數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值常見思維誤區(qū)主要是對三者概念的理解有誤，應用也容易出錯3. 有理數(shù)的運算常見思維誤區(qū)（1）對幾種運算法則理解不到位；（2）符號易出現(xiàn)錯誤；（3）運算順序、運算性質(zhì)易錯；（4）濫用運算律等錯誤（二）思想方法歸納為了深刻理解新的數(shù)學概念，新教材滲透了不少的數(shù)學思想和方法. 1. 數(shù)形結合的思想在學習數(shù)軸后知道了

13、數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示，反之數(shù)軸上的點也表示數(shù)，這就初步奠定了數(shù)形結合的思想，在后續(xù)學習中，這種思想不斷地得到體現(xiàn)，如相反數(shù)的幾何意義是：在數(shù)軸上位于原點的兩旁，并且與原點的距離相等的兩點表示的數(shù)叫互為相反數(shù). 絕對值的幾何意義是：在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點與原點的距離叫做該數(shù)的絕對值. 這種形象與抽象的結合，加深了同學們對相反數(shù)、絕對值等概念的認識和理解，也為今后的學習奠定了基礎. 2. 轉(zhuǎn)化的思想方法第二章中關于有理數(shù)的減法和除法法則分別是減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)；除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，這兩條法則充分體現(xiàn)了數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想，即將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題來解決. 3. 分類

14、的思想方法在學習有理數(shù)、絕對值的概念時，都體現(xiàn)了分類的思想方法，即 有了分類思想，根據(jù)“不重不漏”的分類原則去處理問題，能使思維變得更嚴密，考慮問題更全面。例如，若a0，b0，則a+b 0。就必須討論（1）當時，a+b0；（2）當=時，a+b=0；（3）當時，a+b0. 【典型例題】例1. 我們把分子為1的分數(shù)叫做單位分數(shù). 如，任何一個單位分數(shù)都可以拆分成兩個不同的單位分數(shù)的和，如，（1）根據(jù)對上述式子的觀察，你會發(fā)現(xiàn). 請寫出，所表示的數(shù)；（2）進一步思考，單位分數(shù)（n是不小于2的正整數(shù)），請寫出，所表示的式子，并加以驗證.析解：（1）表示的數(shù)為6，表示的數(shù)為30；（2）表示的式子為，表示

15、的式子為.例2. 定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：當n為奇數(shù)時，結果為3n5；當n為偶數(shù)時，結果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復進行. 例如，取n26，則：若n449，則第449次“F運算”的結果是_8_. 析解：根據(jù)定義一種對正整數(shù)n的“F”運算的法則很容易計算出結果為8例3. 在實數(shù)的原有運算法則中我們補充定義新運算“”如下：當ab時，abb2；當ab時，aba. 則當x2時，（1x）x（3x）的值為 （“ ”和“”仍為實數(shù)運算中的乘號和減號）. 析解：根據(jù)定義新運算的法則應填2專練三：1. 老師在黑板上寫出三個算式：53= 82，97=84，153=827，王華接著又寫了兩個

16、具有同樣規(guī)律的算式：11 5 =812，157=822，（1）請你再寫出兩個（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的算式； （2）用文字寫出反映上述算式的規(guī)律； （3 ）證明這個規(guī)律的正確性. 2. 1883年，康托爾構造了一個分形，稱為康托爾集. 從數(shù)軸上單位長度線段開始，康托爾取走其中間的三分之一而達到第一階段；然后從每一個余下的三分之一線段中取走其中間的三分之一而達到第二階段. 無限地重復這一過程，余下的無窮點集就稱為康托爾集. 下圖是康托爾集的最初幾個階段，當達到第八個階段時，余下的所有線段的長度之和為 . 3. 一跳蚤在一直線上從O點開始，第1次向右跳1個單位，緊接著第2次向左跳2個單位，第

17、3次向右跳3個單位，第4次向左跳4個單位，依此規(guī)律跳下去，當它跳第100次落下時，落點處離O點的距離是 個單位.七年級數(shù)學寒假專題有理數(shù)及其運算參考答案：專練一：1. 48；2. 12；3. 19；4. ；5. 6039063 第1個專練二：16；20；328；49，13；52n-1；62n+1；專練三：1. （1）略 （2）任意兩個奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)；（3）略2. ； 3. 50【模擬試題】（答題時間：60分鐘）一、選擇題（每題3分，共30分）1. 下列說法中，不正確的是（ ）A. 0既不是正數(shù)，也不是負數(shù) B. 0不是整數(shù)C. 0的相反數(shù)是0 D. 0的絕對值是02. 溫度上升3后，又

18、下降2實際上就是 （ ） A. 上升1 B. 上升5 D. 下降13. 數(shù)軸上點A表示4，點B表示2，則表示A、B兩點間的距離的算式是（ ）A. 42 B. 42 C. 2（4） D. 24 4. 兩個有理數(shù)的和為負數(shù)，那么這兩個數(shù)一定（ ）A. 都是負數(shù) B. 至少有一個負數(shù)C. 有一個是0 D. 絕對值不相等5. 如果|a|=7，|b|=5，試求ab的值為（ ）A. 2 B. 12 C. 2和12 D. 2；12；12；26. 用計算器求25的值時，按鍵的順序是（ ）A. 5、yx、2、= B. 2、yx、5、=C. 5、2、yx、= D. 2、3、yx、=7. 如果a、b互為相反數(shù)，c、

19、d互為倒數(shù)，m的絕對值為2，那么 a+b+m2cd的值為（ ）A. 3 B. 3 C. 3 D. 48. 若0a1，則a，（ ）A. a2a B. a a2 C. a a2 D. a a2 9. 學校為了改善辦學條件，從銀行貸款100萬元，蓋起了實驗大樓，貸款年息為12%，房屋折舊每年2%，學校約1400名學生，僅貸款付息和房屋折舊兩項，每個學生每年承受的實際費用為（ ）A. 約104元 B. 1000元 C. 100元 10. 計算（2）2004+（2）2003的結果是（ ）A. 1 B. 2 C. 22003 D. 22004 二、填空題（每題3分，共30分）11. 某種零件，標明要求是2

20、00.02（表示直徑，單位：毫米），經(jīng)檢查，一個零件的直徑是19.9mm，它 （填“合格”或“不合格”）. 12. 在太陽系八大行星中，離太陽最近的水星由于沒有大氣，白天在陽光的直接照射下，表面溫度高達427，夜晚則低至170，則水星表面晝夜的溫差為_. 13. 數(shù)軸上的一點由3出發(fā)，向左移動4個單位，又向右移動了5個單位，兩次移動后，這一點所表示的數(shù)是 14. 一個水利勘察隊，第一天沿江向下游走km，第二天又向下游走km，第三天向上游走km，第四天向上游走km，這時勘察隊在出發(fā)點的上游 km處15. 一口深井，井底有一只青蛙，這只青蛙白天沿著井壁向上爬3米，夜間又落下2米，到了第十天的下午，這只青蛙恰好爬到井口，則這口井的深度是 米。16. 設n是正整數(shù)，則n（n+1）（n+2）+（n+3）