函數(shù)值域的求法大全

1、函數(shù)值域的求法大全作者:日期：題型一求函數(shù)值:特別是分段函數(shù)求值例1已知f(X)=f(1,1+x)(xWR,且xM-l),g(x)=x2+2(xWR).求f(2),g(2)的值;(2)求fg(3)的值.解(1)Tf(x)=錯誤!未定義書簽。，：f二占二“(1,3).又:g(x)=x2+2,g(2)=22十2=6.：g(3)=32+2=11,fg(3)=f(11)=；=錯誤!未定義書簽。反思與感悟求函數(shù)值時，首先要確定出函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系f的具體含義，然后將變量代入解析式計算，對于fg(X)型的求值，按“由內(nèi)到外”的順序進(jìn)行，要注意九g(x)與gf(x)的區(qū)別.跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(X)=錯誤!(1

2、)求f(2);(2)求(1).解(1)：T(x)=錯誤!未定義書簽。，f(2)=錯誤!未定義書簽。=f(1)=錯誤!=錯誤51):=f(錯誤!)=錯誤!未定義書簽。錯誤!5.已知函數(shù)f(x)=x2+x-1.若f（X）=5，求x的值.解(1)f=22+2-1=5,f5=f(l,x2)+f(1,x)-1=錯誤!未定義書簽。.xVf(x)=X2+x-1=5,Ax2+x-6=0,.*.x=2，或x=3.(3)4函數(shù)f(x)對任意自然數(shù)x滿足f(x+1)=f(x)+1f(0)=1,則f(5)=答案6解析f(1)=f(0)+1=1+1=2/(2)=f(1)+1=3,f(3)=f(2)+1=4,f(4)=f

3、(3)+1=5,f(5)=f(4)+1=6.二、值域是函數(shù)y=f（x）中y的取值范圍。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）圖象法（數(shù)形結(jié)合）（3）函數(shù)單調(diào)性法（4）配方法判別式法（5）換元法（包括三角換元）（6）反函數(shù)法（逆求法）（7）分離常數(shù)法（9）復(fù)合函數(shù)法（10）不等式法（11）平方法等等這些解題思想與方法貫穿了高中數(shù)學(xué)的始終。求值域問題利用常見函數(shù)的值域來求（直接法）一次函數(shù)y二ax+b（a豐0）的定義域為R,值域為R；ky=_（k豐0）反比例函數(shù)x的定義域為x|x豐0,值域為y|y豐0；二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a豐0）的定義域為R,.（4ac-b2）.（4ac-b2）y

4、IyyIy0時，值域為4a；當(dāng)&0時，值域為4a.例4求下列函數(shù)的值域2y=3x+2（-1x1）f（x）=一（1x3）3x1y二x+_（記住圖像）x解：T-lx1,.：33x3,/.-13x+25，即一1y2,xvx11當(dāng)x0時，y=一（一x+）=G-x）220時，則當(dāng)x=-時，其最小值y=(4ac-b2)；2amin4a當(dāng)a)時或最大值)時,再比較f(a),f(b)的大小決定函數(shù)的最大(小)值.若x電a,b,則a,b是在f(x)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較f(a),f(b)的大小即可決定函數(shù)的最大(小)值.注：若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大(小)值；當(dāng)頂點橫坐標(biāo)是字母時，則應(yīng)根據(jù)其對應(yīng)區(qū)間

5、特別是區(qū)間兩端點的位置關(guān)系進(jìn)行討論.練習(xí)：仁求函數(shù)y=3+込XX的值域解:由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知=2-3x三0,故3+2-3x三3。二函數(shù)的值域為3,+).2、求函數(shù)y=x2一2x+5,xe的值域x=1時,y.=4min解：對稱軸x=1e!,5x=5時,y=20max-|.值域為14,201單調(diào)性法例3求函數(shù)y=4x-、口x(x0)/對稱軸1=1elo,+w),且開口向下當(dāng)1=1時，y=2max值域為(-8,2點評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。練習(xí)：求函數(shù)y=-x的值域。(答案

6、：|y|y-3/4)sinx+cosx例5(三角換元法)求函數(shù)y=x+斗1x2的值域解：設(shè)x=cos00el0,兀=cos0+|sin0丨=原函數(shù)的值域為1八：2y=cos0+|sin01=cos0+sin0=斗2sinsin0，-0(或設(shè)a=cos0,00兀)22(2)若題目中含有a2+b2=1則可設(shè)a=cos0,b=sin0，其中002兀(3)若題目中含有dx2，則可設(shè)x=cos0，其中00兀:兀兀(4)若題目中含有C+x2，則可設(shè)x=tan0，其中-0QyQrQ,則可設(shè)x=,rcos0,y=Jrsin0其中&g0,k2丿3平方法例5(選)求函數(shù)y=心x-3+、5-x的值域解:函數(shù)定義域為

7、:xgI3,5y2=(x-3)+(5-x)+2-x2ff8x15由xg,得-x2+8x-15elo,1ly2gb,4L.原函數(shù)值域為近,24分離常數(shù)法x一1例6求函數(shù)y=卡的值域由y=丄宇=1-二豐1,可得值域U豐Jx+2x+2ax+b小結(jié)：已知分式函數(shù)y=一-（c豐0），如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對變cx+dayyhc量的要求）內(nèi)，值域為；如果是條件定義域（對自變量有附加,adb條件），采用部分分式法將原函數(shù)化為y=a+c（adHbc），用復(fù)ccx+d合函數(shù)法來求值域。練習(xí)求函數(shù)y=眾的值域3x求函數(shù)y-的值域3x+12xi求函數(shù)y=的值域心（5）14例7求y=lx_3|_lx+1|的值

8、域解法_：(圖象法)可化為y二2_2x,_1x3觀察得值域.|x_3_|x+1(x_3)_(x+1)|=4解法二(不等式法)|x_3_|x+1=|(x+1)_4_|x+1n|x+1_|4_|x+1=_4同樣可得值域練習(xí):y=|x|+|x+1|的值域1,+8)例8求函數(shù)y=9x_3x+2（xwb）的值域解：（換元法）設(shè)3x=t，貝q1t3原函數(shù)可化為y=t2t+2,v對稱軸t=111,3at=1時，y.=2;t=3時，y=82mmmaxa值域為b,8(1、一x2+2x的值域例9求函數(shù)y=-V3丿2(t1.0一2.-1y1.原函數(shù)值域即得+1，則y由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，原函數(shù)的值域為3，+例40求

9、函數(shù)y=2x（x1)t:.原函數(shù)的值域為（0,1）例13x21函數(shù)y=R的值域解法一:(逆求法)x2=M0-1y11-y原函數(shù)的值域為-1,1）/法二:（換元法）設(shè)x2+1=t，則0y5所以，值域2）y豐1時，An004（y1）（y+1）n01WyW1.-1Wy1綜合1）、2）值域yI1Wy1解法四：(三角換元法)TxeRcc（兀兀）.設(shè)x二tan00e，廳，則k22丿y=1_加?&=cos20/20e（一兀,兀）/.cos20e*1+tan20原函數(shù)的值域為yI1Wy1例44求函數(shù)y=的值域5t解法一：(判別式法)化為2yx24yx+(3y5)=oy二0時，不成立y豐o時，Ano得（4y）8

10、y（3y5）n0n0Wyw5綜合1）、2）值域y|0yW55解法二:（復(fù)合函數(shù)法）令2x24x+3=t，則y=-t/1=2（x一1）2+1n1y10y0(1-y)240y3或y0時，X+-2y3x1/、1c,x+=一(一x)+-2y-12)x-1)的值域解法一：(判別式法)原式可化為x2+(2y)x+2-y=0/A0(2-y)2-4(2-y)0ny2或y-1y2(x+1x+1當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號，故值域為2,+8）例17(選)求函數(shù)y=(-2x2)的值域解：（換元法）令x+1=t，則原函數(shù)可化為y=t+1（1t3）bax2+bx+c,.、小結(jié)：已知分式函數(shù)y=（a2+d2豐0）,如果在其自然

11、定義域內(nèi)可采用dx2+ex+f判別式法求值域；如果是條件定義域，用判別式法求出的值域要注意取舍，或者可以化為二次式.、一次式（選）y一次式（或cy一次式）的形式，采用部分分式法，進(jìn)而用基本不寺式法求出函數(shù)的最大最小值；如果不滿足用基本不等式的條件，轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)y=x+-（x豐0）的單調(diào)性去解。x利用判別式求值域時應(yīng)注意的問題用判別式法求值域是求函數(shù)值域的常用方法，但在教學(xué)過程中，很多學(xué)生對用判別式求值域掌握不好。一是不理解為什么可以這樣做，二是學(xué)生對哪些函數(shù)求值域可以用判別式法，哪些函數(shù)不能也比較模糊。本人結(jié)合自己的教學(xué)實踐談?wù)剬Ρ緝?nèi)容的一點體會。一、判別式法求值域的理論依據(jù)例1、求函數(shù)y=

12、x2的值域x2一x+1象這種分子、分母的最高次為2次的分式函數(shù)可以考慮用判別式法求值域。x2一x解由y=得：x2一x+1(y1)x2+(l-y)x+y=0上式中顯然yH1,故式是關(guān)于x的一元二次方程A=(1-y)2-4y(y-1)令A(yù)n0,解得-*y0，解得邁y0，解得和y0,綜合(1)、(2)可得函數(shù)的值域為yeR。錯因：解中函數(shù)式化為方程時產(chǎn)生了增根(x=-3與x=2雖不在定義域內(nèi)，但是方程的根),因此最后應(yīng)該去掉x=-3與x=2時方程中相應(yīng)的y值。所以正確答案為y1y豐1，且y豐|。三、注意變形后函數(shù)值域的變化例3:求函數(shù)y=x+：1-x2的值域。錯解：由已知得yx=v1-x2，兩邊平方

13、得(yx)2=1-x2整理得2x2-2yx+y2-1=0，由A=(-2y)2-8(y2-1)0，解得-x-1，因此函數(shù)得最小值不可能為一亡2。x=1時，y=1，ymin=1,故函數(shù)的值域應(yīng)為-1,遷。四、注意變量代換中新、舊變量取值范圍的一致性x2+4例4：求函數(shù)y=的值域。x2+5錯解：令t=tx2+4，則y=1，二yt2-t+y=0，由A=1_4y20及y0t2十1錯因:解法中忽視了新變元t滿足條件t2。設(shè)f(t)=yf2-t+y,A0,y022fo或/0o0y22y綜上所述，在用判別式法求函數(shù)得值域時，由于變形過程中易出現(xiàn)不可逆得步驟，從而改變了函數(shù)得定義域或值域。因此，用判別式求函數(shù)值

14、域時，變形過程必須等價，必須考慮原函數(shù)得定義域，判別式存在的前提，并注意檢驗區(qū)間端點是否符合要求。練習(xí):11、y=x2+9（x豐0）；TOC o 1-5 h z、x2， HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 11解:txH0,y=x2+9=（x一）2+11,y11.X2x1另外，此題利用基本不等式解更簡捷:y=x2+92+9=11(或利用對勾函數(shù)圖x2像法)0y5.3、求函數(shù)的值域y=x+沁：2-x；y=2-百4xx2解：令u=J2-xN0,則x二2-u2,TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark26 o Current

15、 Document 19原式可化為y二2u2+u=_(u2)2+4,99uN0,.yJ4,函數(shù)的值域是(-,4解令t=4x-x2N0得0 xJ4在此區(qū)間內(nèi)(4x-x2)=4,(4x-x2)=0maxmin二函數(shù)y=2-x-x2的值域是y|0y24、求函數(shù)y=|x+1|+|x-21的值域.一一2x+1(x-l)解法1：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：y=3(-1x2)，畫出它的圖象(下圖)，由圖2x一1(xN2)象可知，函數(shù)的值域是y|yN3.解法2:v函數(shù)y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動點x到兩定點-1,2的距離之和，易見y的最小值是,函數(shù)的值域是3,+g.如圖Q$d4-：”總EEED_x-1

16、O12-1Ox12-1O12x5、求函數(shù)y=2x+471x的值域解：設(shè)t=v1-x則tN0 x=1-12代入得y=f(t)=2-(1-12)+4t=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4tN0.y0由此得(5y+1)20*檢驗y=-5（有一個根時需驗證）時=2（代入求根）12電定義域x|xh2且xh3y豐一5再檢驗y=1代入求得x=2yzl綜上所述，函數(shù)y=-5卄f的值域為y|yzl且yz-x2+x一65方法二:把已知函數(shù)化為函數(shù)y=1-(xz2)(x一2)(x+3)x+3x一3由此可得yzl,11x=2時y=-5即y豐5x2-5x+6二函數(shù)y=匚=的值域為1y|yzl且yz-5卜函數(shù)值域求

17、法十一種1直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。_1例1.求函數(shù)y=x的值域。顯然函數(shù)的值域是：Y,0)(0,+Q例2.求函數(shù)y=3-Px的值域。解：沃0Jx0,3x013解得：2-y-2113當(dāng)y=1時，x=0，而221故函數(shù)的值域為222_例5.求函數(shù)y=x+春,(2x)的值域。解:兩邊平方整理得：2x2-2(y+1)x+y2=0(1)*xGR/.A=4(y+1)2-8y0解得：1-込y0，得0 x0,僅保證關(guān)于X的方程：2x22(y+l)x+y2=0在實數(shù)集R有實根，而不能確保其實根在區(qū)間0,2上，即不能確保方程有實根，由a0求出的范圍可能比y的實際范圍大，故不能確定此

18、函數(shù)的值域為1丁_2込?？梢圆扇∪缦路椒ㄟM(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。/0 x0yi=0,y=1+*2代入方程(1)mmg0,2x解得：12+72-2即當(dāng)廣2時，原函數(shù)的值域為：0+應(yīng)注:由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時,應(yīng)綜合函數(shù)的定義域?qū)U大的部分剔除。反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。3x+4例6.求函數(shù)5x+6值域。46yX=解：由原函數(shù)式可得：5y-3=46y3則其反函數(shù)為：y=C，其定義域為：x豐5(3)故所求函數(shù)的值域為：5J函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性,反客為主來確定函數(shù)的值域。ex一

19、1例7求函數(shù)y=二71的值域。ex=解：由原函數(shù)式可得：y-1*ex0皿0y1解解得:-1y1故所求函數(shù)的值域為(-1,1)cosx例8.求函數(shù)數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：ysinx-cosx=3y,可化為:y2+1sinx(x+p)=3ysinx(x+p)=姿-即y2+1*xGRsinx(x+p)G-1,1-1亠1即y2+122解得:-TyT故函數(shù)的值域為_44_函數(shù)單調(diào)性法例9求函數(shù)y=2x-5+logx-1(2x0,故原函數(shù)的值域為（0,遷換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一,在求函數(shù)的值域中

20、同樣發(fā)揮作用。例11.求函數(shù)y=x+0)則x二t2+11、3y=t2+t+1=(t+)2+24又t0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)t=0時，y.=1mmg寸.ssTHso。Xgzu一STHAZx+I3+1忡耳ccrmHXpJoH竺ZuisH*i匚cysLlZxIoXZZxIxzIOWEI+E+JHA蕊臨Xmx00二運屆VI5+gvlOGvlgvl0I+TgMsHI+gsoo+gsHgzsooIp+1+gSOOHA巨oVq.qsoo丄+xGe(I+x)&OA(I+X)IOWW49Z(I+X)L,+z+XHA蕊臨0,可得1X|、忑故可令x=、-5cos卩,pe0,兀y=：5cosp+4+J5sinB=祁

21、10sin(p+扌)+4TOBlAB1=10故所求函數(shù)的值域為：10,+8例17.求函數(shù)y=：x2-6x+13+：x2+4x+5的值域。解：原函數(shù)可變形為：y=(x-3)2+(02)2*(x+2)2+(0+1)2上式可看成X軸上的點P(x,O)到兩定點A(3,2),B(-2,-l)的距離之和，由圖可知當(dāng)點P為線段與X軸的交點時y=1ABI二J(3+2)2+(2+1)2=44min故所求函數(shù)的值域為幣,+8例18.求函數(shù)y=：x2-6x+13X2+4x+5的值域。解:將函數(shù)變形為：y=：(x-3)2+(0-2)2-、：(x+2)2+(0-1)2上式可看成定點A(3,2)到點P(x,0)的距離與定點B(-2,1)到點玖x,0)的距離之差。即：y=IAPI-IBPI由圖可知:(1)當(dāng)點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點p,則構(gòu)成AABP,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有IIAPI-1BPIIIABI=(3+2)2+(2-1)226即：-転2、：ab,a+b+c33；abc(a,b,cgR+),求函數(shù)的最值其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是