2022屆內蒙古包頭市第一中學（包頭市）高三第二次模擬考試數學（理）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 18 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁2022屆內蒙古包頭市第一中學（包頭市）高三第二次模擬考試數學（理）試題一、單選題1設集合，則（）ABCD【答案】C【分析】直接由交集得概念求解即可.【詳解】由題意知：.故選：C.2已知i為虛數單位，若，則（）ABCD【答案】A【分析】利用復數乘方和除法運算求得的表達式.【詳解】由得.故選：A.【點睛】本小題主要考查復數乘方和除法的運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.3在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述

2、兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為已知星的星等是，星的星等是，則星與星的亮度的比值為（）ABCD【答案】A【分析】根據題意，運用代入法，結合對數與指數的互化公式進行求解即可.【詳解】因為，星的星等是，星的星等是，所以，故選：A4某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形該多面體的體積為（）A8BC12D【答案】B【分析】根據三視圖確定幾何體的形狀，結合棱錐和棱柱的體積公式進行求解即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體是上面是直三棱錐下面是直三棱柱組成的多面體，所以體積為：，故選：B5設，隨機變量的分布列如下表：0

3、12P當a在內增大時，則（）A減小B增大C先減小后增大D先增大后減小【答案】A【分析】根據期望和方差公式表示出、，再根據函數的性質判斷即可；【詳解】由題意，所以，所以在上隨增大而減小故選：A6等差數列的公差為d，前n項和為，設甲：；乙：是遞減數列，則（）A甲是乙的充分條件但不是必要條件B甲是乙的必要條件但不是充分條件C甲是乙的充要條件D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】取特殊值說明不滿足充分性，由，即對任意成立可得滿足必要性即可求解.【詳解】若，取，易知，即，不是遞減數列，故甲推不出乙；若是遞減數列，則時，有，即對任意成立，又是等差數列，故有，即乙能推出甲，故甲是乙的必要

4、條件但不是充分條件.故選：B.7若，則（）ABCD【答案】B【分析】根據同角的三角函數關系式，結合二倍角的正弦公式和余弦公式、特殊角的三角函數值進行求解即可.【詳解】，因為，所以，于是由，解得，解得，或（舍去），因為，所以，即，故選：B8海洋藍洞是地球罕見的自然地理現象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞.若要測量如圖所示的藍洞的口徑A，B兩點間的距離，需要在珊瑚群島上取兩點C，D，測得CD=50，ADB=135，BDC=DCA=15，ACB=120，則A，B兩點的距離為（）ABCD【答案】C【分析】在中，由余弦定理可得AC，在中，由余弦定理可得CE，然

5、后可得BC，最后在中，由余弦定理可得AB.【詳解】記AC與BD的交點為E，由題可知，在中，所以由余弦定理可得則在中，易知，由余弦定理有解得在中，易知，所以在中，由余弦定理可得所以m故選：C9已知，是雙曲線的兩個焦點，R是C上的一點，且，C經過點，則C的實軸長為（）ABC6D3【答案】B【分析】由雙曲線定義及分別求出，再由余弦定理得，進而結合C經過點解出即可求解.【詳解】由雙曲線定義可得，又可得，由余弦定理可得，即，化簡得，又，可得；又C經過點，故，即，解得，故C的實軸長為.故選：B.10將4個A和2個B隨機排成一行，則2個B相鄰且不排在兩端的概率為（）ABCD【答案】D【分析】先通過倍縮法求出

6、總情況有，再通過插空法求得滿足題意的有，由古典概率即可求解.【詳解】由4個A不區(qū)分順序、2個B不區(qū)分順序，可得總情況有種，先排4個A有1種排法，在形成的3個中間的空中插入B即可，故2個B相鄰且不排在兩端的情況有種，故概率為：.故選：D.11已知A，B，C，D是半徑為R的球O的球面上的四個點，ABC為等邊三角形且它的外接圓的面積為，三棱錐體積的最大值為，則R的值為（）ABC4D6【答案】C【分析】先由外接圓的面積求出ABC的邊長，進而由三棱錐體積的最大值求出此時的高，再由勾股定理求即可.【詳解】如圖：設外接圓的半徑為，則，解得，又ABC為等邊三角形，由正弦定理可得，解得，故，又三棱錐體積的最大值

7、為，可知當三點共線如圖所示時，三棱錐高最大，即體積最大，設此時高為，故，解得，顯然此時面，在中可得，解得.故選：C.12設函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，.若，則（）ABCD【答案】A【分析】直接由為奇函數得，由為偶函數得，通過賦值法得，進而求出，再由求解即可.【詳解】由為奇函數可得，令，可得，令，可得，即；由為偶函數可得，令，可得，又可得；由解得，故時，.令，由可得；令，由可得，故.故選：A.二、填空題13已知非零向量，滿足，且，與的夾角為45，則_【答案】【分析】由，則其數量積為零，可得，將條件代入可得答案.【詳解】由，即，即 所以，即，所以故答案為：14曲線在點處的切線方程為_

8、.【答案】【分析】先求導求出切線斜率，再求切線方程即可.【詳解】，則，故點處的切線方程為，即.故答案為：.15已知拋物線：的焦點為，斜率為-1的直線與的交點為，若，則的方程為_【答案】【分析】設出直線的方程與拋物線方程聯立，根據一元二次方程根與系數關系，結合拋物線的定義進行求解即可.【詳解】拋物線：的焦點為，準線方程為，因為斜率為-1的直線與的交點為，所以設直線的方程為，所以有，設，因此有，由，所以直線的方程為，故答案為：16已知函數的部分圖象如圖所示，則滿足條件的最小正偶數x為_.【答案】4【分析】先根據圖象求出函數的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正偶數.【詳解】由圖可知，即

9、，所以；由五點法可得，即；所以.因為，；所以由可得；由，即，或，解得或，令，可得或，所以最小正偶數為4.故答案為：4.三、解答題17已知數列的各項均為互不相等的正數，且，記為數列的前項和，從下面中選取兩個作為條件，證明另一個成立數列是等比數列；數列是等比數列；注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分【答案】答案見解析【分析】若由：根據等比數列的通項公式，結合等比數列前項和、等比數列的定義進行證明即可；若：根據等比數列的性質，結合等比數列的通項公式進行求解即可；若：根據等比數列前項和與通項公式的關系，結合等比數列的通項公式進行求解即可.【詳解】已知數列是等比數列，設數列的公比為，又，所以

10、，因為，所以，根據題意可知，所以解得，所以，所以，且，因為，所以數列是以2為首項，以2為公比的等比數列已知數列是等比數列，數列是等比數列設數列的公比為，又，根據題意，所以，所以，因為數列是等比數列，所以，即，化解得，即，根據題意且，所以得，從而，所以有已知數列是等比數列，因為為數列的前項和，且，所以，設數列的公比為，根據題意有且，所以，當時，又因為，所以，又，所以有，又，所以，所以得，因為所以數列是以1為首項，以2為公比的等比數列18為迎接2022年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動現從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取100名學生，將他們的競賽成績（滿分

11、為100分）分為6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖(1)估計這100名學生的平均成績（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表），并估計這100名學生成績的中位數（精確到0.01）；(2)在抽取的100名學生中，規(guī)定：競賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，競賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”請將下面的列聯表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關”？求出等高條形圖需要的數據，并畫出等高條形圖（按圖中“優(yōu)秀”和“非優(yōu)秀”所對應陰影線畫），利用條形圖判斷競賽成績優(yōu)秀與性別是否有關系？列聯表優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男生10女生50合計100參考公式及數據：，0.100.050.0250.0100

12、.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)平均成績73，中位數73.33；(2)表格見解析，沒有；答案見解析，有.【分析】（1）根據頻率直方圖，結合平均數和中位數的性質進行求解即可；（2）根據頻率直方圖完成列聯表，結合題中所給的公式進行求解即可；根據列聯表畫出等高條形圖，再做出判斷即可.【詳解】(1)這100名學生的平均成績：，設成績的中位數為，則根據頻率分布直方圖可知，有，解得；(2)根據表中已知數據和頻率分布直方圖得下表優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男生104050女生203050合計3070100根據表中數據可得，因為4.7626.635，所以沒有99

13、%的把握認為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關” 根據列聯表中數據可知，樣本中男生優(yōu)秀的頻率為，男生非優(yōu)秀的頻率為；女生優(yōu)秀的頻率，女生非優(yōu)秀的頻率為所畫等高條形圖如圖所示：根據等高條形圖，比較圖中兩個用斜紋實線所畫條的高可以發(fā)現，女生樣本中成績優(yōu)秀的頻率明顯高于男生樣本中成績優(yōu)秀的頻率，因此可以認為競賽成績優(yōu)秀與性別有關19已知直三棱柱中，側面為正方形.，D，E分別為AC和上的點，且，F為棱上的點，.(1)證明：，且；(2)當為何值時，平面與平面DEF所成的二面角的正弦值最??？【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證以及即可證得平面，即可證得，建立空間直角坐標系，求出，由即可證得；（2）直

14、接寫出平面的一個法向量，求出平面DEF的法向量，由夾角公式表示出余弦值，由平方關系求出二面角的正弦值，結合二次函數求解即可.【詳解】(1)因為，所以，又，且，所以平面，又平面，所以.因為，所以在中，又，所以，由，且，得，取點B為坐標原點，以BA，BC，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系（如圖所示）.則，設，則，于是，所以，即.(2)因為平面的一個法向量為，又由（1）知，設平面DEF的法向量為，則，所以有取，得，于是平面DEF的法向量為，所以，設平面與平面DEF所成的二面角為，則，故當時，平面與平面DEF所成的二面角的正弦值取得最小值為.所以當時，平面與平面DEF所成的二面角的正弦值

15、最小.20設為坐標原點，動點在橢圓C：上，過點作軸的垂線，垂足為，點滿足(1)當為何值時，點的軌跡為圓，并求出該圓的方程；(2)當點的軌跡為圓時，設點在直線上，且，證明：過點且垂直于的直線過的右焦點【答案】(1)，；(2)證明見解析.【分析】（1）根據共線向量的性質，結合點在橢圓上運用代入法進行求解即可；（2）根據平面向量數量積的坐標表示公式，結合（1）的結論、平面向量垂直的性質進行證明即可.【詳解】(1)設，則，由，得，因為點在上，所以有，當，即時，點的軌跡為圓，該圓的方程為；(2)由題意知，設，則，又，由已知，得，又由（1）知，把此式代入中，得，所以，故，又過點存在唯一的直線垂直于，所以過

16、點且垂直于的直線l過的右焦點【點睛】關鍵點睛：運用平面向量共線的性質和數量積的坐標表示公式是解題的關鍵.21已知m0且m1，函數.(1)當m=2時，求的極值點；(2)當時，若曲線與直線y=1有且僅有1個交點，求m的取值范圍.【答案】(1)是極小值點，是極大值點(2)【分析】（1）直接求導，確定單調性，進而求出極值點；（2）先將曲線與直線有且僅有1個交點轉化為有1個解，構造函數，求導確定單調性及最大值，結合圖像即可求解.【詳解】(1)當m=2時，函數，令，則，此時函數單調遞增，令，則或，此時函數單調遞減，所以是的極小值點，是的極大值點.(2)當時，曲線與直線有且僅有1個交點，可轉化為方程有1個解，即方程有1個解.設，則，令，得，當，函數單調遞增，當xe時，函數單調遞減，故，且當xe時，所以時，方程有1個解，所以m=e，又，所以當時，根據函數的單調性可知，方程也有一個解，這時由與m0，得，得到0m1，綜上，當時，若曲線與直線y=1有且僅有1個交點，則m的取值范圍是.22在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系(1)當時，曲線是什么曲線？并求的極坐標方程；(2)當時，求與的公共點的直角坐標【答案】(1)曲線是以與為端點的線段，（，）；(2).【分析】（