剛體力學(xué)基礎(chǔ)動(dòng)量矩剛體和剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體

1、第5章 剛體力學(xué)基礎(chǔ) 動(dòng)量矩 1剛體和剛體的基本運(yùn)動(dòng) 2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)定律 3 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能 動(dòng)能定理 4 動(dòng)量矩和動(dòng)量矩守恒定律 剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)-回轉(zhuǎn)儀的旋進(jìn) 1角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量二、力對(duì)定點(diǎn)的力矩三、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律四、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量問(wèn)題 2思路:與處理動(dòng)量定理 動(dòng)量守恒問(wèn)題相同一、質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量t 時(shí)刻(如圖)定義為質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)o 的角動(dòng)量方向：垂直 組成的平面SI大?。毫?綱：3 t 時(shí)刻 如圖定義為力對(duì)定點(diǎn)o 的力矩二、力對(duì)定點(diǎn)的力矩大?。褐袑W(xué)就熟知的：力矩等于力乘力臂方向：垂直 組成的平面量綱：41）物理量角動(dòng)量和力矩均

2、與定點(diǎn)有關(guān)，角動(dòng)量也稱動(dòng)量矩，力矩也叫角力；2） 對(duì)軸的角動(dòng)量和對(duì)軸的力矩 在具體的坐標(biāo)系中，角動(dòng)量（或力矩）在各坐標(biāo)軸的分量，就叫對(duì)軸的角動(dòng)量（或力矩）。 ( 見(jiàn) 6 7 8 頁(yè) )討論5：質(zhì)點(diǎn)對(duì)x軸的角動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)對(duì) x軸的力矩某一方向的分量怎么求呢？由定義出發(fā)： 分量中，涉及的位矢分量為x,y涉及的力的分量為Fx,Fy例如：力矩下面，用圖示形象說(shuō)明，加深理解該計(jì)算過(guò)程6用圖示加深理解計(jì)算過(guò)程思路： 設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)o是求力 矩的定點(diǎn) 某時(shí)刻 質(zhì)點(diǎn)位矢是受力是然后將位矢和力向xy平面和z方向兩個(gè)分向分解最后得出結(jié)果7轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)平面求力對(duì) z 軸的力矩的簡(jiǎn)化步驟：第1步，通過(guò)質(zhì)點(diǎn)畫z軸轉(zhuǎn)動(dòng)平面（過(guò)質(zhì)點(diǎn)

3、垂直轉(zhuǎn)軸的平面，即過(guò)質(zhì)點(diǎn)的xy平面）第2步，認(rèn)定位矢和力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分量第3步，算出力對(duì)z軸的力矩結(jié)論：z軸轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分量的運(yùn)算就是對(duì)z軸的力矩（或角動(dòng)量）8角動(dòng)量守恒定律沖量矩微分形式積分形式角動(dòng)量定理91）角動(dòng)量守恒定律的條件2）動(dòng)量守恒與角動(dòng)量守恒 是相互獨(dú)立的定律 3） 有心力 力始終過(guò)某一點(diǎn) central force行星在速度和有心力所組成的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量守恒如行星運(yùn)動(dòng)動(dòng)量不守恒角動(dòng)量守恒討論10開普勒第二定律掠面速度角動(dòng)量守恒就是掠面速度相等常矢量m例題5.8,5.9(173)11四、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量問(wèn)題 1.對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量2.定理和守恒定律內(nèi)力對(duì)定點(diǎn)的力矩之和為零質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的

4、重要結(jié)論之三 (自證)12形式上與質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理完全相同內(nèi)力對(duì)定點(diǎn)的力矩之和為零只有外力矩才能改變系統(tǒng)的總角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律13盤狀星系角動(dòng)量守恒的結(jié)果14比較 動(dòng)量定理 角動(dòng)量定理 形式上完全相同，所以記憶上就可簡(jiǎn)化。從動(dòng)量定理變換到角動(dòng)量定理，只需將相應(yīng)的量變換一下，名稱上改變一下。 （趣稱 頭上長(zhǎng)角 尾部添矩）15 動(dòng)量定理 角動(dòng)量定理力力矩或角力動(dòng)量角動(dòng)量或動(dòng)量矩力的沖量力矩的沖量或沖量矩16基本方法： 質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)定理 加 剛體特性剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的 動(dòng)能定理 角動(dòng)量定理平動(dòng)：動(dòng)量定理可以解決剛體的一般運(yùn)動(dòng)（平動(dòng)加轉(zhuǎn)動(dòng)）剛體力學(xué)基礎(chǔ)171 剛體和剛體的基本運(yùn)動(dòng) 一、一般運(yùn)動(dòng) 二、剛體的

5、定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 三、解決剛體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般方法18剛體：在任何情況下形狀、大小都不發(fā)生變化的力學(xué)研究對(duì)象。質(zhì)元：把剛體分成的許多可以看成質(zhì)點(diǎn)的微小部分。一、剛體的平動(dòng)（最簡(jiǎn)單） 1. 定義：在運(yùn)動(dòng)中，剛體上任意一條直線在各個(gè)時(shí)刻的 位置都保持平行。 如沿直線軌道運(yùn)動(dòng)的車廂2、特點(diǎn)：剛體上任意兩點(diǎn)的連線在平動(dòng)中是平行且相等的！剛體上任意質(zhì)元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各質(zhì)元的位移、速度和加速度卻相同(證明見(jiàn)書149頁(yè))。在剛體平動(dòng)時(shí),只要知道剛體上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),就可以完全確定整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng).因此，常用“剛體的質(zhì)心”來(lái)研究剛體的平動(dòng)：193、平動(dòng)的自由度：3個(gè)自由度：決定物體的空間位置所需要的獨(dú)

6、立坐標(biāo)個(gè)數(shù)。是描述物體運(yùn)動(dòng)自由程度的物理量 。獨(dú)立坐標(biāo)：描寫物體位置所需的最少的坐標(biāo)數(shù) 。20二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1、定義若剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，所有質(zhì)元都在與某一直線垂直的諸平面上作圓周運(yùn)動(dòng)且圓心在該直線上，則稱剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，該直線稱作轉(zhuǎn)軸。 2、特點(diǎn)剛體中始終保持不動(dòng)的直線就是轉(zhuǎn)軸。剛體上軸以外的質(zhì)元繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)平面與軸垂直且為圓周，圓心在軸上。 和轉(zhuǎn)軸相平行的線上各質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)情況完全一樣。 213、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角坐標(biāo)如圖示：建立O-xyz系，z軸與轉(zhuǎn)軸重合，O點(diǎn)任意選取，截取剛體一個(gè)剖面o-xy平面，此位置只要確定，剛體的位置就確定了，除O點(diǎn)外，再選一個(gè)A點(diǎn)，此圖形的位置可由矢量來(lái)確定，而

7、矢量的大小是不變的，方向只需由 矢量與x軸的夾角來(lái)確定，此角稱為：繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角坐標(biāo)。 角的正負(fù)規(guī)定：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向和z 軸成右手螺旋時(shí)，角為正，否則角為負(fù)。224、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)的描述 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程： ， 即：角坐標(biāo)隨時(shí)間的變化規(guī)律。描述剛體整體運(yùn)動(dòng)的物理量角量，包括：角位移，角速度，角加速度。 角位移：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在時(shí)間內(nèi)角坐標(biāo)的增量 。任意質(zhì)元的角位移是相同的是一整體運(yùn)動(dòng)的量。面對(duì)z 軸觀察：逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)， ；反之， 。角速度 ：在這一過(guò)程中，即：瞬時(shí)角速度等于角坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。 面對(duì)z軸觀察逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)： ；反之， 。23角加速度 ： 即：瞬時(shí)角加速度等于角速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)

8、。加速轉(zhuǎn)動(dòng)，與同號(hào)， ；反之， 。24 5 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角量和線量關(guān)系(1).各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)平面 在自己的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)(2).描述的物理量任一質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的線量和角量的關(guān)系減速加速簡(jiǎn)化25由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角量和線量關(guān)系可知：角量：描述剛體整體運(yùn)動(dòng)的物理量；角量充分描述了剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)線量：描述剛體任一質(zhì)元運(yùn)動(dòng)的物理量，由角量可得線量物理量單位量綱物理量單位量綱角位移 rad1線位移 r mM角速度rad/sT-1線速度 m/sMT-1角加速度rad/sT-2線加速度 am/s-2MT-226設(shè)板面是轉(zhuǎn)動(dòng)平面加速進(jìn)一步解釋276 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的勻速和勻變速運(yùn)動(dòng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的勻速

9、和勻變速運(yùn)動(dòng)基本公式的推導(dǎo)與質(zhì)點(diǎn)勻速直線運(yùn)動(dòng)和質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的基本公式推導(dǎo)類似 基本公式 (書151頁(yè))轉(zhuǎn)速n : 每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù) 單位 r/min例題5.1(152頁(yè)), 5.2(154頁(yè))28三、解決剛體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般方法 原則:質(zhì)點(diǎn)系的三個(gè)定理 利用剛體的特征化簡(jiǎn)到方便形式( 簡(jiǎn)便 好記)1.剛體的平動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)模型 運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 2.剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 利用剛體的模型(無(wú)形變) 化簡(jiǎn)角動(dòng)量定理 功能原理 方便的形式292 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)定律 3 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能 動(dòng)能定理 4 動(dòng)量矩和動(dòng)量矩守恒定律 一、 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算(*) 三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理

10、(*) 四、角動(dòng)量守恒定律 五、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的能量關(guān)系30一、 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 (質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理微分形式的簡(jiǎn)化) 質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理微分形式：1.化簡(jiǎn)過(guò)程定軸轉(zhuǎn)動(dòng)所以，可直接寫分量式31=?因?yàn)楦髻|(zhì)元角動(dòng)量方向相同，所以合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加任一質(zhì)量元的角動(dòng)量大小為因?yàn)樗?2定義剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)一步化簡(jiǎn)則剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量或?qū)憺?32.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律在轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中的地位相當(dāng)于平動(dòng)時(shí)的牛頓第二定律應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題步驟與牛頓第二定律時(shí)完全相同。見(jiàn)181頁(yè)選擇 題(1)34二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 1.定義例：如圖質(zhì)點(diǎn)系35例5.3(159頁(yè)) 已知一質(zhì)量為

11、M、長(zhǎng)為L(zhǎng)的均質(zhì)細(xì)棒,求桿對(duì)通過(guò)桿的一端并與桿垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解 取棒的一端為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿棒長(zhǎng)方向取x軸，在棒上離原點(diǎn)x處取一段dx，則dx段的質(zhì)量為根據(jù)公式，有 若軸通過(guò)中心，則yxLxdx在一系列的平行軸中，對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小y362.計(jì)算 1) 對(duì)稱的 簡(jiǎn)單的 查表 (161頁(yè))2) 平行軸定理 parallel axis theoremyxLxdxy37 J 和轉(zhuǎn)軸有關(guān) 同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的 ooml213J=ooml1122J=oomr122J=oomr142J=平行軸38哪種握法轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大？39例5.4 (162) 已知:定滑輪解:受力圖輕繩 不伸長(zhǎng) 無(wú)相對(duì)

12、滑動(dòng)求：1）物體加速度a2）繩子的張力T3 ) 滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度設(shè)得解40三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理(積分形式)一般的質(zhì)點(diǎn)系一個(gè)剛體四.角動(dòng)量守恒定律由多個(gè)剛體組成的剛體體系41演示(一)茹可夫斯基凳花樣滑冰 跳水(二)自行車轉(zhuǎn)盤mm42五、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的能量關(guān)系1.動(dòng)能定理 化簡(jiǎn)1）用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表達(dá)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理理解(164頁(yè))432） 用角量表示的力作功的形式3） 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理形式 (167頁(yè)) 2.重力場(chǎng)中,機(jī)械能守恒定律系統(tǒng)- 剛體 + 地球了解(165頁(yè))例題5.6(168)例題5.5(166頁(yè)),44例 質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)量均勻的細(xì)棒相撞(如圖)解：過(guò)程1 質(zhì)點(diǎn)與細(xì)棒相碰撞 碰撞過(guò)程中系統(tǒng)對(duì)o 點(diǎn) 的合力矩為設(shè)，完全非彈性碰撞求：棒擺的最大角度所以，系統(tǒng)對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。即，45細(xì)棒勢(shì)能質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能過(guò)程2 質(zhì)點(diǎn)、細(xì)棒上擺 系統(tǒng)中包括地球