微積分不定積分教案

1、關(guān)于微積分不定積分教案1第一張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2例第一節(jié) 不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念定義不定積分又稱反導(dǎo)數(shù),它是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算. 本章所講的內(nèi)容就是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。第二張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月3原函數(shù)存在定理：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：(1) 原函數(shù)是否存在？(2) 是否唯一？因此初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都有原函數(shù) 。(但原函數(shù)不一定是初等函數(shù)) 第三張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月4唯一性？第四張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月5任意常數(shù)積分號被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為定義 第五張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2

2、022年6月6例1 求解解例2 求第六張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月7由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.或或第七張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月8實例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？二、 基本積分表第八張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月9基本積分表(k是常數(shù));說明：第九張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月10基本積分表(k是常數(shù));第十張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月11基本積分表第十一張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月12例3 求積分解根據(jù)積分公式（2）第十二張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月13

3、例4 設(shè)曲線通過點(diǎn)(1,3), 且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點(diǎn)(1,3)所求曲線方程為-2-1O12x-2-112 yyx2+2yx2(1, 3) 第十三張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月14證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）第二節(jié) 不定積分的運(yùn)算法則第十四張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月15例1例2例3直接積分法第十五張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月16例4例5第十六張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月17例8例9例10第十七張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月18問題

4、？第三節(jié) 換元積分法一、第一類換元法 (湊微分法)湊微分第十八張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月19 湊微分法的關(guān)鍵是“湊”, 湊的目的是把被積函數(shù)的中間變量變得與積分變量相同.第十九張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月20例1例2 運(yùn)用 d ( x+ k ) =dx第二十張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月21例3 運(yùn)用 d ( ax + b ) = a dx第二十一張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月22例4 運(yùn)用 d (x2 ) = 2x dx第二十二張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月23(1)根據(jù)被積函數(shù)復(fù)合函數(shù)的特點(diǎn)和基本積分公式的形式,依據(jù)恒等變形

5、的原則, 把 dx湊成d(x) . 如 (2)把被積函數(shù)中的某一因子與dx湊成一個新的微分d(x) .如“湊微分”的方法有:方法1較簡單, 而方法2則需一定的技巧, 請同學(xué)們務(wù)必記牢以下常見的湊微分公式！第二十三張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月24常用湊微分公式：等等.第二十四張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月25例5例6例7第二十五張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月26例7例8第二十六張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月27例9例10第二十七張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月28練習(xí)一第二十八張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月296.7.8.第

6、二十九張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月30例11另：例12類似地，第三十張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月31例13練習(xí)說明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分.第三十一張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月32例14例15或解第三十二張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月33例16例17例18第三十三張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月34例19解法1解法2解法3第三十四張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月35例20第三十五張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月36解例21 設(shè) 求 .令第三十六張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月37

7、第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法，不過如何適當(dāng)?shù)剡x取代換卻沒有一般的規(guī)律可循，只能具體問題具體分析。要掌握好這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，并善于根據(jù)這些微分公式對被積表達(dá)式做適當(dāng)?shù)奈⒎肿冃?，拼湊出合適的微分因子。第三十七張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月38二、第二類換元法回代,得 問題解決方法“根式替換”第三十八張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月39稱為第二換元法回 代第三十九張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月40例1解“根式替換”第四十張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月41例2解第四十一張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月42指數(shù)替換第

8、四十二張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月43例5 求解令注意：根式替換與指數(shù)替換可以結(jié)合使用第四十三張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月44例4解三角替換正弦替換第四十四張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月45例5解正切替換第四十五張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月46例6解正割替換第四十六張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月47說明：以上幾例所使用的均為三角代換,目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令 但是否一定采用三角代換并不是絕對的, 有時可靈活采用別的方法 .注意：所作代換的單調(diào)性。對三角代換而言，掌握著取單調(diào)區(qū)間即可。第四十七張，

9、PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月48例7解或解：倒數(shù)代換第四十八張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月49例8解或解：（練習(xí)）第四十九張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月50若被積函數(shù)包含根式可考慮如下替換：第五十張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月51第五十一張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月52基本積分表第五十二張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月53第五十三張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月54例9例10第五十四張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月55例11例12第五十五張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月56湊微分分部積分公式問題

10、解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.第四節(jié) 分部積分法分部積分的過程： 第五十六張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月57 在兩個被積函數(shù)中選擇一個先積出來，使得原來的較難積出的不定積分轉(zhuǎn)移為另一個比較容易積出的不定積分，這種新的積分技巧，被稱為 “ 分部積分法 ” 。 分部積分法中先積函數(shù)（ v(x ) ）的選擇，一般可以遵照 “指三冪對反” 的先積原則，也就是排在前面的函數(shù)，作為v（與dx湊微分后成dv）為好。第五十七張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月58例1注積分更難進(jìn)行 .例2第五十八張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月59例3例4分部積分法可多次使用.第五十九張，P

11、PT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月60練習(xí)總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設(shè)冪函數(shù)為 , 使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))第六十張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月61例6第六十一張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月62例7例8第六十二張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月63例9例10練習(xí)第六十三張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月64例11第六十四張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月65所以例12第六十五張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月66例13解第六十六張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月67例13

12、分部積分法與換元法結(jié)合: 解第六十七張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月68例14第六十八張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月69解例15由題意,第六十九張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月70說明:分部積分題目的類型:1) 直接分部化簡積分 ;2) 分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式 ;(注意: 兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類型不變 , 解出積分后加 C )第七十張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月71思考與練習(xí)1. 下述運(yùn)算錯在哪里? 應(yīng)如何改正?得 0 = 1答: 不定積分是原函數(shù)族 , 相減不應(yīng)為 0 . 求此積分的正確作法是用換元法 .第七十一張，PPT共

13、九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月72第五節(jié) 幾種特殊類型函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分第七十二張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月73假定分子與分母之間沒有公因式有理函數(shù)是真分式；有理函數(shù)是假分式； 利用多項式除法, 假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例要點(diǎn)將有理函數(shù)化為部分分式之和.以下只考慮真分式的積分. 第七十三張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月74將分母作因式分解，按照多項式的性質(zhì)得知，得到的因式只可能出現(xiàn)下面四種可能 ：第七十四張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月75（1）分母中若有因式 ，則分解后有有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為第七十五

14、張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月76（2）分母中若有因式 ，其中則分解后有特殊地：分解后為第七十六張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月77真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例1第七十七張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月78代入特殊值來確定系數(shù)例2第七十八張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月79例3第七十九張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月80真分式可分為以下四種類型的分式之和： 這四類分式均可積分,且原函數(shù)為初等函數(shù).因此,有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù). 第八十張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月81四種典型部分分式的積分: 變分子為 再分項積分 第

15、八十一張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月82例4例5第八十二張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月83例6例7第八十三張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月84例8. 求解: 原式思考: 如何求提示:變形方法同例8, 并利用 遞推公式。 第八十四張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月85注意 以上介紹的雖是有理函數(shù)積分的普遍方法，但對一個具體問題而言，未必是最簡捷的方法，應(yīng)首先考慮用其它的簡便方法。如使用湊微分法比較簡單基本思路盡量使分母簡單降冪、拆項、同乘等化部分分式，寫成分項積分可考慮引入變量代換第八十五張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月86例8靈活運(yùn)用其它方法：例9第八十六張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月87二、三角函數(shù)有理式的積分萬能代換公式：化為有理函數(shù)的積分. 第八十七張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月88例10 求積分解第八十八張，PPT共九十三頁，創(chuàng)作于2022年6月89或解