傳熱學(xué)第四章導(dǎo)熱數(shù)值解法

1、第四章熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解法Shanghai Jiao Tong University有限差分法的基本：用有限小的差分、差商近似代替無限小的微分、微代數(shù)形式的差分方程近似代替微分方程，并通過求解差分方程求取有限時(shí)刻物體有限節(jié)點(diǎn)上的溫度值。SJTU-ZXC導(dǎo)熱問題研究的基本方法導(dǎo)熱問題研究的目的實(shí)驗(yàn)方法分子動(dòng)力學(xué)模擬法數(shù)值計(jì)算法有限有限差分法理論分析法強(qiáng)化/減弱導(dǎo)熱的措施熱流量溫度分布Shanghai Jiao Tong University數(shù)值計(jì)算方法的基本12將時(shí)間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量場，用有限離散點(diǎn)上數(shù)值的集合來代替，并通過求解離散點(diǎn)物理量組成的3代數(shù)方程來求解，所得的解稱為數(shù)值解。4

2、數(shù)值計(jì)算方法的優(yōu)點(diǎn)：5變物性復(fù)雜幾何形狀復(fù)雜邊界6SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問題Step-1: 控制方程及邊界條件SJTU-ZXCyh3 t ft0h2t fh1t fxShanghai Jiao Tong University二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問題Step-2: 計(jì)算域離散化(m,n)N基本概念：網(wǎng)格線節(jié)點(diǎn)（內(nèi)節(jié)點(diǎn)、邊界節(jié)點(diǎn)）控制容積界面線步長均勻/非均勻網(wǎng)格MmxSJTU-ZXCnyxShanghai Jiao Tong University二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱

3、問題Step-3: 建立節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程基本方法：Taylor（）級數(shù)展開法控制容積平衡法(熱平衡法)f2f (x)2nf (x)n( f x )x f (x )x Lxxx2n2n!SJTU-ZXC邊界外節(jié)點(diǎn)邊界內(nèi)節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)平直邊界節(jié)點(diǎn)內(nèi)節(jié)點(diǎn)itysreo Tong UniviaJi nghaSha內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（級數(shù)展開法）1. 對相鄰節(jié)點(diǎn)寫出溫度 t 對內(nèi)節(jié)點(diǎn)(m, n) 的級數(shù)展開式x(m,n):的相鄰節(jié)點(diǎn)為(m+1,n), (m-1,n)y(m,n):的相鄰節(jié)點(diǎn)為(m,n+1), (m,n-1)X方向mmtSJTU-ZXCt2tx2 t3x31n,t m,nx x2! x

4、3L!x23m , nm , nm , nt223x3 , n3!t 1n, t m, nxm , nitysreo Tong UniviaJi nghaSha內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（級數(shù)展開法）2. 整理得到二階導(dǎo)數(shù)的中心差分中心差分 t2tm,n tm t n121 m, n ,o(x )2x2x2m ,n2ty2m2tt,tmn1nm,o ( n,n1y2)截?cái)嗾`差：級數(shù)余項(xiàng)中的x的最低階數(shù)為2即中心差分格式具有二階精度。y2m ,3. 由控制方程得到內(nèi)節(jié)點(diǎn)(m,n)的離散代數(shù)方程SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）基本

5、：對每個(gè)有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。從所有方向流入控制體的總熱量 控制體內(nèi)熱源生成熱 控制體內(nèi)能的增量穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源時(shí)：從所有方向流入控制體的總熱量0SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）m n+1)y(m+1,n)(m, n)(m-1,n)y(m,n-1)yoxxx對控制體每個(gè)界面線（圖中虛線）應(yīng)用導(dǎo)熱定律。SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University y tm1,n

6、tm,n y tm1,n tm,nexwx x tm,n1 tm,n x tm,n1 tm,nsynyx ySJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University恒定溫度邊界舉例一 T 0 T 0 0T 0123Tm1,n Tm1,n Tm,n1 Tm,n1 4Tm,n 0SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University恒定溫度邊界舉例一Tm1,n Tm1,n Tm,n1 Tm,n14Tm,n 0SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong UniversityStep-3: 建立節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程基本方法：Taylor（）級數(shù)展開法控制

7、容積平衡法(熱平衡法)為什么要建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程？一類邊界條件：方程組封閉，可直接求解二類、三類邊界條件：邊界溫度未知，方程組不封閉將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。用表示內(nèi)熱源。SJTU-ZXC邊界外節(jié)點(diǎn)邊界內(nèi)節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)平直邊界節(jié)點(diǎn)內(nèi)節(jié)點(diǎn)Shanghai Jiao Tong University邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問題從所有方向流入控制體的總熱量 控制體內(nèi)熱源生成熱 0y tm1,n tm,nyqxw x tm,n1 tm,n x tm,n1 tm,nyy22x y 0 &m,n22x

8、x2x y4tm,n 2tm1,n tm,n1 tm,n1&qwm,nSJTU-ZXC平直邊界節(jié)點(diǎn)Shanghai Jiao Tong University邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問題從所有方向流入控制體的總熱量 控制體內(nèi)熱源生成熱 0SJTU-ZXC邊界外角點(diǎn)Shanghai Jiao Tong University邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問題從所有方向流入控制體的總熱量 控制體內(nèi)熱源生成熱 0 y tm1,n tm,ny qxw22x q x tm,n1 tm,nwy22x y 0 &m,n22 2xx2x

9、 y&qw 2tm,ntm1,ntm,n1m,n2SJTU-ZXC邊界外角點(diǎn)Shanghai Jiao Tong University邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問題從所有方向流入控制體的總熱量 控制體內(nèi)熱源生成熱 0y tm1,n tm,n1,n tm,ny qy tmw xx22xtm,n1 tm,n1 tm,nx qx tm,nw yy223xy 0 &m,n4 1 (2t2ttttm1,nm,n1m,n1m1,nm,n6x y 3x2 & 2x2qw )2SJTU-ZXC邊界內(nèi)角點(diǎn)Shanghai Jiao Tong University邊界節(jié)點(diǎn)離

10、散方程的兩個(gè)具體問題：邊界熱流密度的具體處理方法qw constqw h(t f tm,n )qw 0多段折線模擬不規(guī)則邊界，網(wǎng)格越密越接近實(shí)際坐標(biāo)變換：保角變換SJTU-ZXC不規(guī)則邊界的處理方法第三類邊界第二類邊界絕熱邊界Shanghai Jiao Tong University建立節(jié)點(diǎn)離散方程的級數(shù)法與熱平衡法的比較：級數(shù)法屬于純數(shù)學(xué)方法，而熱平衡法基于能量守恒原理，物理概念明確，且推導(dǎo)過程簡捷；級數(shù)法對于建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程較；當(dāng)導(dǎo)熱物體物性或內(nèi)熱源不均勻時(shí)，方便處理。級數(shù)法不適用，而熱平衡法能夠Step-4: 設(shè)置溫度場的迭代初值SJTU-ZXCitysreo Tong Univi

11、aJi nghaShaep-5:tS 節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解n個(gè)未知節(jié)點(diǎn)溫度，n個(gè)代數(shù)方程式： . taa1na nb221. 2nat 2 bn. 迭代解法 2.直接解法：矩陣求逆、nann消tn等ab缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時(shí)不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中的導(dǎo)熱系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計(jì)算過程中要相應(yīng)地不斷更新）SJTU-ZXC直接解法Shanghai Jiao Tong UniversityStep-5: 節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解迭代解法：Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、松弛法等先對要計(jì)算的場作出假設(shè)（給

12、定初始值）、在迭代計(jì)算過程中不斷予以改進(jìn)、直到計(jì)算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計(jì)算已經(jīng)收斂。Gauss-Seidel迭代法：每次迭代時(shí)總是使用節(jié)點(diǎn)溫度的值SJTU-ZXCitysreo Tong UniviaJi nghaShaep-5:tS 節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解Gauss-Seidel迭代法(k)、t (k)(tk)根據(jù)第 k 次迭代的數(shù)值： tn12在計(jì)算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)應(yīng)采用值：SJTU-ZXC1k 1)a(k t1) .at( k ) ( bk )32 23n n3.)1 k 1 )an (k t1).a.nk) (k b2 2n1k 1)a22 ( k t) .a

13、2n t( k )( bk)2n2( k )1a2 ( k )t .a n1 t( k )( bk ) 12n1Shanghai Jiao Tong UniversityStep-5: 節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：Gauss-Seidel迭代法 為允許的偏差，一般取10-310-6max t (k 1)t (k ) ii(k 1)為k次迭代得到的計(jì)算域溫度最大值(k )t (k)ortimax timaxt (k )it (k 1)ort (k ) max ii計(jì)算域溫度存在近于0的值時(shí)采用t (k )maxSJTU-ZXCShanghai Jiao Tong Unive

14、rsityStep-5: 節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解Gauss-Seidel迭代法如何避免迭代發(fā)散？必須滿足對角占優(yōu)原則：每個(gè)迭代變量的系數(shù)總大于/等于該式中其它變量系數(shù)絕對值的代數(shù)和 (參考例題4-1)Step-6: 解的分析如何判斷數(shù)值解的準(zhǔn)確性？三個(gè)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、精確分析解驗(yàn)證、特定問題的基準(zhǔn)解驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算中偏差 總是存在的，增加節(jié)點(diǎn)數(shù)目可以減小誤差。計(jì)算網(wǎng)格獨(dú)立性。SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法由于非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的存在，除了對空間坐標(biāo)離散外，還需要對時(shí)間坐標(biāo)進(jìn)行離散處理。穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散項(xiàng)的離散格式：中心差分格式非穩(wěn)態(tài)

15、項(xiàng)的離散格：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式SJTU-ZXC源項(xiàng)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)（擴(kuò)散項(xiàng)）非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)itysreo Tong UniviaJi nghaSha4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法一穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程及定解條件：ttftfx2hh t 0t初始條件00平板加熱問題 第三類邊界條件xt0邊界條件x 0 xt hx( t tf)xSJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：向前差分格式級數(shù)展開法4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法向后差分格式中心差分格式x 為空間步長 為時(shí)間步長離散化代數(shù)方程點(diǎn)（n,i）偏微分方程非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)向前差分?jǐn)U散項(xiàng)中心差

16、分SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法從所有方向流入控制體的總熱量 控制體內(nèi)能的增量SJTU-ZXC x xdx E t (i ) t (i )A n1nxx t (i ) t (i )A nn1xdxx t (i1) t (i )cA x nnE內(nèi)節(jié)點(diǎn) nShanghai Jiao Tong University非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法左邊對稱絕熱邊界t 0 x 0 xt1 t2SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong Universi

17、ty非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法t (i) t (i)x t (i1) t (i ) t) N 1N xh(t(i ) NN cfN2SJTU-ZXC右邊第三類邊界Shanghai Jiao Tong University4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱節(jié)點(diǎn)離散方程的兩種格式：2顯示格式顯示格式：格式右邊全部為第 i 時(shí)間層的溫度值，只要 i 時(shí)間層溫度已知，即可計(jì)算得到 i+1 時(shí)間層的溫度。顯示格式存在穩(wěn)定性問題：如果節(jié)點(diǎn) t (i) 前面的系數(shù)小于零，則數(shù)值n解出現(xiàn)不穩(wěn)定的震蕩結(jié)果。1 2aFo a 0 0.5顯示格式的穩(wěn)定性條件：x2x2

18、即：空間步長x和時(shí)間步長的選取有限制SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱節(jié)點(diǎn)離散方程的兩種格式：隱式格式隱式格式：空間離散采用（i+1）時(shí)層的值。隱式格式不存在穩(wěn)定性問題，對時(shí)間步長和空間步長沒有限制，但是計(jì)算量較大。SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University導(dǎo)熱問題的數(shù)值計(jì)算實(shí)踐例題4-5 二維肋片穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計(jì)算（1）編程，編程語言自定，最后提交源程序（2）提交電子（word格式），包括：（a）給出空間離散示意圖（網(wǎng)格劃分）（b）節(jié)點(diǎn)離散方程（c） 圖示溫度等值線（可以利用origin或）例題4-6 無限大平板的一穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題數(shù)值計(jì)算（1）編程，編程語言自定，最后提交源程序（2