人教版中考數(shù)學復習專題8幾何最值問題解法探討

1、新人教版中考數(shù)學復習導學案【2013年中考攻略】專題8：幾何最值問題解法探討在平面幾何的動態(tài)問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。（解決平面幾何最值問題的常用的方法有：1）應用兩點間線段最短的公理（含應用三角形的三邊關系）求最值；（2）應用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應用軸對稱的性質(zhì)求最值；（4）應用二次函數(shù)求最值；（5）應用其它知識求最值。下面通過近年全國各地中考的實例探討其解法。一、應用兩點間線段最短的公理（含應用三角形的三邊關系）求最值：典型例題：例1.（山東濟南3分）如圖，MON

2、=90，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為【】A21B5C14555D52【答案】A?！究键c】矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形三邊關系，勾股定理。【分析】如圖，取AB的中點E，連接OE、DE、OD，ODOE+DE，當O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，此時，AB=2，BC=1，OE=AE=12AB=1。DE=AD2AE212122，OD的最大值為：21。故選A。例2.（湖北鄂州3分）在銳角三角形ABC中，BC=42，ABC=45，B

3、D平分ABC，M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是。新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案【答案】4?！究键c】最短路線問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關系，垂直線段的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，在BA上截取BE=BN，連接EM。ABC的平分線交AC于點D，EBM=NBM。在AME與AMN中，BE=BN，EBM=NBM，BM=BM，BMEBMN（SAS）。ME=MN。CM+MN=CM+MECE。又CM+MN有最小值，當CE是點C到直線AB的距離時，CE取最小值。BC=42，ABC=45，CE的最小值為42sin450=4。CM

4、+MN的最小值是4。例3.（四川涼山5分）如圖，圓柱底面半徑為2cm，高為9cm，點A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B，求棉線最短為cm。圓周長、高組成直角三角形。由周長公式，底面圓周長為4cm，高為1【答案】15?！究键c】圓柱的展開，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)?！痉治觥咳鐖D，圓柱展開后可見，棉線最短是三條斜線，第一條斜線與底面1333cm，根據(jù)勾股定理，得斜線長為5cm，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，棉線最短為15cm。例4.（四川眉山3eqoac(,分）)在ABC中，AB5，AC3，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是新人教版中考數(shù)學復習

5、導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案【答案】1AD4?！究键c】全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關系?！痉治觥垦娱LAD至E，使DE=AD，連接CE根據(jù)SAS證明ABDECD，得CE=AB，再根據(jù)三角形的三邊關系即可求解：延長AD至E，使DE=AD，連接CE。BD=CD，ADB=EDC，AD=DE，ABDECD（SAS）。CE=AB。在ACE中，CEACAECEAC，即22AD8。1AD4。練習題：1.（湖北荊門3分）如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和4cm，高為5cm.若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為【】A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm2.

6、（四川廣安3分）如圖，圓柱的底面周長為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點P是母線BC上一點，且PC=23BC一只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點P的最短距離是【】A、(46)B、5cmC、35D、7cm3.（廣西貴港2分）如圖所示，在邊長為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點，點P為線段EF上一個動點，連接BP、eqoac(,GP)，則BPG的周長的最小值是_新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案二、應用垂線段最短的性質(zhì)求最值：典型例題：例1.（山東萊蕪4eqoac(,分）)在ABC中，ABAC5，BC6若點P在邊AC上移動，則BP的最小

7、值是【答案】245?！究键c】動點問題，垂直線段的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當BPAC時，BP取得最小值。設AP=x，則由ABAC5得CP=5x，又BC6，在eqoac(,Rt)ABP和eqoac(,Rt)CBP中應用勾股定理，得2P2BP2ABA，22C2BPBC。PAB2AP2BC2CP2，即52x2626x2，解得x=。75=。BP5272576242452555例2.（浙江臺州4分）如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為【】A1【答案】B。B3C2D31新人教版中考數(shù)學復習導學案新

8、人教版中考數(shù)學復習導學案【考點】菱形的性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，三角形三邊關系，垂直線段的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥糠謨刹椒治觯海?）若點P，Q固定，此時點K的位置：如圖，作點P關于BD的對稱點P1，連接P1Q，交BD于點K1。由線段中垂線上的點到線段兩端距離相等的性質(zhì)，得P1K1=PK1，P1K=PK。由三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，得P1KQKP1Q=P1K1QK1=PK1QK1。此時的K1就是使PK+QK最小的位置。（2）點P，Q變動，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點P關于BD的對稱點P1在AB上，即不論點P在BC上任一點，點P1總在AB上。因此，根據(jù)直線外

9、一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)，得，當P1QAB時P1Q最短。過點A作AQ1DC于點Q1。A=120，DAQ1=30。3又AD=AB=2，P1Q=AQ1=ADcos300=233。綜上所述，PK+QK的最小值為3。故選B。例3.（江蘇連云港12分）已知梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3，問題1：如圖1，P為AB邊上的一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？問題2：如圖2，若P為AB邊上一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由問題3：若

10、P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DEPD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由問題4：如圖3，若P為DC邊上任意一點，延長PA到E，使AEnPA(n為常數(shù))，以PE、PB為邊作平新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案行四邊形PBQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由【答案】解：問題1：對角線PQ與DC不可能相等。理由如下：四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，DPC90。AD1，AB2，BC3，DC

11、22。設PBx，則AP2x，在eqoac(,Rt)DPC中，PD2PC2DC2，即x232(2x)2128，化簡得x22x30，eqoac(,()2)241380，方程無解。不存在PBx，使DPC90。對角線PQ與DC不可能相等。問題2：存在。理由如下：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G，則G是DC的中點。過點Q作QHBC，交BC的延長線于H。ADBC，ADCDCH，即ADPPDGDCQQCH。PDCQ，PDCDCQ。ADPQCH。又PDCQ，eqoac(,Rt)ADPeqoac(,Rt)HCQ（AAS）。ADHC。AD1，BC3，BH4，當PQAB時，PQ的長最小，

12、即為4。問題3：存在。理由如下：如圖3，設PQ與DC相交于點G，PECQ，PDDE，DGPD1=。GCCQ2G是DC上一定點。作QHBC，交BC的延長線于H，同理可證ADPQCH，eqoac(,Rt)ADPRtHCQ。AD1，CH2。BHBGCH325。當PQAB時，PQ的長最小，即為5。問題4：如圖3，設PQ與AB相交于點G，新人教版中考數(shù)學復習導學案ADPD1=。CHCQ2新人教版中考數(shù)學復習導學案PEBQ，AEnPA，PAAG1=。BQBGn+1G是DC上一定點。作QHPE，交CB的延長線于H，過點C作CKCD，交QH的延長線于K。ADBC，ABBC，DQHC，DAPPAGQBHQBG9

13、0PAGQBG，QBHPAD。ADPBHQ，ADPA1=，BHBQn+1AD1，BHn1。CHBHBC3n1n4。過點D作DMBC于M，則四邊形ABND是矩形。BMAD1，DMAB2。CMBCBM312DM。DCM45。KCH45。CKCHcos452(n4)，2當PQCD時，PQ的長最小，最小值為22(n4)?！究键c】反證法，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)。【分析】問題1：四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)，設PBx，可得方程

14、x232(2x)21eqoac(,8)，由判別式0，可知此方程無實數(shù)根，即對角線PQ，DC的長不可能相等。問題2：在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G，可得G是DC的中點，過點Q作QHBC，交BC的延長線于H，易證得eqoac(,Rt)ADPRtHCQ，即可求得BH4，則可得當PQAB時，PQ的長最小，即為4。問題3：設PQ與DC相交于點G，PECQ，PDDE，可得DGPD1=，易證得GCCQ2RtADPeqoac(,Rt)HCQ，繼而求得BH的長，即可求得答案。問題4：作QHPE，交CB的延長線于H，過點C作CKCD，交QH的延長線于K，易證得ADPA1=與ADPBHQ，又由

15、DCB45，可得CKH是等腰直角三角形，繼而可求得CKBHBQn+1的值，即可求得答案。新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案例4.（四川廣元3分）如圖，點A的坐標為（-1，0），點B在直線yx上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為【】A.（0，0）B.（1122222，）C.（，）D.（，）22222例5.（四川樂山3eqoac(,分）)如圖，在ABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF在此運動變化的過程中，有下列結(jié)論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；

16、四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化；點C到線段EF的最大距離為其中正確結(jié)論的個數(shù)是【】新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案A1個B2個C3個D4個【答案】B?！究键c】全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥窟B接CD（如圖1）。ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45，CD=AD=DB。AE=CF，ADECDF（SAS）。ED=DF，CDF=EDA。ADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90。DFE是等腰直角三角形。故此結(jié)論正確。當E、F分別為AC、BC中點時，由三角形中位線定理，DE平行且等于12BC。四邊形CEDF是平行

17、四邊形。又E、F分別為AC、BC中點，AC=BC，四邊形CEDF是菱形。又C=90，四邊形CEDF是正方形。故此結(jié)論錯誤。如圖2，分別過點D，作DMAC，DNBC，于點M，N，由，知四邊形CMDN是正方形，DM=DN。由，知DFE是等腰直角三角形，DE=DF。eqoac(,Rt)ADEeqoac(,Rt)CDF（HL）。由割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積。四邊形CEDF的面積不隨點E位置的改變而發(fā)生變化。故此結(jié)論錯誤。由，DEF是等腰直角三角形，DE=2EF。當DF與BC垂直，即DF最小時，EF取最小值22。此時點C到線段EF的最大距離為2。故此結(jié)論正確。新人教版中考數(shù)學復

18、習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案故正確的有2個：。故選B。例6.（四川成都4分）如圖，長方形紙片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步驟進行裁剪和拼圖：第一步：如圖，在線段AD上任意取一點E，沿EB，EC剪下一個三角形紙片EBC(余下部分不再使用)；第二步：如圖，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點M，線段BC上任意取一點N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分；第三步：如圖，將MN左側(cè)紙片繞G點按順時針方向旋轉(zhuǎn)180，使線段GB與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞H點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180，使線段HC與HE重合，拼成一個與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片

19、(注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊)則拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值為cm，最大值為cm【答案】20；12+413?！究键c】圖形的剪拼，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線定理?！痉治觥慨嫵龅谌郊羝粗蟮乃倪呅蜯1N1N2M2的示意圖，如答圖1所示。圖中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位線定理）。又M1M2N1N2，四邊形M1N1N2M2是一個平行四邊形，其周長為2N1N2+2M1N1=2BC+2MN。BC=6為定值，四邊形的周長取決于MN的大小。如答圖2所示，是剪拼之前的完整示意圖。過G、H點作

20、BC邊的平行線，分別交AB、CD于P點、Q點，則四邊形PBCQ是一個矩形，這個矩形是矩形ABCD的一半。M是線段PQ上的任意一點，N是線段BC上的任意一點，新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案根據(jù)垂線段最短，得到MN的最小值為PQ與BC平行線之間的距離，即MN最小值為4；而MN的最大值等于矩形對角線的長度，即PB2BC24262213。四邊形M1N1N2M2的周長=2BC+2MN=12+2MN，四邊形M1N1N2M2周長的最小值為12+24=20；最大值為12+2213=12+413。例7.（四川樂山3eqoac(,分）)如圖，在ABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中

21、點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF在此運動變化的過程中，有下列結(jié)論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化；點C到線段EF的最大距離為其中正確結(jié)論的個數(shù)是【】A1個B2個C3個D4個【答案】B。【考點】全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥窟B接CD（如圖1）。ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45，CD=AD=DB。AE=CF，ADECDF（SAS）。ED=DF，CDF=EDA。ADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90

22、。DFE是等腰直角三角形。故此結(jié)論正確。當E、F分別為AC、BC中點時，由三角形中位線定理，DE平行且等于四邊形CEDF是平行四邊形。又E、F分別為AC、BC中點，AC=BC，四邊形CEDF是菱形。新人教版中考數(shù)學復習導學案12BC。新人教版中考數(shù)學復習導學案又C=90，四邊形CEDF是正方形。故此結(jié)論錯誤。如圖2，分別過點D，作DMAC，DNBC，于點M，N，由，知四邊形CMDN是正方形，DM=DN。由，知DFE是等腰直角三角形，DE=DF。eqoac(,Rt)ADEeqoac(,Rt)CDF（HL）。由割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積。四邊形CEDF的面積不隨點E位置的

23、改變而發(fā)生變化。故此結(jié)論錯誤。由，DEF是等腰直角三角形，DE=2EF。當DF與BC垂直，即DF最小時，EF取最小值22。此時點C到線段EF的最大距離為2。故此結(jié)論正確。故正確的有2個：。故選B。例8.（浙江寧波3eqoac(,分）)如圖，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=22，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為【答案】3?！究键c】垂線段的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥坑纱咕€段的性質(zhì)可知，當AD為ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF=2EH=20

24、EsinEOH=20Esin60，當半徑OE最短時，EF最短。如圖，連接OE，OF，過O點作OHEF，垂足為H。在eqoac(,Rt)ADB中，ABC=45，AB=22，AD=BD=2，即此時圓的直徑為2。新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案由圓周角定理可知EOH=12EOF=BAC=60，33在eqoac(,Rt)EOH中，EH=OEsinEOH=1=。22由垂徑定理可知EF=2EH=3。例9.（四川自貢12分）如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動，且E、F不與BCD重合（1）證明不論E、F在BCCD上如

25、何滑動，總有BE=CF；（2）當點E、F在BCCD上滑動時，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最?。┲邓倪呅蜛ECFSABCBCAHBCAB2BH243?！敬鸢浮拷猓海?）證明：如圖，連接AC四邊形ABCD為菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，F(xiàn)AC+EAC=60，BAE=FAC。BAD=120，ABF=60。ABC和ACD為等邊三角形。ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四邊形AECF的面積不變，CEF的面積發(fā)生

26、變化。理由如下：由（eqoac(,1)）得ABEACF，則SABE=SACF。S四邊形AECF=SAECeqoac(,+S)ACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H點，則BH=2，11S22由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短故AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案又SCEF=S四邊形AECFSAEF，則此時CEF的面積就會最大SCEF=S四邊形AECFSAEF432323312223。CEF的面積的最大值是3?！究键c】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定

27、和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂直線段的性質(zhì)?！痉治觥浚?）先求證AB=AC，進而求證ABC、ACD為等邊三角形，得ACF=60，AC=AB，從而求證ABEACF，即可求得BE=CF。（eqoac(,2)）由ABEACF可得SABE=SACF，故根據(jù)S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAEC+Seqoac(,AB)E=SABC即可得四邊形AECF的面積是定值。當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，根據(jù)SCEF=S四邊形AECFSAEF，則CEF的面積就會最大。例10.（浙江義烏10eqoa

28、c(,分）)在銳角ABC中，AB=4，BC=5，ACB=45，將ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到eqoac(,A)1BC1（1）如圖1，當點C1在線段CA的延長線上時，求CC1A1的度數(shù)；（2）如圖2，連接AA1，CC1若ABA1的面積為4，求CBC1的面積；（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值BA1，ABC+ABC=ABC+ABC。ABA=CBC。BCBC【答案】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：A1C1B=ACB=45，BC=BC1，CC1B=C1CB=45。CC1A1=CC1B+

29、A1C1B=45+45=90。（eqoac(,2)）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ABCeqoac(,A)1BC1，BA=BA1，BC=BC1，ABC=A1BC1。BA1111111新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案ABA1CBC1。SSSABA1=4，SCBC1=25ABA1CBC1。4AB242CB51625。（3）過點B作BDAC，D為垂足，ABC為銳角三角形，點D在線段AC上。在eqoac(,Rt)BCD中，BD=BCsin45=52。2如圖1，當P在AC上運動至垂足點eqoac(,D)，ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小。最小值為：EP1=BP1BE

30、=BDBE=5222。如圖2，當P在AC上運動至點C，ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大。最大值為：EP1=BC+BE=5+2=7。【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：A1C1B=ACB=45，BC=BC1，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得CC1A1的度數(shù)。（eqoac(,2)）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ABCeqoac(,A)1BCeqoac(,1)，易證得ABAeqoac(,1)CBC1，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得CBC1的面積。（3）由當P在AC上運動至垂足點

31、eqoac(,D)，ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最??；當P在AC上運動至點C，ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值與最小值。E例11.（福建南平14eqoac(,分）)如圖，在ABC中，點D、分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且1=B=C（1）由題設條件，請寫出三個正確結(jié)論：要求不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不必證明）答：結(jié)論一：；結(jié)論二：；結(jié)論三：（2）若B=45，BC=2，當點D在BC上運動時（點D不與B、C重合），求CE的最大值；若ADE是等腰三

32、角形，求此時BD的長（注意：在第（2）的求解過程中，若有運用（1）中得出的結(jié)論，須加以證明）新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案AC2【答案】解：（1）AB=AC；AED=ADC；ADEACD。（2）B=C，B=45，ACB為等腰直角三角形。2BC22。221=C，DAE=CAD，ADEACD。AD：AC=AE：AD，AEAD2AD2AC22AD2。2當AD最小時，AE最小，此時ADBC，AD=12BC=1。12。CE的最大值=22AE的最小值為22222。22（2）由B=C，B=45可得ACB為等腰直角三角形，則AC2當AD=AE時，1=AED=45，DAE=90。點D與B重

33、合，不合題意舍去。當EA=ED時，如圖1，EAD=1=45。AD平分BAC，AD垂直平分BC。BD=1。當DA=DE時，如圖2，ADEACD，DA：AC=DE：DC。DC=CA=2。BD=BCDC=22。綜上所述，當ADE是等腰三角形時，BD的長的長為1或22。【考點】相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由B=C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AB=AC；由1=C，AED=EDC+C得到AED=ADC；又由DAE=CAD，根據(jù)相似三角形的判定可得到ADEACD。2BC22，由221=C，DAE=CAD，根據(jù)相似三角形的判定可得ADEACD，則有AD：AC=

34、AE：AD，即AD2AD2AEAC22AD2，當ADBC，AD最小，此時AE最小，從而由CE=ACAE得到CE的最2新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案大值。分當AD=AE，EA=ED，DA=DE三種情況討論即可。練習題：1.（浙江衢州3分）如圖，OP平分MON，PAON于點A，點Q是射線OM上的一個動點，若PA=2，則PQ的最小值為【】A、1B、2C、3D、42.（四川南充8分）如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=AB=CD=2，C=60，M是BC的中點（1）求證：MDC是等邊三角形；（2）將MDC繞點M旋轉(zhuǎn)，當MD（即MD）與AB交于一點E，MC（即MC）同時與AD交

35、于一點F時，點E，F(xiàn)和點A構(gòu)成AEF試探究AEF的周長是否存在最小值如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出AEF周長的最小值3.（浙江臺州4分）如圖，O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PQ切O于點Q，則PQ的最小值為【】A13B5C3D24.（河南省3分）如圖，在四邊形ABCD中，A=90，AD=4，連接BD，BDCD，ADB=C若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案5.（云南昆明12分）如圖，在eqoac(,Rt)ABC中，C=90，AB=10cm，AC：BC=4：3，點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B運動，

36、速度為1cm/s，同時點Q從點B出發(fā)沿BCA方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動（1）求AC、BC的長；（2）設點P的運動時間為eqoac(,x)（秒），PBQ的面積為y（cmeqoac(,2)），當PBQ存在時，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）當點Q在CA上運動，使PQAB時，以點B、P、Q為定點的三角形與ABC是否相似，請說明理由；（4）當x=5秒時，在直線PQ上是否存在一點eqoac(,M)，使BCM得周長最小，若存在，求出最小周長，若不存在，請說明理由三、應用軸對稱的性質(zhì)求最值：典型例題：例1.（山東青島3分）如圖，

37、圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為cm【答案】15。新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案【考點】圓柱的展開，矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形三邊關系，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，圓柱形玻璃杯展開（沿點A豎直剖開）后側(cè)面是一個長18寬12的矩形，作點A關于杯上沿MN的對稱點B，連接BC交MN于點P，連接BM，過點C作AB的垂線交剖開線MA于點D。由軸對稱的性質(zhì)和三角形三邊關系知APPC為螞蟻到達蜂蜜的最短距離，且AP=BP。由已知和矩形的性質(zhì)，得DC

38、=9，BD=12。在eqoac(,Rt)BCD中，由勾股定理得BCDC2BD29212215。APPC=BPPC=BC=15，即螞蟻到達蜂蜜的最短距離為15cm。例2.（甘肅蘭州4分）如圖，四邊形ABCD中，BAD120，BD90，在BC、CD上分別找一點M、N，使AMN周長最小時，則AMNANM的度數(shù)為【】A130B120C110D100【答案】B?！究键c】軸對稱（最短路線問題），三角形三邊關系，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)。【分析】根據(jù)要使AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和ED的對稱點A，A，即可得出AAMAHAA60，進而得出AMNANM2

39、(AAMA)即可得出答案：如圖，作A關于BC和ED的對稱點A，A，連接AA，交BC于M，交CD于N，則AA即為AMN的周長最小值。作DA延長線AH。BAD120，HAA60。AAMAHAA60。MAAMAA，NADA，且MAAMAAAMN，NADAANM，AMNANMMAAMAANADA2(AAMA)260120。新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案故選B。例3.（福建莆田4分）點A、均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點上，建立平面直角坐標系如圖所示若P是x軸上使得PAPB的值最大的點，Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點，則OPOQ32kb5512kbb5【答案】5?！?/p>

40、考點】軸對稱（最短路線問題），坐標與圖形性質(zhì)，三角形三邊關系，待定系數(shù)法，直線上點的坐標與方程的關系。【分析】連接AB并延長交x軸于點P，作A點關于y軸的對稱點A連接AB交y軸于點Q，求出點Q與y軸的交點坐標即可得出結(jié)論：連接AB并延長交x軸于點P，由三角形的三邊關系可知，點P即為x軸上使得|PAPB|的值最大的點。點B是正方形ADPC的中點，P（3，0）即OP=3。作A點關于y軸的對稱點A連接AB交y軸于點Q，則AB即為QA+QB的最小值。A（-1，2），B（2，1），設過AB的直線為：y=kx+b，1k則，解得。Q（0，），即OQ=。3335OPOQ=3=5。3例4.（四川攀枝花4分）如圖

41、，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點，點P是對角線AC上一動點，則PE+PB的最小值為新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案【答案】25?！究键c】軸對稱（最短路線問題），正方形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟B接DE，交BD于點P，連接BD。點B與點D關于AC對稱，DE的長即為PE+PB的最小值。AB=4，E是BC的中點，CE=2。在eqoac(,Rt)CDE中，DE=CD2+CE242+2225。例5.（廣西貴港2分）如圖，MN為O的直徑，A、B是O上的兩點，過A作ACMN于點C，過B作BDMN于點D，P為DC上的任意一點，若MN20，AC8，BD6，則PAPB的最小值是?！?/p>

42、答案】142?！究键c】軸對稱（最短路線問題），勾股定理，垂徑定理?！痉治觥縈N20，O的半徑10。連接OA、OB，在eqoac(,Rt)OBD中，OB10，BD6，ODOB2BD2102628。同理，在eqoac(,Rt)AOC中，OA10，AC8，OCOA2AC2102826。CD8614。作點B關于MN的對稱點B，連接AB，則AB即為PAPB的最小值，BDBD6，過點B作AC的垂線，交AC的延長線于點E。新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案在eqoac(,Rt)ABE中，AEACCE8614，BECD14，ABAE2BE2142142142。例6.（湖北十堰6分）閱讀材料：

43、例：說明代數(shù)式x21(x3)24的幾何意義，并求它的最小值解：x21(x3)24(x0)212(x3)222，如圖，建立平面直角坐標系，點P（x，0）是x軸上一點，則(x0)212可以看成點P與點A（0，1）的距離，(x3)222可以看成點P與點B（3，2）的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PAPB的最小值設點A關于x軸的對稱點為A，則PA=PA，因此，求PAPB的最小值，只需求PAPB的最小值，而點A、B間的直線段距離最短，所以PAPB的最小值為線段AB的長度為此，構(gòu)造直角三角形ACB，因為AC=3，CB=3，所以AB=32，即原式的最小值為32。根據(jù)以上

44、閱讀材料，解答下列問題：（1）代數(shù)式(x1)21(x2)29的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B的距離之和（填寫點B的坐標）（2）代數(shù)式x249x212x37的最小值為【答案】解：（1）（2，3）。（2）10。【考點】坐標與圖形性質(zhì)，軸對稱（最短路線問題）【分析】（1）原式化為(x1)212(x2)232的形式，代數(shù)式(x1)21(x2)29的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B（2，3）的距離之和。（2）原式化為(x0)272(x6)212的形式，所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，7）、點B（6，1）新人教版

45、中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案的距離之和。如圖所示：設點A關于x軸的對稱點為A，則PA=PA，求PAPB的最小值，只需求PAPB的最小值，而點A、B間的直線段距離最短。PAPB的最小值為線段AB的長度。A（0，7），B（6，1），A（0，7），AC=6，BC=8。ABAC2BC26282=10。例7.（四川涼山8分）在學習軸對稱的時候，老師讓同學們思考課本中的探究題。如圖（1），要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你可以在l上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過獨立

46、思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法他把管道l看成一條直線（圖（2），問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點P，使AP與BP的和最小他的做法是這樣的：作點B關于直線l的對稱點B連接AB交直線l于點P，則點P為所求請你參考小華的做法解決下列問題如圖在ABC中，點D、E分別是AB、AC邊的中點，BC=6，BC邊上的高為4，請你在BC邊上確定一點P，使PDE得周長最小（1）在圖中作出點P（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）請直接寫出PDE周長的最小值：新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案【答案】解：（1）作D點關于BC的對稱點D，連接DE，與BC交于點P，P點即為所求。（2）8【考點】軸對稱

47、（最短路線問題），三角形三邊關系，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥浚?）根據(jù)提供材料DE不變，只要求出DP+PE的最小值即可，作D點關于BC的對稱點D，連接DE，與BC交于點P，P點即為所求。（2）利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出DE的值，即可得出答案：點D、E分別是AB、AC邊的中點，DE為ABC中位線。BC=6，BC邊上的高為4，DE=3，DD=4。DEDE2DD232425。PDE周長的最小值為：DE+DE=35=8。練習題：1.（黑龍江大慶3分）如圖，已知點A(1，1)、B(3，2)，且P為x軸上一動點，則ABP的周長的最小值為新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案2.

48、（遼寧營口3分）如圖，在平面直角坐標系中，有A(1，2)，B(3，3)兩點，現(xiàn)另取一點C(a，1)，當a時，ACBC的值最小3.（山東濟寧8分）去冬今春，濟寧市遭遇了200年不遇的大旱，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題，要在某河道建一座水泵站，分別向河的同一側(cè)張村A和李村B送水。經(jīng)實地勘查后，工程人員設計圖紙時，以河道上的大橋O為坐標原點，以河道所在的直線為x軸建立直角坐標系（如圖）。兩村的坐標分別為A（2，3），B（12，7）。(1)若從節(jié)約經(jīng)費考慮，水泵站建在距離大橋O多遠的地方可使所用輸水管道最短？(2)水泵站建在距離大橋O多遠的地方，可使它到張村、李村的距離相等？4.（遼寧本溪3分）如圖，正方形

49、ABCD的邊長是4，DAC的平分線交DC于點E，若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值【】新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案A、2B、4C、22D、425.（遼寧阜新3分）如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，點E是BC中點，點F是邊CD上的任意一點，當AEF的周長最小時，則DF的長為【】A1B2C3D46.（貴州六盤水3分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，點E、F分別是邊AB、BC的中點，點P在AC上運動，在運動過程中，存在PE+PF的最小值，則這個最小值是【】A3B4C5D67.（甘肅天水4分）如圖，在梯形ABCD中，ABCD，BAD

50、=90，AB=6，對角線AC平分BAD，點E在AB上，且AE=2（AEAD），點P是AC上的動點，則PE+PB的最小值是四、應用二次函數(shù)求最值：典型例題：MN例1.（四川自貢4分）正方形ABCD的邊長為1cm，、分別是BCCD上兩個動點，且始終保持AMMN，當BM=cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為cm2新人教版中考數(shù)學復習導學案【答案】1新人教版中考數(shù)學復習導學案5，。28【考點】正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值?！痉治觥吭OBM=xcm，則MC=1xcm，AMN=90，AMB+NMC=90，NMC+MNC=90，AMB=90NMC=MNC。ABMMCN，ABBM

51、1x，即MCCN1xCN，解得CN=x（1x）。四邊形ABCN11x（1x）x2x（x）2。0，當x=cm時，S四邊形BCN最大，最大值是cm2。2281111115S2222228115A例2.（江蘇揚州3分）如圖，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE長的最小值是【答案】1?！究键c】動點問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，平角定義，勾股定理，二次函數(shù)的最值?！痉治觥吭OACx，則BC2x，ACD和BCE都是等腰直角三角形，x，CE(2x)。DCA45，ECB45，DCDCE90。2222x）2(2x)2x22x2(x1)2

52、1。DE2DC2CE2（2222當x1時，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1。例3.（寧夏區(qū)10分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一點（P與B、C不重合），過點P作APPE，垂足為P，PE交CD于點E.(1)連接eqoac(,AE)，當APE與ADE全等時，求BP的長；(2)若設BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關系式。當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？(3)若PEBD，試求出此時BP的長.新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案【答案】解：（eqoac(,1)）APEADE，AP=AD=3。在eqoac(,Rt)ABP中，AB=2，B

53、P=AP2AB232225。（2）APPE，eqoac(,Rt)ABPeqoac(,Rt)PCE。12ABBPPCCE，即2x3。yxx。3xy22y3x1(x)21x239222281239當x時，y的值最大，最大值是。283（2）設BP=x,由（2）得CExx。22PEeqoac(,BD)，CPECBD。，x2x22，CPCECBCD，即133x32化簡得3x213x120。解得x或x3（不合題意，舍去）。14324當BP=時，PEBD。3【考點】矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，平行的性質(zhì)，解一元二次方程?！痉治觥浚╡qoac(,1)）由AP

54、EADE可得AP=AD=3，在eqoac(,Rt)ABP中，應用勾股定理即可求得BP的長。（2）由APPE，得eqoac(,Rt)ABPeqoac(,Rt)PCE，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可列式得y與x的函數(shù)關系式?；癁轫旤c式即可求得當x329時，y的值最大，最大值是。8（3）由PEeqoac(,BD)，得CPECBD，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可列式可求得BP的長。例4.（廣東廣州14分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點，CEAB于E，設ABC=（6090）新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案（1）當=60時，求CE的長；（2）當609

55、0時，是否存在正整數(shù)k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由連接CF，當CE2CF2取最大值時，求tanDCF的值【答案】解：（1）=60，BC=10，sin=CEBCCE3，即sin60=，解得CE=53。102（2）存在k=3，使得EFD=kAEF。理由如下：連接CF并延長交BA的延長線于點G，F(xiàn)為AD的中點，AF=FD。在平行四邊形ABCD中，ABCD，G=DCF。在AFG和CFD中，G=DCF，G=DCF，AF=FD，）AFGCFD（AAS。CF=GF，AG=CD。CEAB，EF=GF。AEF=G。AB=5，BC=10，點F是AD的中點，AG=5，AF=11A

56、D=BC=5。AG=AF。22AFG=G。在AFG中，EFC=AEF+G=2AEF，又CFD=AFG，CFD=AEF。EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF，因此，存在正整數(shù)k=3，使得EFD=3AEF。設BE=x，AG=CD=AB=5，EG=AE+AG=5x+5=10 x，在eqoac(,Rt)BCE中，CE2=BC2BE2=100 x2。在eqoac(,Rt)CEG中，CG2=EG2+CE2=（10 x）2+100 x2=20020 x。CG）2=CG2=（20020 x）=505x。CF=GF（中已證），CF2=（111244CE2CF2=100 x250+5x=x2+5x+

57、50=（x）2+50+。52524新人教版中考數(shù)學復習導學案當x=52新人教版中考數(shù)學復習導學案，即點E是AB的中點時，CE2CF2取最大值。，CE=100 x2=100=，515此時，EG=10 x=10=2225515422515CG15tanDCFtanG。15EG32【考點】銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，平行四邊形的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理。【分析】（1）利用60角的正弦值列式計算即可得解。（2）連接CF并延長交BA的延長線于點G，利用“角邊角”證明AFG和CFD全等，根據(jù)全等三角形對應邊

58、相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF，再根據(jù)AB、BC的長度可得AG=AF，然后利用等邊對等角的性質(zhì)可得AEF=G=AFG，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得EFC=2G，然后推出EFD=3AEF，從而得解。設BE=x，在RtBCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的長度，在eqoac(,Rt)CEG中，利用勾股定理表示出CG2，從而得到CF2，然后相減并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答。例5.（江蘇鎮(zhèn)江11eqoac(,分）)等邊ABC的邊長為2，P是BC邊上的任一點（與B、C不重合），連接AP，以AP為邊向兩側(cè)作

59、等邊APD和等邊APE，分別與邊AB、AC交于點M、N（如圖1）。（1）求證：AM=AN；（2）設BP=x。3若，BM=，求x的值；8記四邊形ADPE與ABC重疊部分的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關系式以及S的最小值；連接DE，分別與邊AB、AC交于點G、H（如圖2），當x取何值時，BAD=150？并判斷此時以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，請說明理由?！敬鸢浮拷猓海╡qoac(,1)）證明：ABC、APD和APE都是等邊三角形，AD=AP，DAP=BAC=600，ADM=APN=600。DAM=PAN。新人教版中考數(shù)學復習導學案新人教版中考數(shù)學復習導學案ADMAP

60、N（ASA），AM=AN。（）易證eqoac(,2)BPMCAP，BMBPCPCA，BN=，AC=2，CP=2x，8，即4x28x+3=0。解得x=133x82x23或x=。22四邊形AMPN的面積即為四邊形ADPE與ABC重疊部分的面積。ADMAPN，SADMSAPN。四邊形AMPNSAPMSANPSAPMSADMSADP。S如圖，過點P作PSAB于點S，過點D作DTAP于點T，則點T是AP的中點。2x，BS=BPcos600=在RtBPS中，P=600，BP=x，PS=BPsin600=312x。2x。123AP2AS2PS22x+x=x22x+4。AB=2，AS=ABBC=21222SA