高中數(shù)學(xué)北師大版 必修第一冊(cè)第二章函數(shù)培優(yōu)專練5

1、試卷第 =page 3 3頁(yè)，共 =sectionpages 4 4頁(yè)試卷第 =page 4 4頁(yè)，共 =sectionpages 4 4頁(yè)高中數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊(cè)第二章函數(shù)培優(yōu)專練5第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明一、單選題1已知函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）ABCD2設(shè)函數(shù)的最大值為5，則的最小值為（ ）AB1C2D33已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）ABCD4已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，設(shè)，當(dāng)任意、時(shí)，都有，則（ ）ABCD5黎曼函數(shù)是由德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出的，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在上的定義為：當(dāng)（，且，為互質(zhì)

2、的正整數(shù)）時(shí)，；當(dāng)或或?yàn)閮?nèi)的無(wú)理數(shù)時(shí)，.已知，則（ ）注：，為互質(zhì)的正整數(shù)，即為已約分的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù).A的值域?yàn)锽CD以上選項(xiàng)都不對(duì)6已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，則交點(diǎn)的所有橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之和為（ ）A200B50C-70D-100二、多選題7函數(shù)，是（ ）A最小正周期是B區(qū)間，上的減函數(shù)C圖象關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱D周期函數(shù)且圖象有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸8對(duì)，表示不超過的最大整數(shù)，十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”，則下列命題中正確的是（ ）A, B, C函數(shù)（）的值域?yàn)镈若, 使得，,同時(shí)成立，則整數(shù)的最大值是5第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明

3、三、填空題9已知函數(shù)若方程有且只有五個(gè)根，分別為，（設(shè)），則下列命題正確的是_（填寫所有正確命題的序號(hào)）.；存在k使得，成等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.10已知函數(shù)和.若對(duì)任意的，都有使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.11已知函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)使得，則最小值為_12已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則_.四、解答題13已知函數(shù).（1）直接寫出在上的單調(diào)區(qū)間（無(wú)需證明）；（2）求在上的最大值；（3）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖趨^(qū)間，滿足：，使得，則稱區(qū)間為的“區(qū)間”.已知（），若是函數(shù)的“區(qū)間”，求的最大值.14設(shè)常數(shù)，函數(shù)（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若為奇函數(shù)，且關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)

4、的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若任意，存在，且，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍15已知二次函數(shù)滿足，且的最小值為0（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍16我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)了更一般結(jié)論：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，試根據(jù)此結(jié)論解答下列問題：（1）若函數(shù)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，n，恒有，求的值，并判斷此函數(shù)圖象是否中心對(duì)稱圖形？若是，請(qǐng)求出對(duì)稱中心坐標(biāo)；（2）若（1）中的函數(shù)還滿足時(shí)，求不等式的解集；（3）若函數(shù)若與的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，其中，且，求值答案第 = page 15 15頁(yè)，

5、共 = sectionpages 15 15頁(yè)答案第 = page 14 14頁(yè)，共 = sectionpages 15 15頁(yè)參考答案1D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出在時(shí)的值域?yàn)椋俑鶕?jù)一次為增函數(shù)，求出，由題意得值域是值域的子集，從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，且關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，的最小值為，最大值為，可得值域?yàn)橛?，為單調(diào)增函數(shù)，值域?yàn)榧?，使得，故選：D.【點(diǎn)睛】本題著重考查了函數(shù)的值域，屬于中檔題.解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為值域的包含關(guān)系問題.2B【分析】根據(jù)題意，設(shè)，利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出是奇函數(shù)，結(jié)合條件得出的最大值和最小值，從而得出的最小

6、值.【詳解】解：由題可知，設(shè)，其定義域?yàn)?，又，即，由于，即，所以是奇函?shù)，而，由題可知，函數(shù)的最大值為5，則函數(shù)的最大值為：5-3=2，由于是奇函數(shù)，得的最小值為-2，所以的最小值為：-2+3=1.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，以及奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用和函數(shù)最值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.3C【分析】把函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，可得方程有三個(gè)根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象、斜率公式和判別式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即方程有三個(gè)根，函數(shù)過定點(diǎn)，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示，當(dāng)直線過點(diǎn)和時(shí)，此時(shí)，當(dāng)直線與相切時(shí)，聯(lián)立方程組，可得，由，

7、解得，結(jié)合圖象可知，若函數(shù)和的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，其中解答中把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，意在考查轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔試題.4D【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)在上為減函數(shù)，再判斷的大小關(guān)系，即可得到答案.【詳解】當(dāng)任意、時(shí)，都有函數(shù)在上為減函數(shù)，是上的偶函數(shù)，；即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查單調(diào)性和奇偶性的定義，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用.5B【分析】設(shè)，（，且，為互質(zhì)的正整數(shù)） ，Bx|x0或x1或x是0，1

8、上的無(wú)理數(shù)，然后對(duì)A選項(xiàng)，根據(jù)黎曼函數(shù)在上的定義分析即可求解；對(duì)B、C選項(xiàng)：分，；，；或分析討論即可【詳解】解：設(shè)，（，且，為互質(zhì)的正整數(shù)），Bx|x0或x1或x是0，1上的無(wú)理數(shù)，對(duì)A選項(xiàng)：由題意，的值域?yàn)椋渲惺谴笥诘扔?的正整數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B、C選項(xiàng)：當(dāng)，則，；當(dāng)，則，0；當(dāng)或，則，所以選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是牢牢抓住黎曼函數(shù)在上的定義去分析.6D【分析】由題設(shè)條件，可得，可得關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性，可得解.【詳解】函數(shù)滿足即為可得關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即若點(diǎn)為交點(diǎn)，則點(diǎn)也為交點(diǎn)，同理若為交點(diǎn)，則點(diǎn)也為交點(diǎn)，則交點(diǎn)的所

9、有橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之和為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)對(duì)稱性的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.7BD【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義先求出分段函數(shù)的解析式，作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)性質(zhì)與圖象關(guān)系分別對(duì)函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中心和對(duì)稱軸進(jìn)行判斷求解.【詳解】，則對(duì)應(yīng)的圖象如圖：A中由圖象知函數(shù)的最小正周期為，故錯(cuò)誤，B中函數(shù)在上為減函數(shù)，故正確，C中函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故錯(cuò)誤，D中函數(shù)由無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，且周期是，故正確故正確的是故選：BD【點(diǎn)睛】本題考查由有解析式的函數(shù)圖象的性質(zhì). 有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問題的思路:由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位

10、置；由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)8ACD【分析】由定義得，可判斷A；由，得，可判斷B；由，得得函數(shù)的值域，可判斷C；根據(jù)，推出不存在同時(shí)滿足，而時(shí)，存在滿足題意，可判斷D.【詳解】由定義，所以 若，A正確；，B錯(cuò)誤；由定義，函數(shù)的值域是，C正確；若，使得同時(shí)成立，則，因?yàn)?，若，則不存在同時(shí)滿足，只有時(shí)，存在滿足題意，正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查取整函數(shù)定義，正確理解定義是解題基礎(chǔ)性質(zhì)1 對(duì)任意xR，均有x-1xxx+1；性質(zhì)2 取整函數(shù)(高斯函數(shù))是一個(gè)不減函數(shù)，即對(duì)任意x1，x2R，若x1x2，則x1x2；性質(zhì)

11、3若x，yR，則x+yx+yx+y+1；性質(zhì)4若nN+，xR，則nxnx；性質(zhì)5若nN+，xR+，則在區(qū)間1，x內(nèi)，恰好有x/n個(gè)整數(shù)是n的倍數(shù)；利用性質(zhì)解決問題9【分析】設(shè)，函數(shù)為偶函數(shù)得到正確，原題可化為與在上有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)圖像判斷錯(cuò)誤錯(cuò)誤，正確，得到答案.【詳解】設(shè)，則，函數(shù)為偶函數(shù)，故，所以正確；原題可化為與在上有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，如圖，當(dāng)時(shí)，顯然，當(dāng)時(shí)，顯然，所以錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像可得錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，與在處相切，所以，又，所以，所以正確.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，設(shè)判斷奇偶性是解題的關(guān)鍵.10【分析】根據(jù)題意將條件轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象即可

12、求解.【詳解】由題意得， ,并且對(duì)于值域中的每一個(gè)數(shù)，都有至少兩個(gè)不同數(shù)和，使得成立.當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，顯然，此種情況不成立.當(dāng)，在上的值域?yàn)椋傻暮瘮?shù)圖象可知，只要使得，則解得.當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)?，由的函?shù)圖象可知，要滿足即可，得，綜上所述，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)集合間的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題，結(jié)合函數(shù)圖象可更好的理解題意，屬于能力提升題.11【分析】由條件可得，即，令，可得，然后設(shè)，則，然后可得，然后利用雙勾函數(shù)的知識(shí)求出右邊的最小值即可.【詳解】因?yàn)?，所以所以可得令，則， 設(shè)，則所以，所以令，由雙勾函數(shù)的知識(shí)易得在上單調(diào)遞增所以所以故答案為：【點(diǎn)睛】根據(jù)式子的

13、特點(diǎn)構(gòu)造出是解答本題的關(guān)鍵，考查了學(xué)生的分析能力與轉(zhuǎn)化能力，屬于較難題.12【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，可得.又是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，可得，故，可得的周期為，故，即得答案.【詳解】為奇函數(shù)，.又是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，.即，,的周期.,又，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于較難的題目.13（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）答案見解析；（3）1.【分析】（1）根據(jù)解析式可直接得出；（2）討論的范圍根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求出；（3）分和兩種情況根據(jù)“區(qū)間”的定義討論求解.【詳解】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）由題意知，若，則在上單調(diào)遞減，所以的最大值為；若，則

14、在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此此時(shí)，所以的最大值為；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此此時(shí)，所以的最大值為；綜上知：若，則的最大值為；若，則的最大值為；（3）由（1）（2）知：當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)?，因?yàn)椋?，滿足，使得，所以此時(shí)是的“區(qū)間”；當(dāng)時(shí)，在上得到值域?yàn)?，在上的值域?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，使得，即，所以此時(shí)不是的“區(qū)間”；故所求的最大值為1.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：正確理解“區(qū)間”的定義并根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)討論的范圍是解決本題的關(guān)鍵.14（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）（3）【分析】（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式，再判斷函數(shù)單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得，構(gòu)造，使；

15、（3）根據(jù)由已知可知函數(shù)在上的值域與的范圍，的取值范圍分情況討論.（1）解：，則，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）解：由為奇函數(shù)，得，即，解得，故函數(shù)，又在內(nèi)有解，即在內(nèi)有解，設(shè)，在上單調(diào)遞減，故；（3）解：在單調(diào)遞增，故，又函數(shù)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故或，即或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，解得：，綜上所述，.15（1）；（2）或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即求；（2）由題知，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論即求.【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)，即，又，函數(shù)的解析式為（2）若時(shí)，即，在上是增函數(shù)；若，即時(shí)，設(shè)方程的兩個(gè)根為，且，此時(shí)在和上是增函數(shù)，令，(i)若，則，(ii)若，則，綜上所述，或16（1），是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心為（2）（3）【分析】（1）取，代入求得，取，代入求得是奇函數(shù)，可判斷是中心對(duì)稱圖形，進(jìn)而求得對(duì)稱中心為；（2）證明是R上單調(diào)遞增函數(shù)，利用單調(diào)性解不等式即可；（3）證得，的圖象都是以為中心的對(duì)稱圖形，可知，再結(jié)合，求得，進(jìn)而得解