教育教學(xué)設(shè)計(jì)：為什么要淡化豎式筆算

1、為什么要淡化豎式筆算談如何培養(yǎng)計(jì)算的靈活性與創(chuàng)造性（王永作者單位系福建省教研室）（原載人民教育2010年第7期）筆算是什么？筆算是記錄計(jì)算過程與結(jié)果的書面形式。筆算的形式是多樣化 的，大體上可以分為橫式筆算與豎式筆算兩種；同一種筆算也是形態(tài)各異，不拘 一格的。就豎式筆算而言，就有標(biāo)準(zhǔn)的豎式筆算與非標(biāo)準(zhǔn)的豎式筆算之分。審視當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)各種版本的教科書，雖然在表達(dá)計(jì)算教學(xué)改革的理念與力 度上有區(qū)別，但有一點(diǎn)卻非常一致，即在中低年級(jí)都把標(biāo)準(zhǔn)的豎式筆算作為計(jì)算 教學(xué)唯一的歸宿。例如，到了第二學(xué)段學(xué)習(xí)小數(shù)四那么運(yùn)算的時(shí)候，標(biāo)準(zhǔn)的豎式筆 算就成為學(xué)生通往計(jì)算此岸的一座獨(dú)木橋，除此別無他途。除法是小學(xué)計(jì)算教

2、學(xué)的難點(diǎn)，難就難在豎式除法上。一位很優(yōu)秀的青年教師 曾告訴我一件事：她班里有個(gè)“差生”，怎么也不理解“312+3”的豎式筆算的 過程和方法,急得哭了。后來這個(gè)孩子問她，300-3=100, 12-3=4, 100+4=104, 這樣算很容易就得出結(jié)果了，為什么一定要用豎式計(jì)算呢？不理解標(biāo)準(zhǔn)的豎式筆 算的孩子是差生嗎？這個(gè)孩子一點(diǎn)也不差!他有強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)愿望，當(dāng)他遇到困難 的時(shí)候,能主動(dòng)地從數(shù)學(xué)模式與數(shù)字關(guān)系尋找有效的計(jì)算策略,不僅解決了問題, 還敢于提出質(zhì)疑。這不就是數(shù)學(xué)教育所要培養(yǎng)的“數(shù)字感覺”（簡稱“數(shù)感”） 與數(shù)學(xué)精神嗎？確實(shí)，成人必須認(rèn)真反思并積極回應(yīng)前面那個(gè)三年級(jí)小學(xué)生的質(zhì) 疑。費(fèi)賴登

3、塔爾說過，長除法的標(biāo)準(zhǔn)形式“對(duì)于計(jì)算器時(shí)代來說，幾乎不可能是 一種必需的東西”。時(shí)代變了，程序計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)形式豎式筆算已經(jīng)不再 是學(xué)生“適應(yīng)未來社會(huì)生活和進(jìn)一步開展所必需的”應(yīng)用技能。國際數(shù)學(xué)教育研 究還說明，這種標(biāo)準(zhǔn)程序計(jì)算與兒童的經(jīng)驗(yàn)相距甚遠(yuǎn)，是兒童不易掌握、容易犯 錯(cuò)的算法；兒童往往知其然卻不知其所以然。為什么我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教育還在強(qiáng) 調(diào)豎式算法，小學(xué)的數(shù)學(xué)考試還非考豎式筆算不可呢？有沒有想過，對(duì)豎式筆算 的強(qiáng)制與強(qiáng)化所導(dǎo)致的不良后果？掌握豎式除法必須突破兩個(gè)難關(guān)：一是理解豎式除法的格式、步驟是怎樣從 具體的情境操作中抽象出來的，二是掌握“試商”的方法。為了化解上述難點(diǎn), 教材編者精心設(shè)計(jì)

4、，層層鋪墊，一線老師也費(fèi)盡心思，精益求精，但教學(xué)效果依 然不盡如人意；甚至有人驚呼：數(shù)學(xué)課程改革導(dǎo)致學(xué)生計(jì)算能力普遍下降，必須 回歸強(qiáng)化豎式筆算訓(xùn)練的老路。事實(shí)上，如果說當(dāng)下小學(xué)生計(jì)算能力確有下降，也不能責(zé)怪于課程改革。數(shù) 學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）對(duì)整數(shù)計(jì)算的具體目標(biāo)分四種類別：能熟練地口算； 會(huì)口算；能計(jì)算；能筆算?！皶?huì)口算”與“能筆算應(yīng)該是“能計(jì)算” 的應(yīng)有之義；而“能筆算”應(yīng)該把橫式筆算與豎式筆算都包括在內(nèi)。如果這個(gè)解 讀是正確的話，那么目前任何一種版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書，都沒有完全到達(dá)這些 目標(biāo)。54+3=?學(xué)生會(huì)口算嗎？ ”筆者曾經(jīng)向一些教研員和教師作調(diào)查，結(jié)果是： “這道題大多數(shù)學(xué)生不會(huì)

5、口算”，這樣的要求太高了，學(xué)生達(dá)不到”數(shù) 學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）明文規(guī)定：“會(huì)口算百以內(nèi)一位數(shù)乘、除兩位數(shù)?！笨?是現(xiàn)有版本的教科書對(duì)此都沒有提出口算的要求。問題就出在這里，這類比擬簡 單的計(jì)算題都養(yǎng)成學(xué)生對(duì)豎式筆算程序的依賴,還怎么培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感？怎么發(fā) 揮學(xué)生計(jì)算的靈活性與創(chuàng)造性呢2其實(shí)，543有許多口算的方法。探索這些方法，初期可以把抽象的數(shù)字與 實(shí)物模型聯(lián)系起來，如，54個(gè)蘋果平均分給3個(gè)人，每人分得多少個(gè)蘋果？通 過布置情境、動(dòng)手操作解決問題；再用口語描述操作的過程與結(jié)果，并用算式記 錄下來；而后逐步脫離實(shí)物，過渡到直接利用抽象的數(shù)字進(jìn)行思考與運(yùn)算。這個(gè) 開展過程是培養(yǎng)與形成“數(shù)感”的

6、必由之路。直觀是手段，通過直觀開展抽象思 維才是數(shù)學(xué)教育的目的。54+3有哪些口算方法呢？算法 1 ： 54=30+24, 303= 10, 24-3=8,10+8=18。算法 2： 54=60-6, 60-3=20, 6-3=2,20-2二18。算法 3： 3=9+3, 54+9=6, 6x3=18。算法 4： 3=6+2, 54-6=9, 9義2二 18。上面記錄口算的過程與結(jié)果的形式，就是橫式筆算。通過橫式筆算可以了解 學(xué)生的想法，并使算法的書面交流成為可能。這是必須加強(qiáng)橫式筆算的第一個(gè)理 由。橫式筆算沒有固定不變的格式，它能夠靈活地選擇適當(dāng)?shù)乃闶絹碛涗洸煌?法的程序。而標(biāo)準(zhǔn)的豎式筆算

7、，只能記錄與上述算法1程序一致的算法的過程與 結(jié)果，對(duì)記錄其他的算法程序都無能為力。這是必須加強(qiáng)橫式筆算的第二個(gè)理由。觀察上述四種算法，有什么共同點(diǎn)？你能從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)算法多樣化的根 源嗎？計(jì)算543,用乘法口訣是不能直接求商的。因?yàn)椴荒芤徊降轿?，不得?考慮分步到位，分步計(jì)算就是上述算法的共同特點(diǎn)。怎樣分步計(jì)算，那么要根據(jù)被 除數(shù)54或除數(shù)3的不同的結(jié)構(gòu)特征。一個(gè)數(shù)字與其他諸多數(shù)字的不同的關(guān)聯(lián)， 都可能聯(lián)系著不同的算法。所以，數(shù)的多元表征是算法多樣化的根源，也是尋找 有效算法的基本線索。如上所述，借助橫式筆算才可能進(jìn)一步深入研究數(shù)字模式與數(shù)字關(guān)系，發(fā)現(xiàn) 規(guī)律，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)。這是加強(qiáng)橫式筆

8、算的第三個(gè)理由。課程改革初期，曾經(jīng)有“淡化筆算”的說法。其實(shí)橫式筆算不僅不能淡化, 而且必須加強(qiáng)；必須淡化的是豎式筆算(程序計(jì)算)?？墒怯?jì)算教學(xué)的現(xiàn)實(shí)卻相 反，至今對(duì)豎式筆算的青睞與推崇絲毫不減當(dāng)年。那么，我們就給豎式筆算“不 能淡化，更不能拋棄”找找理由，看看這些理由是否站得住腳。理由之一：如果沒有打好整數(shù)豎式筆算的基礎(chǔ)，那么怎么掌握后續(xù)的小數(shù)的 四那么運(yùn)算？難道沒有掌握整數(shù)的豎式筆算，小數(shù)的運(yùn)算真的就舉步維艱、寸步難行嗎？ 計(jì)算：7.7+0.55。算法 1：(估算)7.5-0.5=15, 7.7+0,55-15。算法 2 ： 7.7+0.55=770-55=(770-11) + (55-1

9、1)二 705 二 14。算法 3 ： 7.7+0.55=(7.7x2) + (0.55x2)= 15.4-1,1= (11+4.4) -1.1二10+4=14算法 4 ： 7.7=5.5+2.2, 5.5-0.55=10,=(2.2-1,1) + (0.55-1.1) =2-0,5=4, 10+4=14。算法 5 ： 7.7-0.55= + 二 x = 14。由此可見，小數(shù)除法并非只有轉(zhuǎn)化為整數(shù)豎式筆算這一種途徑。小數(shù)除法的 基礎(chǔ)不僅是整數(shù)四那么運(yùn)算，還有小數(shù)加法、減法與乘法等運(yùn)算，已有的知識(shí)與經(jīng) 驗(yàn)越多，意味著計(jì)算的工具或手段也越多，因此，小數(shù)除法算法的豐富性與多樣 性是很自然的。不過，上

10、述種種算法的過程是否還需要展開或簡縮，取決于計(jì)算 者個(gè)人數(shù)字關(guān)聯(lián)的意識(shí)與處理數(shù)字問題的能力。理由之二：豎式筆算的優(yōu)點(diǎn)恰恰在于不必依賴個(gè)體的數(shù)字關(guān)聯(lián)的意識(shí)，只要 正確掌握計(jì)算程序，一般都能算出結(jié)果。如計(jì)算3.294.7,除了轉(zhuǎn)化為整數(shù)的豎 式除法（或除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法）外，橫式筆算行得通嗎？提出這個(gè)問題，無非 是想說明豎式筆算的普適性比橫式筆算好。這個(gè)理由真像五十步笑百步。難道豎式筆算的普適性還比得上計(jì)算器嗎？豎 式筆算所能做的事，哪一件計(jì)算器不能做到？從數(shù)學(xué)教育的角度，計(jì)算教學(xué)的價(jià) 值不能單純落在掌握“算術(shù)”的層面，而要促進(jìn)數(shù)的概念與數(shù)學(xué)思維的開展。這 也是計(jì)算器時(shí)代,必須加強(qiáng)橫式筆算、淡化

11、豎式筆算的根本原因。就計(jì)算3.294.7 而言，橫式筆算并非行不通，而是難度大了點(diǎn)，即對(duì)思維的挑戰(zhàn)大了點(diǎn)。算法 1：（估算）3.2-5=0.64, 3.29-4.70.64o算法 2 ： 3.29+4.7=3.29+ （0.47x10）=（3.29-0.47） -10, 0.47x2=0.94,0.94x2=1.88, 0.94+1.88=2.82,2.82+0.47=3.29, 3.29+0.47=7, 3.29-4.7=0.7算法2涉及概念多，思路迂回曲折，技巧性強(qiáng)，不宜作為教學(xué)的普遍要求。 其實(shí)，也不要為橫式筆算而橫式筆算。遇到這種計(jì)算題，應(yīng)該允許學(xué)生估算或使 用計(jì)算器。新世紀(jì)版小學(xué)數(shù)學(xué)

12、第八冊(cè)教科書“小數(shù)除法”單元有一道應(yīng)用題，如下： 有兩摞同樣的紙，第一摞有500張，第二摞大約有多少張？ （第一摞）（第二摞）這道題分步列式或綜合列式，會(huì)遇至IJ計(jì)算5004.7或7.05+4.7。如果要求用 豎式筆算，有難度；如果可以靠“數(shù)感”估算，或者用計(jì)算器計(jì)算，并不難。解法 1： （500-4.7） x7.05100 x7=700 （張）解法 2：500 x （7.05-4.7） 500 x1.4=700 （張）試想：如果由成人來解決這個(gè)問題，他會(huì)選擇豎式筆算嗎？恐怕不會(huì)?，F(xiàn)實(shí) 中成人解決實(shí)際問題，經(jīng)常用的是口算（用橫式筆算記錄或支撐）、估算或者器 （計(jì)算器）算。在標(biāo)準(zhǔn)的豎式筆算逐漸被

13、成人束之高閣的今天，實(shí)在沒有什么理 由要求孩子必須掌握標(biāo)準(zhǔn)的豎式筆算。怎樣淡化豎式筆算，提高學(xué)生的運(yùn)算能力呢？第一，重視口算，延后引入豎式筆算。在第一學(xué)段，課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的“能熟 練地口算”、“會(huì)口算”等學(xué)習(xí)目標(biāo)必須得到落實(shí)；對(duì)于百以內(nèi)的加減法、百以 內(nèi)一位數(shù)乘除兩位數(shù)，必須在學(xué)生掌握了口算與橫式筆算的基礎(chǔ)上，再引入豎式 筆算?？谒阋约坝涗浛谒氵^程與結(jié)果的橫式筆算,都是源于學(xué)生實(shí)際操作的經(jīng)驗(yàn), 所以算法與算理都很自然，很直觀；培養(yǎng)口算與橫式筆算的運(yùn)算能力，有助于學(xué) 生理解運(yùn)算的算理。成人創(chuàng)造了豎式筆算，才造成所謂“算理直觀與算法抽象” 的矛盾；所以，在學(xué)生掌握口算與橫式筆算方法之前，引入豎式筆算

14、是沒有意義 的。第二,堅(jiān)持倡導(dǎo)算法的多樣化。引入豎式筆算后,只是多了一種算法的選擇， 不可讓豎式筆算“技?jí)喝悍迹患吉?dú)秀”。倡導(dǎo)算法多樣化，是數(shù)學(xué)新課程為培 養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的重要舉措，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的重要途徑。培養(yǎng)數(shù)感的教育價(jià) 值，計(jì)算的靈活性與創(chuàng)造性是一個(gè)重要方面。目前出版的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書，有的 仍然是以掌握豎式筆算為重心，所編的“筆算”單元只學(xué)豎式筆算，并不倡導(dǎo)算 法的多樣化。有的雖然倡導(dǎo)算法多樣化，但做不到始終如一，堅(jiān)持到底；特別是 除法單元（一位數(shù)除三位數(shù)、兩位數(shù)除三位數(shù)、小數(shù)除法），豎式筆算又成為除 法唯一的選擇。要淡化豎式筆算，至少要做到橫式筆算與豎式筆算并重。第三，要改進(jìn)計(jì)算教學(xué)評(píng)價(jià)的重點(diǎn)及試題。不要刻意考查豎式筆算，豎式筆 算只是作為學(xué)生可能選擇的一種算法。小學(xué)計(jì)算教育具有雙重目的。新課程把學(xué) 習(xí)計(jì)算與解決問題的過程結(jié)合起來，凸顯計(jì)算是解決問題的手段，解決問題是計(jì) 算的目的，是計(jì)算教育的一種價(jià)值取向功利性；通過計(jì)算教育培養(yǎng)數(shù)感，包 括借助計(jì)算器探索規(guī)律，開展數(shù)與運(yùn)算的概念，提升人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與運(yùn)算能力， 是計(jì)算教育的另一種價(jià)值取向人文性。不管應(yīng)用題還是計(jì)算題，都應(yīng)該著重 考查計(jì)算器做不到的事情。應(yīng)用題評(píng)價(jià)的重點(diǎn)是：能否為解決問題選擇恰當(dāng) 的信息與適當(dāng)?shù)乃惴? 能否運(yùn)用圖形形象地描述問題,利用直觀來進(jìn)行思