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文檔簡(jiǎn)介

1、1.4 克萊姆（Cramer）一、 克萊姆（Cramer）二、有關(guān)定理1 本節(jié)討論用n階行列式解線性方程組的克萊姆法則。含有n個(gè)線性方程和n個(gè)末知數(shù)的線性方程組：一、 克萊姆（Cramer）法則2克萊姆法則 如果線性方程組（4.1）的系數(shù)行列式不等于零，即 與二元、三元線性方程組相類似，它的解可用n階行列式來表示。這就是著名的克萊姆法則。其中Dj(j=1,2,n)是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列式，即3證 先證（4.2）是方程組（4.1）的解。 用D中第j列元素的代數(shù)余子式A1j， A2j ， Anj依次乘方程組的n個(gè)方程，再把它們相加，得根據(jù)代數(shù)余子式

2、的性質(zhì)，可知上式即為 Dxj=Dj。顯然，當(dāng)D0時(shí)，方程組有如上唯一的一組解(4.2)。下證解的唯一性。為此只需驗(yàn)證（4.2）式確實(shí)是方程組的解即證明4證畢5所以，由克萊姆法則知它有唯一解。又因?yàn)?注：1. 使用Carmer法則是有條件的； 2.當(dāng)D=0或者方程組的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相等時(shí)，將在 Ch3討論。 3. Carmer法則的計(jì)算量很大，主要在理論上的應(yīng)用。因 而有時(shí)常用下述兩個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論。7二、有關(guān)定理定理1 如果線性方程組的系數(shù)行列式D0，則線性方程 組有解且解唯一。定理2 如果線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的 系數(shù)行列式D=0。8關(guān)于齊次線性方程組的幾個(gè)結(jié)果：定理3 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D0，則齊次線性方程組沒有非零解（或只有零解）。定理4 如果齊次線性方程組有非零解,則它的系數(shù)行列式 必定等于零。事實(shí)上，D=0也是齊次線性方程組有非零解的充要條件。9例2 討論為何值時(shí)，下列齊次方程組有非零解？解 由上述定理可知，只有當(dāng)齊次線性方程組的系數(shù)行列式D=0時(shí), 方程組才有非零解。又10例3 設(shè)齊次線性方程組有非零解,求

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