理論力學(xué)12動(dòng)量矩定理

1、第十四章 動(dòng)量矩定理1第十四章 動(dòng)量矩定理1. 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理mF mvyoxzr 動(dòng)量定理建立了作用力與動(dòng)量變化之間的關(guān)系，它是描述質(zhì)點(diǎn)系隨同質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)情況，而不能描述質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)情況。一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩2二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理mF mvyoxzr 將質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間取一次導(dǎo)數(shù)有：3投影式為:4例：質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)在平面oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為：，其中a,b,p皆為常量，求：該質(zhì)點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)o的動(dòng)量矩。解： 因質(zhì)點(diǎn)在oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，故該質(zhì)點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的動(dòng)量矩就等于對(duì)oz軸的動(dòng)量矩。5 如果作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)于某定點(diǎn)o的矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩保持不變，即：3. 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)

2、量矩守恒定律 如果作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)于某定軸的矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的動(dòng)量矩保持不變，即：62. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理1、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)o的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)o的動(dòng)量矩的矢量和，即：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某軸z的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一z軸的動(dòng)量矩的代數(shù)和，即：72、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的動(dòng)量矩ri mi mivi z質(zhì)點(diǎn)mi對(duì)z軸的動(dòng)量矩為:整個(gè)剛體對(duì)z軸的動(dòng)量矩為:即，轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為:其中， 為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為一常數(shù).8yoxz3、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理mimivi 對(duì)于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，有:0即為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理ri9 若在運(yùn)動(dòng)過程中，作用在質(zhì)點(diǎn)系上的

3、合力對(duì)某固定軸的矩恒為0，則該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩守恒。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理的投影式為：10m1 m2 OR解：研究系統(tǒng)，分析受力：m1gm2gYOXOv1v2分析運(yùn)動(dòng)：例1：半徑為R的滑輪上繞一不可伸長的繩子，繩子兩端分別掛有質(zhì)量為m1和m2的兩重物，設(shè)m1m2 ，求m1運(yùn)動(dòng)的加速度。滑輪及繩子的質(zhì)量不計(jì)。例2：11由動(dòng)量矩定理可知：1、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩，只有作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力才能使質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩發(fā)生變化。2、當(dāng)外力對(duì)于某定點(diǎn)或定軸的主矩（或力矩的代數(shù)和）等于零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于該點(diǎn)（或該軸）的動(dòng)量矩保持不變，稱動(dòng)量矩守恒。121.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 定義:將剛體體內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到

4、某一確定軸的距離平方的乘積之和定義為剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 用J表示,即式中 分別為第 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和到該軸的距離J=3. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、平移軸定理13說明若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的,就可以引入積分形式表示: 式中 為質(zhì)量為 的微元到該軸的距離 M 表示積分范圍遍及剛體全部質(zhì)量. 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一個(gè)與其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)的而僅與其質(zhì)量分布有關(guān)的特征量14 M: 剛體的總質(zhì)量 : 剛體對(duì)z軸的回轉(zhuǎn)半徑或慣量半徑如剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示為 它可視為將剛體的全部質(zhì)量都集中于距z軸距離為 的某一點(diǎn)對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.15 例： 一直均質(zhì)的細(xì)長桿的質(zhì)量為M ，長為L，求桿對(duì)通過其質(zhì)心，且垂直與桿的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和

5、回轉(zhuǎn)半徑。 x yCx(1)建立坐標(biāo)系，如圖所示，沿桿向取微段 ，其坐標(biāo)為（x,0,0），其質(zhì)量為 解：=16(2)上述質(zhì)量微元離z軸的距離為 ， 桿對(duì)z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：(3) 桿對(duì)z軸的回轉(zhuǎn)半徑為17例：已知厚度相等的均質(zhì)薄圓盤的半徑為R，質(zhì)量為M，求圓盤對(duì)過其中心，且垂直于圓盤平面的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑 x yCr解： 1取半徑為r,寬度為的圓環(huán)，其質(zhì)量是:183圓盤對(duì)z軸的回轉(zhuǎn)半徑為2上述圓環(huán)的各質(zhì)點(diǎn)到z軸的距離都為r,于是圓盤對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:19說明 由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量疊加定理，可以快捷的的求出由幾個(gè)簡單圖形組合而成的剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。有空心剛體=無空心整體

6、-空心部分 (轉(zhuǎn)動(dòng)慣量） 剛體對(duì)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體質(zhì)量與兩軸之間距離平方的乘積 記為2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理20 剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JZ等于對(duì)與該軸平行的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JC加上剛體的總質(zhì)量與兩軸間距離d的平方的乘積。可見，剛體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。21例：均質(zhì)圓輪質(zhì)量為m，半徑為R，求對(duì)質(zhì)心軸C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。CRdrdr解：取單位厚度的圓輪研究，取一面積微元dm對(duì)輪緣上任一點(diǎn)，有：22解：取一微元dx對(duì)桿端，有：例：均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長為l，求對(duì)質(zhì)心軸C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。CdxxOxz234. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程將質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理應(yīng)用于剛體定

7、軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情形，有：及定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩即為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程。24 剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體上的主動(dòng)力對(duì)該軸的矩的代數(shù)和。由上可知：1、如果作用于剛體上的主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩的代數(shù)和不等于零，則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)一定發(fā)生改變；2、如果作用于剛體上的主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩的代數(shù)和等于零，則剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，如果主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩的代數(shù)和為恒量，則剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。3、在一定的時(shí)間間隔內(nèi)，當(dāng)主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩一定時(shí)，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)變化越小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越小，轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)變化大。25 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的難易程度，因此說，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分

8、方程可以解決兩類問題：1、已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求作用于剛體上的主動(dòng)力；2、已知作用于剛體上的主動(dòng)力，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。26例：半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪繞質(zhì)心軸z以勻角速0轉(zhuǎn)動(dòng)。今欲制動(dòng)，閘瓦壓力Q、摩擦系數(shù)f，求制動(dòng)所需時(shí)間。Q0O解：研究輪子，分析受力：FmgYOXO列出動(dòng)力學(xué)方程：問：制動(dòng)過程中，輪子轉(zhuǎn)過了多少圈？275. 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 上式即為質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心C的動(dòng)量矩定理，其形式與對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理完全相同。（證明從略）質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于集中于系統(tǒng)質(zhì)心的動(dòng)量 對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩再加上此系統(tǒng)對(duì)于質(zhì)心C的動(dòng)量矩Lc(為矢量和）286. 剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程

9、剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨任選基點(diǎn)的平動(dòng)和繞該基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。 若以質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心C為基點(diǎn)，則隨質(zhì)心C的平動(dòng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)用相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，即得剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程：29其投影式為：或：30 實(shí)際上，動(dòng)量矩定理除了對(duì)固定點(diǎn)O、固定軸z、質(zhì)心C可以取矩外，還可以對(duì)瞬心P取矩，但是要求瞬心P到質(zhì)心C的距離保持為常量，其公式的形式不變。O： 固定點(diǎn)z： 固定軸C： 質(zhì)心P： 瞬心，要求PC=常量在圓輪作純滾動(dòng)及橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中，此式顯得特別方便。31例：如圖所示，兩均質(zhì)圓輪半徑分別為rA和rB ，重為PA和PB ，鼓輪B上作用主動(dòng)力偶矩M，A輪與斜面間無相對(duì)滑動(dòng)，求B輪從靜止開始轉(zhuǎn)過

10、角時(shí)的角速度B及支座B處的反力。BAMPAPB解：先研究B，作受力圖： YBXBT（1）B再研究ANTFA（2）（3）xy32再列補(bǔ)充方程 一般為運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：（4）（5）以上5個(gè)未知量均可求解。從中解出B為常量，則有：欲求支座反力，則需對(duì)輪B列質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：（6）（7）BMPBYBXBTxy33概念題. 圓輪重Q ， 受外力作用，問地面光滑和有摩擦?xí)r，圓輪質(zhì)心如何運(yùn)動(dòng)?FFF1).地面光滑時(shí): 左圖質(zhì)心保持不動(dòng)，因?yàn)樗椒较虻暮屯饬榱? 右圖質(zhì)心將沿力F方向運(yùn)動(dòng).2).地面有摩擦?xí)r:左圖質(zhì)心將向右運(yùn)動(dòng)， 右圖中: a.若主動(dòng)力FNf，則質(zhì)心不動(dòng); b.若主動(dòng)力FNf，則質(zhì)心向右運(yùn)動(dòng).34概念

11、題. 1、 兩相同的均質(zhì)圓輪繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度分別為1和2，且1 2 ，問 ： 1）哪個(gè)動(dòng)量大? 分別為多少? 2）哪個(gè)動(dòng)量矩大? 分別為多少? 答：1）一樣大，均為0 2）J1J2 2、汽車為何不能在光滑的水平路面上行使？答：系統(tǒng)在水平方向無外力，質(zhì)心在水平面運(yùn)動(dòng)守恒。35概念題.1、均質(zhì)圓輪半徑均為r，求在下列不同形式下的動(dòng)量、對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩。 只滾不滑CCOOO答：1）動(dòng)量： 0、 mr、 mr 2）動(dòng)量矩： Jo 、Jo、 Jo36 2、三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量同為m，同時(shí)自點(diǎn)A以相同的速度v0沿不同的方向拋出，問該三點(diǎn)落到水平面時(shí)的速度的大小和方向是否相同？答：JZ=Pr ，兩系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

12、不同，所以角加速度不同。概念題. 1、兩質(zhì)量同為m的均質(zhì)輪，一作用一力P，一掛一重物重P，問兩輪的角加速度是否相同？是多少？PPPOO答：vx= v0cos ， vy= v0sin-gt，由于v0方向不同，所以速度不同。37概念題. 1、怎樣用旋轉(zhuǎn)的方法區(qū)別生蛋和煮熟的雞蛋，為什么？答：旋轉(zhuǎn)時(shí)間較長的是熟蛋，時(shí)間短的是生蛋。 因?yàn)?，熟蛋的殼、青、黃為一整體，而生蛋的則相對(duì)分離，開始時(shí)由于慣性，殼轉(zhuǎn)，青、黃不轉(zhuǎn)，內(nèi)阻力使其早早停止轉(zhuǎn)動(dòng)。 2、大隊(duì)人馬過橋時(shí)，為什么不能步調(diào)一致？答：共振 3、芭蕾舞演員伸臂抬腿旋轉(zhuǎn)，收回臂、腿時(shí)將會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象？為什么？答：旋轉(zhuǎn)速度更快，因?yàn)閷?duì)z軸動(dòng)量矩守恒。 4

13、、開山定向爆破時(shí)，根據(jù)什么原理確定飛出的石塊的落地位置？ 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。 5、夯實(shí)地基的電夯是根據(jù)什么原理制成的？ 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。38概念題. 1、水在直管中流動(dòng)時(shí)對(duì)管壁有無動(dòng)壓力？ 無。 2、人坐在轉(zhuǎn)椅上，雙腳離地，能否用雙手將轉(zhuǎn)椅轉(zhuǎn)動(dòng)？為什么？ 不能，因?yàn)閷?duì)z軸動(dòng)量矩守恒 3、騎自行車轉(zhuǎn)彎時(shí)，車身要向里傾，而船只轉(zhuǎn)彎時(shí)，船身卻要向外傾，為什么？ ？39練習(xí)題4：均質(zhì)圓柱體半徑為r，重為Q，放在粗糙的水平面上，設(shè)質(zhì)心速度v0 ，具有初角速度0 ，且r0 v0 ，圓柱與地面間的摩擦系數(shù)為fk ， 問 （1）經(jīng)過多少時(shí)間，圓柱體才能只滾不滑地向前運(yùn)動(dòng)？ 并求該瞬時(shí)圓柱體中心的速度， （2）到達(dá)只滾不滑狀態(tài)時(shí)圓柱