《微分方程數(shù)值解》教學(xué)大綱

1、微分方程數(shù)值解Numerical solution of differential equation一、課程基本情況課程類別：專業(yè)方向課課程學(xué)分：3學(xué)分課程總學(xué)時(shí)：48學(xué)時(shí)，其中講課：40學(xué)時(shí)，實(shí)驗(yàn)（含上機(jī)）：8 學(xué)時(shí), 課外 0 學(xué)時(shí)課程性質(zhì)：選修開課學(xué)期：第5學(xué)期先修課程：高等代數(shù)，數(shù)學(xué)分析，偏微分方程，數(shù)值分析，MATLAB軟件適用專業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué) 教 材：李榮華，劉播；微分方程數(shù)值解（第四版），高等教育出版社，2009年。開課單位：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系二、課程性質(zhì)、教學(xué)目標(biāo)和任務(wù)該課程是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一。本課程主要是介紹常微分方程初值問題、邊值問

2、題以及偏微分方程初、邊值問題的數(shù)值解法。通過本課程的學(xué)習(xí)，不僅使學(xué)生掌握本課程的基礎(chǔ)理論和分析解決問題的基本思路和技巧，還能使學(xué)生的數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)結(jié)合解決問題的能力得到擴(kuò)展，并進(jìn)一步鞏固學(xué)生已有的用數(shù)值計(jì)算解決問題的能力。為今后在各自的專業(yè)工作中應(yīng)用科學(xué)計(jì)算這一重要研究手段、解決實(shí)際問題或進(jìn)入深層次的專門研究奠定良好的基礎(chǔ)。三、教學(xué)內(nèi)容和要求1 緒論（2學(xué)時(shí)）（1）理解微分方程數(shù)值求解的重要性；（2）了解微分方程與工程、科學(xué)技術(shù)之間的關(guān)系；（3）初步了解數(shù)值求解微分方程的各類方法。2 常微分方程的初值問題數(shù)值解法（6學(xué)時(shí)）（1）了解常微分方程初值問題解的存在唯一性定理；（2）掌握Euler法，改

3、進(jìn)的Euler方法，Runge-Kutta方法，線性多步法（Adams-Bashforth公式，Adams-Moulton公式）；（3）理解并掌握逼近格式的相容性（局部截?cái)嗾`差），穩(wěn)定性（舍人誤差）和收斂性（整體截?cái)嗾`差），以及局部截?cái)嗾`差和整體截?cái)嗾`差的關(guān)系；重點(diǎn)：Euler法；Runge-Kutta法；難點(diǎn)：相容性（局部截?cái)嗾`差）；穩(wěn)定性（舍人誤差）和收斂性（整體截?cái)嗾`差）3.橢圓方程的有限差分法（6學(xué)時(shí)）（1）掌握并熟悉幾種差分逼近格式：一階向前（后）差分，一階中心差分，二階中心差分; 掌握Poisson方程第一邊值問題離散化進(jìn)行數(shù)值求解的五點(diǎn)差分格式；（2）理解掌握這種差分格式建立的過

4、程；（3）熟悉五點(diǎn)差分格式的收斂和穩(wěn)定性分析；重點(diǎn)：幾種差分；五點(diǎn)差分格式難點(diǎn)：五點(diǎn)差分格式的收斂和穩(wěn)定性分析4.發(fā)展方程的差分方法（12學(xué)時(shí)）（1）掌握熱傳導(dǎo)方程初邊值問題數(shù)值計(jì)算的向前差分格式（顯式）、向后差分格式（隱式）、Crank-Nicolson六點(diǎn)差分格式絕對穩(wěn)定（1947年），Richardson格式；掌握幾種差分格式的收斂性、穩(wěn)定性；掌握波動(dòng)方程的特征、決定區(qū)域、依賴區(qū)域和影響區(qū)域；掌握差分解收斂和差分格式穩(wěn)定的必要條件Courant條件；（2）理解并熟練掌握穩(wěn)定性的Fourier判別方法；（3）了解二維熱傳導(dǎo)方程的ADI方法；（4）熟悉初值問題數(shù)值求解的離散差分格式和誤差分析

5、；熟悉對流方程的迎風(fēng)格式、Lax格式、Box格式、Lax-Wendroff粘性差分格式（1960年）；重點(diǎn)：熱傳導(dǎo)方程和波動(dòng)方程幾種差分格式難點(diǎn)：各種差分格式的收斂性、穩(wěn)定性；穩(wěn)定性的Fourier判別方法；Courant條件5.邊值問題的變分形式（8學(xué)時(shí)）（1）掌握多變量二次函數(shù)極值問題與線性代數(shù)方程組求解建立等價(jià)性的過程及條件；了解極小位能原理，虛功原理；掌握RitzGalerkin方法近似求解的思想和過程。（2）理解弦平衡問題的兩種數(shù)學(xué)模型（兩點(diǎn)邊值問題和泛函變分問題）及相互轉(zhuǎn)換關(guān)系；理解Sobolev空間中弦平衡問題的變分原理；理解本質(zhì)邊界條件和自然邊界條件，古典解和廣義解；（3）了解

6、二階橢圓邊值問題的變分原理；重點(diǎn)：多變量二次函數(shù)極值問題與線性代數(shù)方程組求解建立等價(jià)性的過程；RitzGalerkin方法難點(diǎn)：極小位能原理，虛功原理；二階橢圓邊值問題的變分原理6.橢圓型方程的有限元解法（6學(xué)時(shí)）（1）掌握解一維問題的線性有限元方法；掌握求解二維問題的三角形元方法。（2）熟悉建立線性有限元方程的整個(gè)過程；熟悉單元節(jié)點(diǎn)基函數(shù)，面積坐標(biāo)，單元?jiǎng)偠染仃?，總體剛度矩陣等概念；（3）了解線性有限元方法的收斂分析及誤差估計(jì)；了解建立三角形元方程的整個(gè)過程；重點(diǎn)：線性有限元方法；剛度矩陣；二維問題的三角形元方法難點(diǎn)：建立線性有限元方程的整個(gè)過程；線性有限元方法的收斂分析及誤差估計(jì)；四、課程

7、考核（1）作業(yè)等：作業(yè)：6次；報(bào)告：4次；課程論文：0篇；（2）考核方式：閉卷考試（3）總評成績計(jì)算方式：平時(shí)成績20%+實(shí)驗(yàn)報(bào)告成績20%+期末考試成績60%五、參考書目（1）偏微分方程數(shù)值解法，清華大學(xué)出版社，陸金甫，關(guān)治編著，2004。（2）Numerical Solution of Partial Differential Equations An Introduction，Cambridge University Press，K. W. Morton，D. F. Mayers，2005。（3）Finite Difference Methods in Financial Engineering A Partial