南京航空航天大學(xué)《復(fù)變函數(shù)》課件-第三章 復(fù)變函數(shù)的積分

1、 第三章 復(fù)變函數(shù)的積分第一節(jié) 復(fù)積分的概念及簡(jiǎn)單性質(zhì)Math1.復(fù)變函數(shù)的積分的定義設(shè)在復(fù)平面上有一條連接 及b 兩點(diǎn)的有向（光滑或逐段光滑）曲線C. 設(shè) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 沿C有定義。把曲線C用分點(diǎn) 分成 n 個(gè)小弧，在這里分點(diǎn) 是在曲線C上按從a 到 b 的次序排列的.如果 是 到 的弧上任意一點(diǎn)，那么考慮和式當(dāng)曲線C上的分點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)窮增加且時(shí), 如果和式有極限, 稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù)f(z)沿曲線C的積分，記為如果用 分別表示的實(shí)部與虛部,則有: 按照關(guān)于實(shí)函數(shù)的線積分的結(jié)果，當(dāng)曲線C上的分點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)窮增加，而且時(shí)，若f(z)連續(xù), 則和式有極限:因此，我們有定理3.1

2、若函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲線C 連續(xù)，則 f(z) 沿曲線 C 可積，且注： 沿曲線C可積的必要條件是： 在C上有界。例1、設(shè)C是連接 及 兩點(diǎn)的任一曲線，那么如果是C閉曲線，即 ，那么上述兩個(gè)積分都是零.2.復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算問(wèn)題如果C是有向光滑曲線：并且 ，那么復(fù)積分可以寫(xiě)成黎曼積分的形式:稱(chēng)為復(fù)積分的參數(shù)方程法，或稱(chēng)變量替換公式注：當(dāng)C是分段光滑簡(jiǎn)單曲線時(shí)，結(jié)論仍然成立3.復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)：設(shè) f(z) 及 g(z) 在曲線C上連續(xù)，則有 （1）其中曲線C是由光滑曲線 連接而成；(6)定理3.2 如果f(z)在C上連續(xù)且而L是曲線C的長(zhǎng)度，其中M及L都是有限的正數(shù)

3、，那么有，證明：因?yàn)閮蛇吶O限即可得結(jié)論.(5) 例3.2：設(shè)C是圓 ， 其中 是一個(gè)復(fù)數(shù)， 是一個(gè)正數(shù)，那么按反時(shí)針?lè)较蛩〉姆e分證明：令 直接計(jì)算即可. 這個(gè)例子極為重要，以后會(huì)經(jīng)常用到.第三章 復(fù)變函數(shù)的積分第二節(jié) 柯西(Cauchy)積分定理Math1. 柯西(Cauchy)積分定理定理3.3（1825年） 設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D 內(nèi)的解析函數(shù)，C是D 內(nèi)任一條周線(逐段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線)，那么柯西積分定理的證明有兩種：Riemann的證明(1851年). 有附加條件 “ 在D 內(nèi)連續(xù)”.2. Coursat的證明(1900年). 無(wú)附加條件.Riemann證明: 設(shè)f(z)=u(x

4、,y)+iv(x,y),則記D為C所圍區(qū)域. 由C-R方程和Green公式得:故結(jié)論成立.定理3.4. 設(shè)函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D 內(nèi)解析， C 是D 內(nèi)任意一條閉曲線(不必簡(jiǎn)單)，那么 證明：將曲線C 分解為有限多條簡(jiǎn)單閉曲 線即可. 由柯西積分定理, 可得到如下結(jié)論：推論3.5 .設(shè)函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D 內(nèi)解析,則 f(z) 在D 內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān). 即對(duì)D內(nèi)任意兩點(diǎn) , 積分之值,不依賴(lài)連接 的曲線2. 柯西積分定理Coursat證明.第一步: 設(shè)C 是三角形.第二步: 設(shè)C 是閉折線.第三步: 考慮一般情形, 用閉折線逼近.3.不定積分 設(shè)f(z)及F(z)是區(qū)域D 內(nèi)的函數(shù)，

5、F(z)在D內(nèi)解析，并且在D 內(nèi)有 (z)=f(z)，那么函數(shù)F(z)稱(chēng)為f(z)在區(qū)域D 內(nèi)的不定積分或原函數(shù). 因此 f(z)的任意兩個(gè)原函數(shù)差一個(gè)常數(shù). 事實(shí)上，設(shè)F(z)及G(z)都是f(z)在區(qū)域D 內(nèi)的原函數(shù)，則 設(shè)f(z)在單連通區(qū)域 D 內(nèi)解析，那么積分 在 D 內(nèi)定義了一個(gè)單值函數(shù).定理3.6 設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D 內(nèi)解析，那么F(z)在 D 內(nèi)解析，且 證明：依可微性定義直接計(jì)算.定理3.7 設(shè)（1）函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D 內(nèi)連續(xù)；（2）f(z) 沿區(qū)域 D 內(nèi)任意周線的積分為零，那么函數(shù)F(z)在 D 內(nèi)解析且 由前邊的證明, 事實(shí)上已得到如下結(jié)論：利用原函數(shù)求積

6、分定理3.8. 在定理3.6或定理3.7的條件下,如果G(z)是f(z)在單連通區(qū)域 D內(nèi)的任意一個(gè)原函數(shù)，那么對(duì)D中任意兩點(diǎn) 及z,有例3.6：在單連通區(qū)域D：內(nèi)，其中l(wèi)nz是任何單值解析分支。4. 柯西積分定理的推廣先敘述定理3.3的一個(gè)等價(jià)形式:定理3.3 設(shè)C是一條簡(jiǎn)單閉曲線，函數(shù)f(z)在以C為邊界的有界閉區(qū)域 上解析，那么定理3.9 設(shè)C是一條簡(jiǎn)單閉曲線，D為C 的內(nèi)部，函數(shù)f(z)在D內(nèi)解析，在D+C 上連續(xù)，那么柯西積分定理可推廣為如下結(jié)論： 證明：(略).5. 柯西積分定理推廣到復(fù)周線柯西積分定理可以推廣到多連通區(qū)域：設(shè)有n+1條周線曲線 中每一條都在其余曲線的外區(qū)域內(nèi)，而且

7、所有這些曲線都在 的內(nèi)區(qū)域，圍成一個(gè)有界多連通區(qū)域D，D 的邊界為:定理3.10. 設(shè)區(qū)域D如前所述, 函數(shù)f(z)在D內(nèi)解析，在D+C 上連續(xù)，那么或?qū)憺?亦即：證明：如圖將D分割為兩個(gè)單連通區(qū)域, 利用單連通區(qū)域的柯西積分定理. 利用定理3.10可以將復(fù)雜曲線上積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單情形.例3.8. 設(shè) 是周線C內(nèi)部的點(diǎn), 則第三章 復(fù)變函數(shù)的積分第三節(jié) 柯西積分公式及其推論Math1.柯西積分公式設(shè) f(z) 在以圓為邊界的閉圓盤(pán) D上解析，則 f(z) 沿 C的積分為零. 我們考慮積分:被積函數(shù) 在C上連續(xù)，故積分存在.但被積函數(shù)在上述閉圓盤(pán)上不解析，I的值不一定為0，例如：我們進(jìn)一步考

8、慮更一般的情形.定理3.11 設(shè)區(qū)域D的邊界是周線(或復(fù)周線)C. f(z) 在D內(nèi)解析，在 上連續(xù)，那么對(duì) D 內(nèi)任一點(diǎn)z，有其中，曲線C的方向取正向. 我們稱(chēng)上式為柯西積分公式.注解. 柯西積分公式表明: 對(duì)于某些區(qū)域上的解析函數(shù)，它在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)所取的值可以用它在邊界上的值表示出來(lái). 該公式是解析函數(shù)的最基本的性質(zhì)之一，是非常重要的.定義3.4. 在定理3.11的條件下，稱(chēng)為柯西積分.利用柯西積分公式可以計(jì)算某些積分.例3.10. 設(shè)C為圓周 , 計(jì)算積分:解:注：若C為圓周 ， 如何？解析函數(shù)平均值定理定理3.12 設(shè) f (z) 在圓 內(nèi)解析，在閉圓盤(pán)上連續(xù)，則即 f(z) 在圓心

9、處的值等于它在圓周上值的算術(shù)平均值.例3.11. 設(shè)函數(shù) f(z) 在閉圓盤(pán)上連續(xù), 在其內(nèi)部解析, 如果存在實(shí)數(shù)a 0, 使得: 當(dāng) |z|=R 時(shí), |f(z)| a,而且 |f(0)| a.則在|z|R 內(nèi) f(z) 必有零點(diǎn).證明: 利用反證法, 對(duì)函數(shù) F(z)=1/f(z)運(yùn)用平均值定理.2. 解析函數(shù)的無(wú)窮可微性定理3.13 設(shè)區(qū)域D的邊界是周線(或復(fù)周線) C. f(z) 在D內(nèi)解析，在 上連續(xù)，那么 f(z) 在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù), 且例3.12. 計(jì)算積分其中C是繞i的周線.定理3.14 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，那么f(z)在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，并且它們也在D內(nèi)解析.注解

10、. (1) 以上討論表明，函數(shù)在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的解析性是很強(qiáng)的條件，和僅僅在一個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)有非常大的差異. (2) 一元實(shí)函數(shù)無(wú)類(lèi)似性質(zhì).3.柯西不等式與劉維爾(Liouville)定理柯西不等式 設(shè)函數(shù)f(z)在以為邊界的閉圓盤(pán)上解析，那么其中定義. 如果函數(shù)f(z)在整個(gè)復(fù)平面上解析，那么我們稱(chēng)它為一個(gè)整函數(shù).例如:劉維爾 (Liouville) 定理： 有界整函數(shù)必為常數(shù).代數(shù)學(xué)基本定理: 在z平面上, n次多項(xiàng)式 至少有一個(gè)零點(diǎn).4. 摩勒拉（Morera）定理： 根據(jù)解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)的結(jié)論，可以證明柯西積分定理的逆定理，即Morera定理： 定理3.16. 如果函數(shù) f(z) 在單連通區(qū)

11、域D內(nèi)連續(xù)，且對(duì)于D內(nèi)的任一條周線C，有那么f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析.定理3.17. 函數(shù) f(z) 在區(qū)域 G 內(nèi)解析的充要條件為:(1) f(z) 在區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù);(2) 對(duì)任一周線C, 只要C 及其內(nèi)部全含于G內(nèi), 就有例3.13 設(shè) f(z) 是整函數(shù), 且存在實(shí)數(shù) M, 使得 Re f(z)M, 試證 f(z) 為常數(shù).第四節(jié) 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系定義3.5. 連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足: 拉普拉斯（Laplace）方程其中 為拉普拉斯(Laplace) 算子定義3.6. 滿足CR方程: 調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)等實(shí)際問(wèn)題中都有重要應(yīng)用. 本節(jié)給出調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)之間的關(guān)系.注：-u 是 v的共軛調(diào)和函數(shù)定理3.18. 證： C-R條件,由解析函數(shù)的無(wú)窮可微性知, 函數(shù)u和v在D內(nèi)具有任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).從而故有同理有給定一個(gè)調(diào)和函數(shù) u, 如果能求出u的共軛調(diào)和函數(shù)v, 則自然得到一