初中數(shù)學(xué)北師大九年級上冊（2023年修訂） 一元二次方程一元二次方程的概念（學(xué)案）

1、全國初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)創(chuàng)新研討會現(xiàn)場展示課學(xué)案課題：一元二次方程的概念執(zhí)教：成都市龍泉第一中學(xué) 羅仁亮【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1. 能舉例說明一元二次方程的含義與特征并能運(yùn)用概念解題；2. 能從方程的解的概念和一元一次方程解的概念得出一元二次方程的解的概念并能運(yùn)用它解題；3. 通過一元二次方程概念和一元二次方程解的概念的學(xué)習(xí)，認(rèn)識數(shù)學(xué)概念的形成過程，體會歸納、演繹與類比的學(xué)習(xí)方法?！緦W(xué)習(xí)重點(diǎn)】 正確理解一元二次方程的概念及運(yùn)用 【學(xué)習(xí)過程】 一、學(xué)習(xí)準(zhǔn)備學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容需要用到以下知識，同學(xué)們通過完成以下問題自我檢查一下是否熟悉。1.含有 的等式叫方程；使方程左、右兩邊的值 的未知數(shù)的值叫方程的解；求得方程

2、過程，叫解方程。2.什么樣的方程叫做一元一次方程？怎樣判斷一個(gè)方程是否為一元一次方程的步驟是什么？（鏈接1）3.做一做：如圖，一個(gè)長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m 10m8m 問題1.如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少米？設(shè)梯子的底端滑動米，由勾股定理可得方程： 問題2.如果梯子的頂端下滑的距離等于梯子底端平滑距離時(shí)，那么梯子的底端滑動多少米？ 設(shè)梯子的底端滑動米，則可得方程 問題3.如果梯子的頂端到墻腳的距離等于梯子的底端到墻腳的距離時(shí)， 設(shè)梯子的底端到墻腳的距離為米，則可得方程： 想一想：剛才得到的這幾個(gè)方程還是一元一次方程嗎？你能否求出它們的解呢？

3、學(xué)習(xí)完今天的內(nèi)容后你就能很輕松的解決了！二、學(xué)習(xí)探究1一元二次方程的概念觀察思考： 觀察“學(xué)習(xí)準(zhǔn)備”中 “做一做”得出的方程后回答：它是整式方程嗎？（ ）含有 個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為 ，化簡整理成右邊為零的形式后得 ；觀察“學(xué)習(xí)準(zhǔn)備”中 “做一做”得出的方程后回答：它是整式方程嗎？（ ）含有 個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為 ，化簡整理成右邊為零的形式后得 ；觀察“學(xué)習(xí)準(zhǔn)備”中 “做一做”得出的方程后回答：它是整式方程嗎？（ ）含有 個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為 ，化簡整理成右邊為零的形式后得 ；思考： （1）學(xué)習(xí)準(zhǔn)備中的“做一做”得出的方程、有什么共同特點(diǎn)呢？溫馨提示：觀察方程是什么形式的

4、方程，方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)、次數(shù)和化簡后的形式幾個(gè)方面進(jìn)行。 （2）你能舉出幾個(gè)具有這種特點(diǎn)的方程嗎？ 。歸納概括：我們把具有上述特征的方程叫做一元二次方程。請你給一元二次方程下一個(gè)定義： 。（鏈接2）注意：我們把（其中、為常數(shù)，且）稱為一元二次方程的一般形式。二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)分別為 、 、 。二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)分別為 、 。 想一想：一元二次方程的定義中的關(guān)鍵詞是什么？一元二次方程的特征是什么？鞏固應(yīng)用：將下列方程整理后判斷是否為關(guān)于的一元二次方程，若是，指出它的各項(xiàng)系數(shù)。（ ） ( ) （ ） （ ） （ ） ( ) 解后反思：判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程的步驟是什么？例1 當(dāng)滿

5、足什么條件時(shí),方程是關(guān)于的一元一次方程； 當(dāng)滿足什么條件時(shí),上述方程才是關(guān)于的一元二次方程思路啟迪：一元一次方程、一元二次方程的條件是什么？解：解后反思：解決本題的關(guān)鍵是什么？用到了什么數(shù)學(xué)思想和方法？變式練習(xí)：當(dāng)取何值時(shí)，關(guān)于的方程是一元二次方程；當(dāng)取何值時(shí)，上述方程是一元一次方程。2一元二次方程的解（或根）請回憶什么是方程的解？你能否由此得出一元二次方程的解的定義？請寫出你得出的定義： 叫做一元二次方程的解。 的方程的解也叫做方程的根 思考：你能類比一元一次方程的解的定義給一元二次方程的解下定義嗎？鞏固應(yīng)用：一元二次方程的解是（ ） A . =-5 B. =1 C. =5或-1 D. =-

6、5或1 解題反思：判斷一個(gè)數(shù)是否為一元二次方程的解的關(guān)鍵是什么？所用的方法是什么？ 例2 關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)解是0，求的值.思路啟迪：由已知可聯(lián)想到什么？要求的值的需要得到一個(gè)什么？解： 解后反思：解答本題的關(guān)鍵是什么？要求某個(gè)字母的值，一般都要轉(zhuǎn)換成什么問題來解決？這里體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想？變式練習(xí)： 當(dāng)為何值時(shí)，關(guān)于的一元二次方程（1）有一根為0； （2）有一根為.。三、學(xué)習(xí)反思： 1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了那些知識？如何判斷一個(gè)方程是一元二次方程？ 2.在利用概念解題的過程中用到了那些數(shù)學(xué)思想方法？【學(xué)習(xí)評價(jià)】一、感受與認(rèn)識1.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，你感受最深的知識、思想、方法是什么？2.你還有沒有那些問題沒有弄清楚？二、自我測評 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )A. B. C. D.2下列方程中,不是一元二次方程的是( ) A. B. C. D.3關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是0，則值為（ ）A B. C. 或 D. 4當(dāng) 時(shí)，是關(guān)于的一元二次方程。5若關(guān)于一元二次方程有一個(gè)根為-1,則的關(guān)系是_ _ 。6已知關(guān)于的方程是一元二次方程，求n的值。 【學(xué)習(xí)鏈接】鏈接1：只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，并且能化為（其中、為常數(shù)，且）的形式，這樣的方程叫做一元二次方程。判斷一個(gè)方程