湖南省長沙市雅禮十六校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期9月第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、雅禮十六校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期9月第一次聯(lián)考數(shù)學(xué) 解析版總分：150分 時量：120分鐘注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡指定位置上2回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 下列不屬于的展開式的項(xiàng)的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】按照二項(xiàng)式定理直接展開判斷即可.

2、【詳解】由二項(xiàng)式定理可知，故不是展開式的項(xiàng).故選：B2. 已知非空集合， 其中，若滿足，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可設(shè)，根據(jù)題設(shè)條件可得滿足的條件，再根據(jù)根分布可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，因?yàn)榉强?，故可設(shè)，則為方程的兩個實(shí)數(shù)根.設(shè)，又，因?yàn)椋?故，所以，解得.故選：A.3. 已知復(fù)數(shù)，與共軛，且，則的值為（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)減法的模的幾何意義、橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程等知識求得正確答案.【詳解】依題意，即復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和為，而，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，在以為長軸，為焦距，焦點(diǎn)在軸的橢圓上，橢圓的

3、長半軸為，半焦距為，所以短半軸為，所以橢圓的方程為.與共軛，說明與對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于長軸對稱，設(shè)，依題意，即，所以，則，即，所以點(diǎn)三點(diǎn)共線，為左焦點(diǎn)，而，表示：與兩點(diǎn)的距離、與右焦點(diǎn)的距離、與右焦點(diǎn)的距離，這三個距離之和，即和為.故選：D4. 已知三邊所對角分別為，且，則的值為（ ）A. -1B. 0C. 1D. 以上選項(xiàng)均不正確【答案】B【解析】【分析】由題意，先由余弦定理化簡整理，再根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊化角，由三角形內(nèi)角和結(jié)合誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，可得答案.【詳解】將由余弦定理變換得由正弦定理得，三角變換得，即，變形得，兩邊同時乘以得，故選：B.5. 已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，為前100項(xiàng)和，下列說法

4、正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先可得，然后由條件可得，然后可得為遞減數(shù)列，然后可得，然后可得，然后可證明.【詳解】令，則可得，故，將兩邊同除得，為遞減數(shù)列，可得，所以，所以，根據(jù)等比數(shù)列求和公式得，綜上，故選：C6. 長沙市雅禮中學(xué)（雅禮）、華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)（華一）、河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)（省實(shí)驗(yàn)）三校參加華中名校杯羽毛球團(tuán)體賽 這時候有四位體育老師對最終的比賽結(jié)果做出了預(yù)測：羅老師：雅禮是第二名或第三名，華一不是第三名；魏老師：華一是第一名或第二名，雅禮不是第一名；賈老師：華一是第三名；關(guān)老師：省實(shí)驗(yàn)不是第一名；其中只有一位老師預(yù)測對了，則正確的是（ ）A

5、. 羅老師B. 魏老師C. 賈老師D. 關(guān)老師【答案】C【解析】分析】由題意分別假設(shè)四位老師正確，再進(jìn)行邏輯推理，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，假設(shè)羅老師正確，則另外三位老師錯誤，又因?yàn)槲豪蠋熍c賈老師的說法中一定有一個正確，所以假設(shè)錯誤，A不正確；假設(shè)魏老師正確，則另外三位老師錯誤，但是與羅老師的說法矛盾，所以假設(shè)錯誤，B不正確；假設(shè)關(guān)老師正確，則另外三位老師錯誤，但是魏老師與賈老師的說法中一定有一個正確，所以假設(shè)錯誤，D不正確；故賈老師說法正確.故選:C.7. 若，（）試比較的大小關(guān)系（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先估算出，進(jìn)而求出的范圍，再由求出的范圍，最后構(gòu)造函

6、數(shù)估算出即可求解.【詳解】由得，故，又，故，由常用數(shù)據(jù)得，下面說明，令，當(dāng)時，單增，當(dāng)時，單減，則，則，則，令，則，則，綜上，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)對數(shù)的大小比較，關(guān)鍵點(diǎn)在于通過構(gòu)造函數(shù)求出的范圍，放縮得到，再由和結(jié)合即可求解.8. 已知雙曲線，若過點(diǎn)能作該雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率取值范圍為（ ）A. B. C. D. 以上選項(xiàng)均不正確【答案】D【解析】【分析】設(shè)切線方程為，代入雙曲線方程后，方程應(yīng)為一元二次方程，二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，然后由判別式得關(guān)于方程，此方程有兩個不等的實(shí)根，由此可得的范圍，從而求得的范圍，注意滿足二次項(xiàng)系數(shù)不為0的條件，即可得結(jié)論【詳解】設(shè)切線方

7、程是，由得，顯然時，所得直線不是雙曲線的切線，所以，由得，整理為，由題意此方程有兩不等實(shí)根，所以，則（為雙曲線的半焦距），即，代入方程，得，此時，綜上，的范圍是故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9. 某市有A，B，C，D四個景點(diǎn)，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽A的概率為，游覽B，C，D的概率都是，且該游客是否游覽這四個景點(diǎn)相互獨(dú)立.用隨機(jī)變量X表示該游客游覽景點(diǎn)的個數(shù)，下列說法正確的是（ ）A. 該游客至多游覽一個景點(diǎn)概率為B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)確

8、定隨機(jī)變量X的可能取值，結(jié)合各選項(xiàng)的描述，結(jié)合對立、互斥事件概率及獨(dú)立事件乘法公式求出對應(yīng)，即可判斷A、B、C，最后應(yīng)用隨機(jī)變量期望公式求判斷D.【詳解】由題意知，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4，A：游客至多游覽一個景點(diǎn)，即游覽0個或1個景點(diǎn)，即或，游客至多游覽1個景點(diǎn)概率為，正確；B： ，正確；C：，錯誤；D：，所以，正確故選：ABD10. 如果一個無限集中的元素可以按照某種規(guī)律排成一個序列（或者說，可以對這個集合的元素標(biāo)號表示為），則稱其為可列集下列集合屬于可列集的有（ ）A. B. ZC. QD. R【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題中定

9、義逐一判斷即可.【詳解】令即可表示所有自然數(shù)，故集合N可標(biāo)號表示為，故為可列集，同理，Z為可列集，對于Q，整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，由于其區(qū)間可由可列個區(qū)間組成，故可只討論區(qū)間內(nèi)的情況令，當(dāng)分母為1時，分子只有一種取值，故記作，同理，綜上，集合Q可標(biāo)號表示為，故Q為可列集，有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，所以實(shí)數(shù)不是可列集，故選：ABC11. 已知某四面體的四條棱長度為，另外兩條棱長度為，則下列說法正確的是（ ）A. 若且該四面體的側(cè)面存在正三角形，則B. 若且該四面體的側(cè)面存在正三角形，則四面體的體積C. 若且該四面體的對棱均相等，則四面體的體積D. 對任意，記側(cè)面存在正三角形

10、時四面體的體積為，記對棱均相等時四面體的體積為，恒有【答案】ACD【解析】【分析】對于A選項(xiàng)，結(jié)合余弦定理表示出，進(jìn)而求得的取值范圍.對于BCD選項(xiàng)，利用四面體的體積公式求得的表達(dá)式，并求得范圍，從而判斷出BCD選項(xiàng)的正確性.【詳解】對于A選項(xiàng)，如下圖所示，四面體中，依題意，不妨設(shè)，設(shè)是的中點(diǎn)，所以，設(shè)，則，在三角形中，由余弦定理得，即，由于，所以，故A選項(xiàng)正確.對于B選項(xiàng)，如下圖所示，四面體中，不妨設(shè)，設(shè)是的中點(diǎn)，則平面，所以平面.設(shè)，則，由于，所以.當(dāng)時，時等號成立，B選項(xiàng)錯誤.對于C選項(xiàng)，如下圖所示，四面體中，不妨設(shè)，設(shè)是CD的中點(diǎn)，則平面，所以平面.在三角形中，所以，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時等

11、號成立.故當(dāng)時，即，C選項(xiàng)正確.對于D選項(xiàng)，由上述分析可知，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD12. 已知函數(shù)，下列說法不正確的是（ ）A. 當(dāng)時，函數(shù)僅有一個零點(diǎn)B. 對于，函數(shù)都存在極值點(diǎn)C. 當(dāng)時，函數(shù)不存在極值點(diǎn)D. ，使函數(shù)都存在3個極值點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】由時，即可判斷A選項(xiàng)；當(dāng)時，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C選項(xiàng)；由C選項(xiàng)即可判斷B選項(xiàng)；由的零點(diǎn)個數(shù)即可判斷D選項(xiàng).【詳解】，令，則，對于A，當(dāng)時，函數(shù)無零點(diǎn)，則A錯誤；對于C，當(dāng)時，當(dāng)時，即單增，當(dāng)時，即單減，則，即函數(shù)單增，不存在極值點(diǎn)，C正確；對于B，由C選項(xiàng)知錯誤；對于D，假設(shè)，使函數(shù)都存在3個極值點(diǎn)，即存在3個變號

12、零點(diǎn)，又由上知，當(dāng)時，即單增，最多只有1個零點(diǎn)；當(dāng)時，當(dāng)時，即單增，當(dāng)時，即單減，最多只有2個零點(diǎn)，和存在3個變號零點(diǎn)矛盾，則不存在，使函數(shù)都存在3個極值點(diǎn)，D錯誤.故選：ABD.【點(diǎn)睛】解決極值點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于求導(dǎo)后由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，對于導(dǎo)數(shù)的正負(fù)不好直接確定的，可以通過構(gòu)造函數(shù)，再次求導(dǎo)，進(jìn)而確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，使問題得到解決.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 已知，則的最大值為_【答案】#【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，設(shè)，得到的軌跡方程為：，且點(diǎn)在上，從而得到，再解不等式即可.【詳解】變形得，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡方程為：，且點(diǎn)在上，所以，整理得：，即，解得.所

13、以的最大值為.故答案為：14. 已知向量與的夾角為，且，若與的夾角為銳角，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由題意可得，且與不共線，從而可求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，且，與的夾角為銳角，所以，且與不共線，由，得，所以，化簡得，解得或，由與共線，得存在唯一實(shí)數(shù)，使，所以，得，所以當(dāng)時，與不共線，綜上或，且，所以的取值范圍是，故答案為：15. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作直線分別交雙曲線左支和一條漸近線于點(diǎn)（在同一象限內(nèi)），且滿足 聯(lián)結(jié)，滿足 若該雙曲線的離心率為，求的值_【答案】【解析】【分析】先假設(shè)，由得，再由點(diǎn)在雙曲線上，得到，進(jìn)而得到，又由點(diǎn)在漸近線上，得到，

14、平方后將，代入得到齊次方程，求得，再平方即可求得離心率.【詳解】不妨設(shè)，由得，化簡得（1）， 在雙曲線上，所以，即， 代入（1）解得，又在漸近線上，即兩邊平方得（2） 將和代入（2）得化簡得，解得，即 化簡得故答案為：【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2c2a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)16. 若關(guān)于x的不等式恒成立，則的最大值是_.【答案】【解析】

15、【分析】由，原不等式可化為.再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，根據(jù)的圖象恒在的圖象的上方，對進(jìn)行分類討論，即可得到答案.【詳解】由，原不等式可化.設(shè)，則，當(dāng)時，遞增；，遞減.所以，在處取得極大值，且為最大值；時，. 的圖象恒在的圖象的上方，顯然不符題意；當(dāng)時，為直線的橫截距，其最大值為的橫截距，再令，可得，所以取得最大值為.此時，直線與在點(diǎn)處相切.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識；考查抽象概括能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識；考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法.四、解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗(yàn)算步驟17. 定義（1）證明：（2）解方程：【答案】（1）證明

16、見解析 （2）方程的解集為【解析】【分析】（1）根據(jù)定義結(jié)合兩角和差得余弦公式分別化簡，整理即可得證；（2）因式分解，分和兩種情況討論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)得存在性定理及（1）求出方程的根，從而可得出答案.【小問1詳解】證明：，而，聯(lián)立兩式可得，即；【小問2詳解】解：，若，解得，若，則，記，當(dāng)或時，當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，有且僅有三個零點(diǎn)，即有三個實(shí)根，且均位于區(qū)間內(nèi)，記三個實(shí)根分別為，由（1）知，或，解得，綜上所述，方程的解集為.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和差的余弦公式，考查了利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合方程的根的問題，考查了分類討論思想和邏輯推理能力，本題解決第二問的關(guān)鍵在于因式分

17、解，屬于難題.18. 已知單調(diào)遞減的正項(xiàng)數(shù)列，時滿足 為前n項(xiàng)和（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：.【答案】（1） （2）證明見解析【解析】【分析】（1）通過分組分解法化簡已知條件，然后構(gòu)造等差數(shù)列，求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式.（2）結(jié)合分析法、裂項(xiàng)求和法證得不等式成立.【小問1詳解】由，得，即，由是單調(diào)遞減的正項(xiàng)數(shù)列，得，則，即，故是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，即.【小問2詳解】要證：，只需證：，即證：，即證：，即證：，即證：，即證：，而此不等式顯然成立，所以成立.19. 如圖，在以P，A，B，C，D為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD為等腰梯形，平面平面，（1）求證：平面平面；（2

18、）若二面角的余弦值為，求直線PD與平面PBC所成角的正弦值【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，由面面垂直的判定即可證明；（2）過作，垂足分別為，連接，由幾何法可證即為二面角的平面角，過作平面，以為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，再由向量法求出直線PD與平面PBC所成角即可【小問1詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面【小?詳解】過作，垂足分別為，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，且，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，即即為二面角的平面角，不妨設(shè)，則可知，且，因?yàn)?，所以，所以，過

19、作平面，以為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線PD與平面PBC所成角為，則，直線PD與平面PBC所成角的正弦值為20. 現(xiàn)有一批疫苗試劑，擬進(jìn)入動物試驗(yàn)階段，將1000只動物平均分成100組，任選一組進(jìn)行試驗(yàn)第一輪注射，對該組的每只動物都注射一次，若檢驗(yàn)出該組中有9只或10只動物產(chǎn)生抗體，說明疫苗有效，試驗(yàn)終止；否則對沒有產(chǎn)生抗體的動物進(jìn)行第二輪注射，再次檢驗(yàn)如果被二次注射的動物都產(chǎn)生抗體，說明疫苗有效，否則需要改進(jìn)疫苗設(shè)每只動物是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立，兩次注射疫苗互不影響，且產(chǎn)生抗體的概率均為（1）求該組試驗(yàn)只需第一輪注射的概率（用含的多項(xiàng)式表示）；（2）記該組動物需要注射次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，求證：【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分