數(shù)值計算方法復習要點

1、第一章引論計算方法解決問題的主要思想計算方法的精髓：以直代曲、化繁為簡1、采用“構造性”方法構造性方法是指具體地把問題的計算公式構造出來。這種方法不但證明了問題的存在性，而且有了具體的計算公式，就便于編制程序上機計算。2、采用“離散化”方法把連續(xù)變量問題轉為求離散變量問題。例：把定積分離散成求和，把微分方程離散成差分方程。3、采用“遞推化”方法將復雜的計算過程歸結為簡單過程的多次重復。由于遞推算法便于編寫程序，所以數(shù)值計算 中常采用“遞推化”方法。4、采用“近似代替”方法計算機運算必須在有限次停止，所以數(shù)值方法常表現(xiàn)為一個無窮過程的截斷，把一個無限過程的數(shù)學問題，轉化為滿足一定誤差要求的有限步

2、來近似替代。算法的可行性分析時間復雜度、空間復雜度分析算法的復雜性(包含時間復雜性和空間復雜性)。時間復雜度是算法耗費時間的度量。算法的空間復雜度是指算法需占用存儲空間的量度算法的可靠性分析良態(tài)算法、病態(tài)算法一個算法若運算過程中舍入誤差的積累對最后計算結果影響很大，則稱該算法是不穩(wěn)定的或病態(tài)算法，反之稱為穩(wěn)定算法或良態(tài)算法。誤差的來源1、模型誤差我們所建立的數(shù)學模型是對實際問題進行抽象簡化而得到的。因而總是近似的，這就產(chǎn)生了誤差。這種數(shù)學模型解與實際問題的解之間出現(xiàn)的誤差，稱為模型誤差。2、觀測誤差觀測到的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之差。3、截斷誤差數(shù)學模型的準確解與計算方法的準確解之間的誤差。4、舍入誤

3、差由于計算機字長有限，原始數(shù)據(jù)在計算機上表示會產(chǎn)生誤差，每次計算又會產(chǎn)生新的誤差， 這種誤差稱為舍入誤差。絕對誤差、相對誤差定義2記x*為x的近似數(shù)，稱 E(x)=x-x*為近似數(shù)x*的絕對誤差，|E(x)|為絕對誤差限。定義3稱Er(x)=(x-x*)/x為近似數(shù)x*的相對誤差。實際運算時也將 Er*(x)=(x-x*)/x* 稱為近似數(shù)x*的相對誤差。“四舍五入”：即尾數(shù)是4或以下則舍去，尾數(shù)是 6或以上則進1,如果尾數(shù)是5,則規(guī)定: 前面一位數(shù)字是偶數(shù)則舍去，奇數(shù)則進1。定義4將近似數(shù)x*寫為十進制形式nx*10m 1 aj10 j, m為整數(shù)，a1 0j 1若其中x*的最末一位數(shù)an是

4、經(jīng)過“四舍五入”得到的，即*1 ) m n 1x x -10 2(最后一位是因為進 1,實際上只進0.5或舍去最多0.5。)則稱近似數(shù)x*具有n位有效數(shù)字。近似數(shù)x*的有效數(shù)字位數(shù)n越大，則近似數(shù)的絕對誤差限便越小，若近似數(shù)具有n位有效數(shù)字，則相對誤差限為L *10 n 1Er x 2a1第二章一元非線性代數(shù)方程的求解對半分法適用條件：假設函數(shù)f在a,b上連續(xù)(記為f C Ca,b) ,f在區(qū)間端點異號，即f(a)*f(b)0。求解方法：1、將區(qū)間a,b分半，取中點(a+b)/2 給 x* ,求 f(x*)。若 | f(x*) | 1，則 x*是 f(x)=0 的近似解，輸出x*，停止計算，否

5、則作下一步。2、計算 f(a)*f(x*),若 f(a)*f(x*)0,則 b= x* ,否則 a= x* ,形成一個有 f(x)=0 的解的新的區(qū)間，其長度比原區(qū)間少一半。3、對新的含根區(qū)間重復上述步驟直到區(qū)間長度|a-b| 2或| f(x*) | 1 。一般迭代法如何得到迭代格式；將方程f(x)=0化為一個等價同解方程。例f(x)= ()(x)-x可化為x=()(x),且()(x)是連續(xù)函數(shù)。因此求f的解變?yōu)榍笄€y=()(x)與直線y=x交點的橫坐標。解曲線y= j (x)與直線y=x 交點的橫坐標。給定一個初值 x0(x 的初始近似值)。由曲線y=()(x)得xn+1= j (xn)

6、, n=0, 1,2,。把初始值x0代入上式的右端得到 x1 ,再將x1代入右端得到x2 ,，如此重復， 得到迭代數(shù)列xn,其中xn+1=()(xn) , n=0, 1, 2,稱為解方程f(x)=0 的一個迭代格 式，x0稱為迭代初值。如何判斷是否壓縮映射；反文？論自卷中液憶下切布43當夕&M7時商灣(，caL3)kV%)為 .儀工lA同慢物kWfMwU廣對 其中OVLL工方落數(shù)，回用+機4,打上辦。天偏膜型.若dx)CiaK即俄值句上有一階連續(xù)導數(shù))，并且C1)當K三W臼時，御用三1力口卜)囤金句上的最大值為(上g 才3小“為起聞解仔 s蒙為奪方飲於. _ta.壓縮映射定理定理2迭代收斂定理

7、或壓縮映射定理、不動點定理設迭代函數(shù)4 (x)在a,b上具有連續(xù)的一階導數(shù)，且(1)當 xC a,b時，。(x) C a,b(2)存在正數(shù)L1,使對任意xCa,b有|6(x)| L1成立，則方程x=。(x)在a,b上有唯一不動點(根)x ,且對任取初始近似值 x0C a,b,迭代方法xn+1=()(xn) (n=0,1,2,)產(chǎn)生的序列xn均收斂，且收斂于這個不動點 x,即lim xw = x*nT 6(2)誤差估計式成立：1父一工工rx/ix柱-L(3)誤差估計式成立：Vt 到取負余代 4歲八4小攸的亍，二。點口,切依噌-故收斂階牛頓迭代格式的收斂階是 2,即平方收斂。弦截法雙點弦截法；單點

8、弦截法；友用弦就匕可箋時）的貢子苞分用常代初造“ X,旭1次 、=源一帶叱*）曰,2電秫小壯弘做法.笈弦裙該中,茗每次天戶固唬當（%, f%J）,網(wǎng)上忒軍方如尸外-舒河（維4）E一超方i不為用殳弦制法，收斂條件；與牛頓法一樣，當在 根的領域內(nèi)有直至二階 的連續(xù)導數(shù)且 r（a時，弦截法具有局部收斂性收斂階弦截法的收斂速度比牛頓法稍慢，但也是超線性收斂，其收斂階為1.618。第三章解線性代數(shù)方程組的直接法高斯消元法消元步驟：（這里只是簡述，具體請參看ppt）第一步：消元過程，即把原方程組變?yōu)樯先欠匠探M的過程第二步：把已求得的 x回代到方程組的其他方程中，從而求得另外的X,此過程稱為回代過程，從而

9、得出方程組的解公式力靖五 k二L ）7H口-K歡i克1卬一修叫名由1幃無住做9,斥號于手彳二），2,.列主元消元法步驟獷企訪MJ,著道*可，.即證 /碟湍同”輸彳第4方&弓嚼找想調，運方拄上沏的方詁力史或竽上 生仇哨2,這就先如同之謫初4 .矩陣的Lu分解法能否作Lu分解的定理（定理 2、3）;冠鉉44低4府G392西方 一處隊h .八認日7 A 一 心Azi 比） :km &匕-G,它月的V句M次記為6甬的八的彳啊主54訓式-“岳祠2君綠漕A筑工7即方句忖3始d 3 3地酉4必4-J楙*2 嗎LA笊什LU今昧回咐的才叮型返門Ai在2夕就 人冽筠 其詞 1 期的他可儕自今帔存轉位用養(yǎng)奇齊，用以

10、小：入尸血 期）A % ”1-益L 0后精.Lu分解法解方程組第 k 步，在前 k-1 步已經(jīng)求出了 uij ; i=1 , 2,k-1 ; j=1 , 2,，n, lij ; i=1 , 2, n;j=1 , 2,，k-1各兀素?；蛘J仇筆w尹f九專用上力第釧或U”或跖囹懵揖M春一人#丁.限卜13?4心/叼一人廣t十乂/5,。目、此eL4力/陽的為，上討可化片/*屁叼+ 一上呵才T-曰.出產(chǎn)取耳尸匕小.二葉=叼一言，6叼 問. 2/5，”不，干K卜”?或乙功第V列馬名亳句軍S印冽牛貨：方切色/A缶峰仁稅為r Ur K T的七八”TkL7Kd qklf呼+ 產(chǎn)&+卡*孑扁W二百:人解K , ”i

11、Lip仁力巧2 , ,匕成阡化lir1彳:;“，3乂1“t2止七_體t7j（/kx - 3jk1gF/，小二（勺上一薔/依K）九一九彳二也川.Rrk9苗匕丁暮火與匕，瀾得（山產(chǎn) 閡-手加呵 在O“L彳二小”M）/北=（領一g4七次乂 二捫*中5向量和矩陣的范數(shù)定義；對于向量：安！切銀?銀1居y箋燈辿昨國室/仙13目璃虹忸70,孝與與且灰芻抽。時成玄B對徑慧里象L % it w i曰刈網(wǎng)叭耳間十切圖甘心%駟或整.對于矩陣:淑2 77假%71 H方博兒花XT次一非例轉泵fWGlS是。抬|尸0簿芻與旦伍力/)“減學邙線教入JMh!讓則臺位士多兩，n西方靜d月翁山寸BMMR*區(qū)3?心叫痔心【!|3聞黃

12、JI即* A僅花彖常用范數(shù)記為為的元素,常用的矩陣范數(shù)是IHIL =maxSM列范數(shù)a范數(shù))lJf7 J=lI乩二maxtM行范數(shù)(無窮范數(shù)) lf 工= x-OlAx-Qb =(Z Q l4卜+Q1= / - OA g = 0-Yb,x = Bx + g (2)xk) = Bx(k-l)g (3)迭代矩陣；求去=為先把方程寫成等價形式工=反+g,從而構造迭代序列了=放津川+g 其中,為事先給定（迭代初值）， B為迭代矩陣，迭代收斂定理；定理1將方程組為;8寫成迭代格式）二區(qū)產(chǎn)+ g （4）. 如果迭代矩陣B的某一種范數(shù)小丁1即忸|仁1 L 則對任給的初始向量”，由式（4）產(chǎn)生的迭代序列上閨

13、必收斂，且收斂方程匆Av二b的唯一解工；定理2 迭代格式/）-區(qū)產(chǎn)-，）十g收斂于小-b的解的充要條件是B的譜半徑仍） Jflh 馬.稱/y*處J為函初心淀點心吃的一階英商記為kn卜工一s額卜巧為通甄度點為的二階差奇， 演一黑一股地，時-7 上11=（-%）（方47中4乂 =5,、法偉經(jīng) 費依序了聲）他=。僧 （即做）徹如為僅）而強） 回耕為例）第在聞DbbJ上笏力-沅U次為攻忒.至海%&T上倘旌就粉，加網(wǎng)中明藝加T上優(yōu)格議儀也存 本把2杖仞fmw*欠老4葉綠）先為嗑五等如燃力，利多條泅電 桿僅并V叁A6%）3求非門“父喪麓隹不超m血源在計算機上求導：顯格式方法 推導顯格式方法求一階導數(shù)談我J

14、 一h幺同La，上加燈勺等62節(jié)九備h鼻M詢i菽二明 L泮例/也/你），室?i討雪衣由?口/*斛）處肺冽4認與杉心熬烽生巨嚇奇1蟲7%）比九為 a伙）二十附。丁依W”儂）+冬叼納+鏟/標 十之婚（七對葉 / 口玄）衣中沖知）今次=為十二久*卡上* 中樂T1箱，可加（） = 1除）十人/例*7*）4 &f7.葉右-標中G? 中加工加力-月飽1）寸初”例）1擰0十和哪十G）T式布 卡次件）一卡望H）=2&f 7俏）葉 七?k 令求通除 .叼侏）二增及曼十a(chǎn)）盍,做 包蕓姆坦,1川 0 .Tf動求我佯于導公大 要迷邊網(wǎng)星 BL_在S式計個/=。，儀=%+卻* *恤+A/厘，南_才仁十2五，=,依“公

15、丁%）寸蜉 *七）寸繆/%w十一tb 依十AJ=#t）十甲嫡十臺W帆4-冬代臉T 切 %ix17）喈 必到卜4伊加工一3）-列發(fā)，錯盾”旅葉： 令稿除U仿儀叫我f伙沒網(wǎng)5J電當南0 %也電在川或療雜1=1止療.療“耳,欠;也相 叫I銀ff六血嚶a ,貿(mào)內(nèi)）_ 事代并怖*?廿2s主建擊。優(yōu)叢如L第七章最小二乘法解矛盾方程組矛盾方程組的定義在實際問題中所歸結出來的數(shù)學模型，往往是一個“沒有解”的含n個未知數(shù)，m個方程的線性代數(shù)方程組，其中方程的個數(shù) m大大超過未知數(shù)的數(shù)目 n,稱這樣的方程組為矛盾方程組。求解方法期 I與先即布同*依硒.叫疝陜%n西飛四仁市魏 依云量力契期的獷希搞3 A1增肺,&名

16、心煉糕-切: 雁裾依跳, 於4陰爐邛卜力轅5二乘同是云夕加-即：=閡外心注亍祀蛆或&我才我似 呼 殳-乃坦呼.為宸-小 蛇何去且上$昱奮力力T拄遙名凡, 4 口前巾彳指m q才專如辨和力全自左於鉤組鼻t、匚安樸數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法擬合誤差的平方和鼠=九d 6上）拉酋伍才火A支今 而知者亡彳淞*摭弓涔言叱弗” it工99 ,、1/&） =若可擬合函數(shù)、擬合參數(shù). jl -一.一 - 當裝電被旃奐甘平如6,CfJ電版為僅宏龍我?” 5/才守槌0匕%）k二心/州s7dA今會委U= /儀 s淤拼強 毋ZM, k=/ .乙/翔w拉 公士漢、5&流力KA今爭余線性擬合公式、對數(shù)擬合公式、雙曲線擬合公式 推導各擬合曲線的法方程組C I）線性模型y =有正規(guī)方程Ifi.Matw MJWI*（其他的擬合公式可以用矛盾方程解法推導）第八章一階常微分方程的初值問題歐拉公式要求推導利用Taylort升式）為 ）+ 時（/）+ V%）圖