高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 第3章專題10 拋物線的焦點(diǎn)弦與其他幾何性質(zhì)?？碱}型專題練習(xí)

1、拋物線的焦點(diǎn)弦與其他幾何性質(zhì)考向一 拋物線的焦點(diǎn)弦1、（1）斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，則_；過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若，則_【答案】（1）10；（2）【解析】（1）設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),則對(duì)于拋物線x2=8y,焦點(diǎn)弦長因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2），所以直線AB的方程為將代入拋物線方程，得（2）設(shè)，顯然直線AB的斜率存在，設(shè)為將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y得，則因?yàn)椋?，方程即解得，?、過拋物線C:y2=4x焦點(diǎn)F的直線l交C于點(diǎn)A,B，若線段AB中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1，則|AB|= ?！敬鸢浮?【解析】拋物線C：y24

2、x，直線l過拋物線焦點(diǎn)F（1，0），直線l的方程為：xmy+1，則x=my+1y2=4x可得y24my40，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A（x1,y1）、B（x2,y2），線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1，可得4m2，解得m=12，所以y22y40的兩根滿足y1+y2=2，y1y2=-4，由弦長公式可得|AB|=1+14（y1+y2）2-4y1y2=5，3、過拋物線y28x的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|等于 ?！敬鸢浮?0【解析】由題拋物線y28x的焦點(diǎn)F(2,0)，p=4，設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)A(x1,y1),B(x2,y2), AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，即x1+x2

3、2=3x1+x2=6 拋物線的焦點(diǎn)弦：AB=x1+x2+p=10 4、過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)Px1,y1,Qx2,y2兩點(diǎn)，若x1+x2=6，則PQ中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為 ?！敬鸢浮?【解析】由拋物線的方程y2=4x可得p=2，故它的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得PQ的中點(diǎn)M（x1+x22,y1+y22），由于x1+x2=6，則M到準(zhǔn)線的距離為x1+x22+1=4.5、已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則的值等于（ ）ABCD【答案】D【解析】如下圖所示，分別過點(diǎn)、作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，則點(diǎn)為線段的中

4、點(diǎn)，由拋物線的定義可得，因此，.故選：D.6、直線y=kx-k與拋物線y2=4x交于A,B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_【答案】2【解析】試題分析：由題意得，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，且準(zhǔn)線方程為x=-1，直線y=kx-k=k(x-1)恰好經(jīng)過點(diǎn)F(1,0)，設(shè)直線y=kx-k與拋物線y27、設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)作軸的垂線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，若，則直線的方程為_【答案】【解析】拋物線方程為，拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)，因?yàn)樵诘谝幌笙蓿灾本€的斜率，設(shè)直線方程為，代入拋物線方程消去，得，過的中點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線與拋物線交于點(diǎn)

5、，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，得到，可得，解之得，所以，直線方程為，即,，故答案為.8、已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，是上一點(diǎn)， 是直線與的一個(gè)交點(diǎn)，若，則_.【答案】【解析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)與軸的交點(diǎn)為M，過Q向準(zhǔn)線，垂足是N，拋物線，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，9、（多選）已知拋物線上三點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則（ ）A拋物線的準(zhǔn)線方程為B，則，成等差數(shù)列C若，三點(diǎn)共線，則D若，則的中點(diǎn)到軸距離的最小值為2【答案】ABD【解析】把點(diǎn)代入拋物線 ，得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故 A 正確； 因?yàn)?，所以 ， ， ，又由 ，得， 所以 ，即 ， ， 成等差數(shù)列，故B正確； 因?yàn)锳，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，所以直線斜率 ，

6、即 ，所以 ，化簡得，故C 不正確； 設(shè)AC的中點(diǎn)為 ，因?yàn)?， ，所以，得 ， 即的中點(diǎn)到軸距離的最小值為2 ，故 D正確. 故選：ABD 10、已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線的斜率為且經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線交于點(diǎn)、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則以下結(jié)論正確的是（ ）ABCD【答案】ABC【解析】如下圖所示：分別過點(diǎn)、作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、.拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，軸，由拋物線的定義可知，則為等邊三角形，則，得，A選項(xiàng)正確；，又，為的中點(diǎn)，則，B選項(xiàng)正確；，（拋物線定義），C選項(xiàng)正確；，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.11、已知拋物線y2=

7、2px(p0)的準(zhǔn)線方程為x=-1.（）求p的值；（）直線l:y=x-1交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求弦長AB.【答案】（）2；（）8.【解析】（）依已知得p2=1，所以p=2；（）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由y=x-1y2=4x消去y，得x2-6x+1=0，則x1+x2=6，x1x2=1，所以AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =2(x1-x2)2=2(x1+x2)2-4x1x2 =232=8.12、已知直線l經(jīng)過拋物線y26x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)(1)若直線l的傾斜角為60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離【答案】（1）8 （2

8、）eq f(9,2) 【解析】(1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60，所以其斜率ktan 60eq r(3).又Feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0).所以直線l的方程為yeq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2).聯(lián)立eq blc(avs4alco1(y26x，,yr(3)blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)，)消去y，得x25xeq f(9,4)0.若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1x25，而|AB|AF|BF|eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(p,2)eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(p,

9、2)x1x2p.|AB|538.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知，|AB|AF|BF|x1eq f(p,2)x2eq f(p,2)x1x2px1x239，所以x1x26，于是線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，又準(zhǔn)線方程是xeq f(3,2)，所以M到準(zhǔn)線的距離等于3eq f(3,2)eq f(9,2).13、已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，過F且與x軸垂直的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，|AB|4（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)F的直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若OPQ的面積為4，求直線l的斜率（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）【答案】（1）y2=4x；（2）33.【解析】（1）由

10、拋物線的定義得A、B到準(zhǔn)線的距離都是p ，所以|AB|2p4，所以拋物線的方程為y24x（2）設(shè)直線l的方程為yk(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)因?yàn)橹本€l與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以k0，得x=yk+1，代入y24x，得y2-4yk-4=0，且=16k2+160恒成立，則y1+y2=4k，y1y2-4，所以|PQ|=1+1k2|y1-y2|=4(k2+1)k2又點(diǎn)O到直線l的距離d=|-k+0|k2+1=|k|k2+1，所以SOPQ=12|PQ|d=2k2+1|k|=4，解得k2=13，即k=33考向四 拋物線的性質(zhì)綜合1、（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為、準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于

11、兩點(diǎn)，點(diǎn)在上的射影為，則 （ ）A若，則B以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切C設(shè)，則D過點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?所以,則,故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,設(shè)為中點(diǎn),設(shè)點(diǎn)在上的射影為,點(diǎn)在上的射影為,則由梯形性質(zhì)可得,故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)?所以,故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,顯然直線,與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),設(shè)過的直線為,聯(lián)立,可得,令,則,所以直線與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)有三條直線符合題意,故D錯(cuò)誤；故選：ABC2、（多選）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則（ ）A以線段為直徑的圓與直線相離 B以線段為直徑的圓與軸相切C當(dāng)時(shí)，D的最小值為4【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，于是以線段為直徑的圓與直線一定相切，進(jìn)而與直線一定相離：對(duì)于選項(xiàng)B，顯然中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與不一定相等