高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(知識(shí)點(diǎn)歸納與總結(jié))直線的傾斜角與斜率直線的方程

1、eq avs4al(第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程)備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式2.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直3.掌握確定直線位置的幾何要素；掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式等)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.1.對(duì)直線的傾斜角和斜率概念的考查，很少單獨(dú)命題，但作為解析幾何的基礎(chǔ)，復(fù)習(xí)時(shí)要加深理解2.對(duì)兩條直線平行或垂直的考查，多與其他知識(shí)結(jié)合考查，如20XX年浙江T3等3.直線方程一直是高考考查的重點(diǎn)，且具有以下特點(diǎn)：(1)一般不單獨(dú)命題，考查形式多與其他知識(shí)結(jié)合，以選擇題為主(2)主要

2、是涉及直線方程和斜率.歸納知識(shí)整合1直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角一個(gè)前提：直線l與x軸相交；一個(gè)基準(zhǔn)：取x軸作為基準(zhǔn)；兩個(gè)方向：x軸正方向與直線l向上方向當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定：它的傾斜角為0.傾斜角的取值范圍為0，)(2)直線的斜率定義：若直線的傾斜角不是90，則斜率ktan_.計(jì)算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線不垂直于x軸，則keq f(y2y1,x2x1).探究1.直線的傾角越大，斜率k就越大，這種說法正確嗎？提示：這種說法不正確由ktan eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)知，當(dāng) eq blc(rc)(avs4alco1(0，

3、f(,2)時(shí)，越大，斜率越大且為正；當(dāng)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)時(shí)，越大，斜率也越大且為負(fù)但綜合起來說是錯(cuò)誤的2兩條直線的斜率與它們平行、垂直的關(guān)系探究2.兩條直線l1，l2垂直的充要條件是斜率之積為1，這句話正確嗎？提示：不正確，當(dāng)一條直線與x軸平行，另一條與y軸平行時(shí)，兩直線垂直，但一條直線斜率不存在3直線方程的幾種形式名稱條件方程適用范圍點(diǎn)斜式斜率k與點(diǎn)(x0，y0)yy0k(xx0)不含直線xx0斜截式斜率k與截距bykxb不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)eq f(f(yy1,y2y1),f(xx1,x2x1)不含直線xx1(x

4、1x2)和直線yy1(y1y2)截距式截距a與beq f(x,a)eq f(y,b)1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用探究3.過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線是否一定可用兩點(diǎn)式方程表示？提示：當(dāng)x1x2，或y1y2時(shí)，由兩點(diǎn)式方程知分母此時(shí)為零，所以不能用兩點(diǎn)式方程表示自測(cè)牛刀小試1(教材習(xí)題改編)若直線x2的傾斜角為，則()A等于0B等于eq f(,4)C等于eq f(,2) D不存在解析：選C因?yàn)橹本€x2垂直于x軸，故其傾斜角為eq f(,2).2(教材習(xí)題改編)過點(diǎn)M(2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則

5、m的值為()A1 B4C1或3 D1或4解析：選A由題意知，eq f(4m,m2)1，解得m1.3過兩點(diǎn)(0,3)，(2,1)的直線方程為()Axy30 Bxy30Cxy30 Dxy30解析：選B直線斜率為eq f(31,02)1，其方程為yx3，即xy30.4直線l的傾斜角為30，若直線l1l，則直線l1的斜率k1_；若直線l2l，則直線l2的斜率k2_.解析：l1l2，kl1tan 30eq f(r(3),3).l2l，kl2eq f(1,kl)eq r(3).答案：eq f(r(3),3)eq r(3)5已知A(3,5)，B(4,7)，C(1，x)三點(diǎn)共線，則x等于_解析：因?yàn)閗ABeq

6、 f(75,43)2，kACeq f(x5,13)eq f(x5,4).A，B，C三點(diǎn)共線，所以kABkAC，即eq f(x5,4)2，解得x3.答案：3直線的傾斜角和斜率例1(1)直線xsin y20的傾斜角的取值范圍是()A0，)B.eq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)C.eq blcrc(avs4alco1(0，f(,4) D.eq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)eq blcrc)(avs4alco1(f(,2)，)(2)已知兩點(diǎn)A(m，n)，B(n，m)(mn)，則直線AB的傾斜角為_；(3)直線l

7、過點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，eq r(3)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為_自主解答(1)設(shè)直線的傾斜角為，則有tan sin ，其中sin 1,1又0，)，所以0 eq f(,4)或eq f(3,4) 0，b0)則有eq f(3,a)eq f(2,b)1，且eq f(1,2)ab12.解得a6，b4.所以所求直線l的方程為eq f(x,6)eq f(y,4)1，即2x3y120.法二：設(shè)直線l的方程為y2k(x3)(k0；令y0，得x3eq f(2,k)0.所以SOABeq f(1,2)(23k)eq blc(rc)(avs4alco1(3f(2,k)12，

8、解得keq f(2,3)，故所求直線方程為y2eq f(2,3)(x3)，即2x3y120.答案(1)D(2)2x3y120求直線方程的常用方法(1)直接法：根據(jù)已知條件，選擇恰當(dāng)形式的直線方程，直接求出方程中系數(shù)，寫出直線方程(2)待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，最后代入求出直線方程5ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；(3)BC邊的垂直平分線DE的方程解：(1)因?yàn)橹本€BC經(jīng)過B(2,1)和C(2,3)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得BC的方程為eq f(y1

9、,31)eq f(x2,22)，即x2y40.(2)設(shè)BC中點(diǎn)D的坐標(biāo)(x，y)，則xeq f(22,2)0，yeq f(13,2)2.BC邊的中線AD過點(diǎn)A(3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)，由截距式得AD所在直線方程為eq f(x,3)eq f(y,2)1，即2x3y60.(3)BC的斜率k1eq f(1,2)，則BC的垂直平分線DE的斜率k22，由點(diǎn)斜式得直線DE的方程為y22(x0)，即2xy20.1個(gè)關(guān)系直線的傾斜角和斜率的關(guān)系(1)任何的直線都存在傾斜角，但并不是任意的直線都存在斜率(2)直線的傾斜角和斜率k之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：009090900不存在k03個(gè)注意點(diǎn)與直線方程的適用條件、截距

10、、斜率有關(guān)問題的注意點(diǎn)(1)明確直線方程各種形式的適用條件點(diǎn)斜式斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點(diǎn)式方程不能表示垂直于x、y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線在應(yīng)用時(shí)要結(jié)合題意選擇合適的形式，在無(wú)特殊要求下一般化為一般式(2)截距不是距離，距離是非負(fù)值，而截距可正可負(fù)，可為零，在與截距有關(guān)的問題中，要注意討論截距是否為零(3)求直線方程時(shí)，若不能斷定直線是否具有斜率時(shí)，應(yīng)注意分類討論，即應(yīng)對(duì)斜率存在與否加以討論. 易誤警示有關(guān)直線方程中“極端”情況的易誤點(diǎn)典例(2013常州模擬)過點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為_解析當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)所求直線方

11、程為eq f(x,a)eq f(y,a)1，即xya0.點(diǎn)P(2,3)在直線l上，23a0，a1，所求直線l的方程為xy10.當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)所求直線方程為ykx，則有32k，即keq f(3,2)，此時(shí)直線l的方程為yeq f(3,2)x，即3x2y0.綜上，直線l的方程為xy10或3x2y0.答案xy10或3x2y0eq avs4al(易誤辨析)1因忽略截距為“0”的情況，導(dǎo)致求解時(shí)漏掉直線方程3x2y0而致錯(cuò)，所以可以借助幾何法先判斷，再求解，避免漏解2在選用直線方程時(shí)，常易忽視的情況還有：(1)選用點(diǎn)斜式與斜截式時(shí)忽視斜率不存在的情況；(2)選用兩點(diǎn)式方程時(shí)忽視與x軸垂直的情況及與y軸

12、垂直的情況eq avs4al(變式訓(xùn)練)已知直線l過(2,1)，(m,3)兩點(diǎn)，則直線l的方程為_解析：當(dāng)m2時(shí)，直線l的方程為x2；當(dāng)m2時(shí)，直線l的方程為eq f(y1,31)eq f(x2,m2)，即2x(m2)ym60.因?yàn)閙2時(shí)，方程2x(m2)ym60，即為x2，所以直線l的方程為2x(m2)ym60.答案：2x(m2)ym60一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1(2013秦皇島模擬)直線xeq r(3)y10的傾斜角是()A.eq f(,6)B.eq f(,3)C.eq f(2,3) D.eq f(5,6)解析：選D由直線的方程得直線的斜率為keq f(r(3),

13、3)，設(shè)傾斜角為，則tan eq f(r(3),3)，所以eq f(5,6).2已知點(diǎn)A(1，2)，B(m,2)，且線段AB垂直平分線的方程是x2y20，則實(shí)數(shù)m的值是()A2 B7C3 D1解析：選C由已知kAB2，即eq f(4,m1)2，解得m3.3若直線經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則這樣的直線共有()A4條 B3條C2條 D1條解析：選B作圖易得在第一、二、四象限各能圍成一個(gè)4(2013銀川模擬)已知直線l1：xay60和l2：(a2)x3y2a0，則l1l2的充要條件是a等于()A3 B1C1 D3或1解析：選C由題意知，l1l2eq f(1,a2)eq f

14、(a,3)eq f(6,2a)，即a1.5直線2xmy13m0，當(dāng)m變化時(shí)，所有直線都過定點(diǎn)()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，3) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，3)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，3) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，3)解析：選D原方程可化為(2x1)m(y3)0，令eq blcrc (avs4alco1(2x10，,y30，)解得xeq f(1,2)，y3，故所有直線都過定點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，3).6設(shè)a，b，c分別是A

15、BC中角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線xsin Aayc0與直線bxysin Bsin C0的位置關(guān)系是()A平行 B重合C垂直 D相交但不垂直解析：選C由已知得a0，sin B0，所以兩條直線的斜率分別為k1eq f(sin A,a)，k2eq f(b,sin B)，由正弦定理得k1k2eq f(sin A,a)eq f(b,sin B)1，所以兩條直線垂直二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7若直線l的斜率為k，傾斜角為，而eq blcrc)(avs4alco1(f(,6)，f(,4)eq blcrc)(avs4alco1(f(2,3)，)，則k的取值范圍是_解析：當(dāng)eq b

16、lcrc)(avs4alco1(f(,6)，f(,4)時(shí)，ktan eq blcrc)(avs4alco1(f(r(3),3)，1)；當(dāng)eq blcrc)(avs4alco1(f(2,3)，)時(shí)，ktan eq r(3)，0)綜上keq r(3)，0)eq blcrc)(avs4alco1(f(r(3),3)，1).答案：eq r(3)，0)eq blcrc)(avs4alco1(f(r(3),3)，1)8已知直線xky10與直線ykx1平行，則k的值為_解析：若兩直線平行，則keq f(1,k)，解得k1.答案：19(2013皖南八校聯(lián)考)已知直線a2xy20與直線bx(a21)y10互相垂

17、直，則|ab|的最小值為_解析：兩直線互相垂直，a2b(a21)0且a0，a2ba21，abeq f(a21,a)aeq f(1,a)，|ab|eq blc|rc|(avs4alco1(af(1,a)|a|eq f(1,|a|)2(當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)取等號(hào))答案：2三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10設(shè)直線l的方程為xmy2m60，根據(jù)下列條件分別確定m的值：(1)直線l的斜率為1；(2)直線l在x軸上的截距為3.解：(1)因?yàn)橹本€l的斜率存在，所以m0，于是直線l的方程可化為yeq f(1,m)xeq f(2m6,m).由題意得eq f(1,m)1，解得m1.(2)法一：令y

18、0，得x2m6.由題意得2m63，解得meq f(3,2).法二：直線l的方程可化為xmy2m6.由題意得2m63，解得meq f(3,2).11已知兩點(diǎn)A(1,2)，B(m,3)(1)求直線AB的方程；(2)已知實(shí)數(shù)meq blcrc(avs4alco1(f(r(3),3)1，r(3)1)，求直線AB的傾斜角的取值范圍解：(1)當(dāng)m1時(shí)，直線AB的方程為x1，當(dāng)m1時(shí)，直線AB的方程為y2eq f(1,m1)(x1)(2)當(dāng)m1時(shí)，eq f(,2).當(dāng)m1時(shí)，m1eq blcrc)(avs4alco1(f(r(3),3)，0)eq blc(rc(avs4alco1(0，r(3)，即keq f

19、(1,m1)(，eq r(3) eq blcrc)(avs4alco1(f(r(3),3)，)，所以eq blcrc)(avs4alco1(f(,6)，f(,2)eq blc(rc(avs4alco1(f(,2)，f(2,3).綜合知，直線AB的傾斜角的取值范圍為eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(2,3).12如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45和30角，過點(diǎn)P(1,0)作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線yeq f(1,2)x上時(shí)，求直線AB的方程解：由題意可得kOAtan 451，kOBtan(18030)eq f(r(3),3)，所

20、以直線lOA：yx，lOB：yeq f(r(3),3)x.設(shè)A(m，m)，B(eq r(3)n，n)，所以AB的中點(diǎn)Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(mr(3)n,2)，f(mn,2)，由點(diǎn)C在yeq f(1,2)x上，且A，P，B三點(diǎn)共線得eq blcrc (avs4alco1(f(mn,2)f(1,2)f(mr(3)n,2)，,f(m0,m1)f(n0,r(3)n1)，)解得meq r(3)，所以A(eq r(3)， eq r(3)又P(1,0)，所以kABkAPeq f(r(3),r(3)1)eq f(3r(3),2).所以lAB：yeq f(3r(3),2)(x1)，即直

21、線AB的方程為(3eq r(3)x2y3eq r(3)0.1直線l過點(diǎn)(1,2)且與直線3y2x1垂直，則l的方程是()A3x2y10B3x2y70C2x3y50 D2x3y80解析：選A法一：設(shè)所求直線l的方程為3x2yC0，則3(1)22C0，得C1，即l的方程為3x2y10.法二：由題意知，l的斜率是keq f(3,2)，則直線l的方程為y2eq f(3,2)(x1)，即3x2y10.2直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(3,3)，則其斜率的取值范圍是()A1k1或keq f(1,5)或keq f(1,2)或k1解析：選D設(shè)直線的斜率為k，則直線方程為y2k(x1)，令y0，得直線l在x軸上的截距為1eq f(2,k)，則31eq f(2,k)eq f(1,2)或k0，b0)，則直線l的方程為eq f(x,a)eq f(y,b)1，l過點(diǎn)P(3,2)，eq f(3,a)eq f(2,b)1，beq f(2a,a3).從而SABOeq f(1,2)abeq f(1,2)aeq f(2a,a3)eq f(a2,a3).故有SABOeq f(a326a39,a3)(a3)eq f(9,a3)62 eq r(a3f(9,a3)612，當(dāng)且僅當(dāng)a3eq f(9,a3)，即a6時(shí)，(SABO)min12，此時(shí)beq f(26,63)4.故所求直線