中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：例說(shuō)因式分解的妙用

1、例說(shuō)因式分解的妙用 因式分解是初中代數(shù)中的重要內(nèi)容，它在計(jì)算、化簡(jiǎn)、求值等方面有著廣泛的應(yīng)用，本文舉例說(shuō)明因式分解在解題中的妙用 一、用于計(jì)算或化簡(jiǎn) 例1 計(jì)算： 分析 用因式分解中的平方差公式，將原式進(jìn)行變形，使計(jì)算簡(jiǎn)便 解 原式例2 化簡(jiǎn)： 分析 直接將分母進(jìn)行有理化，則計(jì)算比較煩瑣，考慮到分子可因式分解，即 說(shuō)明 例1若想直接將式子的各因式計(jì)算出后再求整個(gè)式子的積，則計(jì)算就顯得十分繁瑣，而通過(guò)分解因式則使問(wèn)題變得簡(jiǎn)捷；例2主要是用公式法把分子進(jìn)行因式分解，達(dá)到使問(wèn)題簡(jiǎn)單化的目的 二、用于求代數(shù)式的值 例3 已知a、b、c都是正整數(shù)，且滿足關(guān)系式acabcb21，求abc的值 分析 從已知

2、條件中直接求出a、b、c的值有一定難度，不妨可先將關(guān)系式的左邊進(jìn)行因式分解變形 解 acabcba(c1)b(c1)(ab)(c1)， (ab)(c1)21 a、b、c都是正整數(shù)， ab與c1均大于1， (ab)(c1)不可能是121的形式， 只能是(ab)(c1)37 又由于3與7都是質(zhì)數(shù)， 只有ab7，c13， 或ab3，c17這兩種情況，而無(wú)論哪種情況都有 abc9 說(shuō)明 這里不必把a(bǔ)、b、c的具體數(shù)值求出來(lái)，而是通過(guò)因式的分解求出ab與c1的值，從而求出abc的值 三、用于確定字母的值 例4 已知多項(xiàng)式x4ax3bx16能同時(shí)被x2和x1整除，求a、b的值 分析 已知多項(xiàng)式同時(shí)被x2和

3、x1整除，根據(jù)整除性可知，此多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解必有x2和x1這兩個(gè)因式 解 依題意，可設(shè) x4ax3bx16A(x1)(x2)， 其中A為整式， 把x1代入得 1ab160 即ab15； 把x2代入得 168a2b160 即4ab0 由、解得a3，b12 說(shuō)明 此例的關(guān)鍵是由整除性可知x2和x1都是多項(xiàng)式的一個(gè)因式；再根據(jù)因式分解是恒等變形，通過(guò)取x的特殊值，求得a、b的值 四、用于判別三角形形狀 例5 已知，a、b、c是ABC的三邊，當(dāng)b22abc22ac時(shí)，判斷ABC的形狀 分析 a、b、c為三角形的三邊的長(zhǎng)，所以a、b、c都是大于0的數(shù) 解 由b22abc22ac，得 b22aba2c22aca2 (ab)2(ac)2 a、b、c0，abac， ab,即ABC為等腰三角形 說(shuō)明 此題是利用因式分解將等式變形，得到三角形三邊的關(guān)系，從而