2022-2023學(xué)年廣東省梅州市興福中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

1、2022-2023學(xué)年廣東省梅州市興福中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（ ）A、 B、 C、 D、參考答案：B2. 已知雙曲線的漸近線方程為y=x，焦點坐標(biāo)為（，0），（，0），則雙曲線方程為（）A=1B=1C=1D=1參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】設(shè)雙曲線的方程是，即又焦點坐標(biāo)為（，0），（，0），故+2=6，由此可知=2，代入可得答案【解答】解：雙曲線的漸近線方程為y=x，設(shè)雙曲線的方程是，即又焦點

2、坐標(biāo)為（，0），（，0），故+2=6，=2，雙曲線方程為=1故選：C【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，正確設(shè)出方程是關(guān)鍵3. 已知等比數(shù)列的各項都為正數(shù), 且成等差數(shù)列, 則的值是（ ）A B. C. D.參考答案：A4. 設(shè)集合,則A B C D參考答案：A5. 設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2x+a，（a0）, 若f（m）0, 則f（m1）的值為（ ）A正數(shù) B負(fù)數(shù) C非負(fù)數(shù) D正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能參考答案：A略6. 已知函數(shù)，有下列四個命題：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；函數(shù)f（x）在（，0）（0，+）是單調(diào)函數(shù)；當(dāng)x0時，函數(shù)f（x）0恒成立；當(dāng)x0時，函數(shù)f（x）有一個零點，其中正確的個數(shù)是（）

3、A1B2C3D4參考答案：B【考點】3E：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；3K：函數(shù)奇偶性的判斷【分析】根據(jù)f（x）+f（x）0，判斷f（x）不是奇函數(shù)；根據(jù)x0時f（x）=x2，利用導(dǎo)數(shù)判斷x（0，+）時f（x）不是單調(diào)函數(shù)；由知x=x0時f（x）在（0，+）上取得最小值，求證f（x0）0即可；由根的存在性定理得出f（x）在區(qū)間（1，）內(nèi)有一個零點【解答】解：對于，函數(shù)的定義域是（，0）（0，+），任取定義域內(nèi)的x，有f（x）=x2+，且f（x）+f（x）=2x20，f（x）不是奇函數(shù)，錯誤；對于，函數(shù)f（x）=，當(dāng)x0時，f（x）=x2，f（x）=2x=，令h（x）=2x31+lnx，則h（1）=

4、10，h（）=ln0；存在x0（，1），使h（x0）=0；x（0，x0）時，f（x）0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)；x（x0，+）時，f（x）0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)，錯誤；對于，由知，當(dāng)x=x0時，f（x）在（0，+）上有最小值，且2+lnx01=0，=2，則x=x0時，y=3，由x01，得1，31，則3=0，x0時，f（x）0恒成立，正確；對于，當(dāng)x0時，f（x）=x2+，且f（1）=10，f（）=e0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，）內(nèi)有一個零點，正確；綜上，正確的命題是故選：B7. 已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則= ( ) A4 B6 C8 D10參考答案：B略8. 下列命題正確的有 用

5、相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，越小，說明模型的擬合效果越好； 命題:“”的否定:“”； 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(0, 1),若，則； 回歸直線一定過樣本點的中心（）。A1個B. 2個 C. 3個 D. 4個參考答案：C略9. 如圖在正方體ABCDA1B1C1D1中，P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動點，PM垂直AD于M，PM=PB，則點P的軌跡為（）A線段B橢圓一部分C拋物線一部分D雙曲線一部分參考答案：C【分析】平面里一點到定點的距離和到定直線距離相等，可得P的軌跡是拋物線【解答】解：PM垂直AD于M，PM=PB，P到點B的距離等于P到直線AD的距離，點P的軌跡為拋物線一部分，故選C【點評】本題主

6、要考查拋物線定義，要求掌握拋物線的定義和性質(zhì)，能夠從立體幾何轉(zhuǎn)化成圓錐曲線問題10. 設(shè)表示三條直線，表示兩個平面，則下列命題中不正確的是（ ） A B C D 參考答案：D對于選項D,可能還有或者與相交，所以D不正確。二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 則 .參考答案：912. 已知為上的偶函數(shù)，對任意都有且當(dāng)， 時，有成立，給出四個命題： 直線是函數(shù)的圖像的一條對稱軸 函數(shù)在上為增函數(shù) 函數(shù)在上有四個零點其中所有正確命題的序號為_.參考答案：略13. 若直線與圓相切，且圓心C在直線l的上方，則ab的最大值為_參考答案：25/4 14. 已知雙曲線的兩條漸近線均與相切，

7、則該雙曲線離心率等于 參考答案：15. 設(shè)動點在棱長為1的正方體的對角線上，記。當(dāng)為鈍角時，則的取值范圍是 。參考答案：由題設(shè)可知，以、為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則有，則，得，所以，顯然不是平角，所以為鈍角等價于，即，即，解得，因此的取值范圍是。16. 已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，則= 。參考答案：217. 已知sin3cos=0，則 。參考答案：略三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 如圖，在正四面體ABCD中，O是BCD的中心，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的動點，且=，=（1）（1）若OE平面ACD，求實數(shù)的值；（2）若=，正

8、四面體ABCD的棱長為2，求平面DEF和平面BCD所成的角余弦值參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定【分析】（1）取CD的中點G，連接BG、AG，推導(dǎo)出點O在BG上，且，當(dāng)OEAG時，OE平面ACD，從而=，由此能求出結(jié)果（2）當(dāng)時，點E、F分別是AB、AC的中點以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，利用向量法能求出平面DEF和平面BCD所成的角的余弦值【解答】解：（1）取CD的中點G，連接BG、AG，O是正BCD的中心，點O在BG上，且，當(dāng)OEAG時，OE平面ACD，BE=，即=，=，（2）當(dāng)時，點E、F分別是AB、AC的中點以O(shè)為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

9、Oxyz，依題設(shè)OB=2，則B（0，2，0），A（0，0，2），C（），D（），E（0，1，），F(xiàn)（），則=（），=（），設(shè)平面DEF的法向量為=（x，y，z），則，令z=1，則=（，1），又平面BCD的一個法向量為=（0，0，1）設(shè)所求二面角為，則cos=平面DEF和平面BCD所成的角的余弦值為19. .定義函數(shù)，為型函數(shù)，共中（1）若是型函數(shù)，求函數(shù)的值域；（2）若是型函數(shù)，求函極值點個數(shù)；（3）若是型函數(shù)，在上有三點A、B、C橫坐標(biāo)分別為、，其中，試判斷直線AB的斜率與直線BC的斜率的大小并說明理由參考答案：（1）；（2）1個；（3）見解析.【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)求出其單調(diào)性，結(jié)合端

10、點值求出值域；（2）先求導(dǎo)令導(dǎo)數(shù)等于0，求極值點個數(shù)只需判斷導(dǎo)數(shù)零點的個數(shù)，化簡整理后得，將導(dǎo)數(shù)零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，利用圖像觀察求出交點個數(shù)；（3）先求導(dǎo)再進(jìn)行二階求導(dǎo)，利用二階導(dǎo)數(shù)研究一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性與范圍，再得出原函數(shù)的單調(diào)性，因為二階導(dǎo)數(shù)小于0，所以函數(shù)是三凸的單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像很容易得出兩直線斜率的關(guān)系.【詳解】解：（1）因為，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增當(dāng)時，單調(diào)遞減又因為，所以函數(shù)的值域為（2）因為，所以，當(dāng)時，結(jié)合函數(shù)圖像易知與在上有且只有一個交點當(dāng)，時，當(dāng)時，當(dāng)時，且當(dāng)時，當(dāng) 時，函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng) 時，函數(shù)單調(diào)遞減所以函數(shù)只有一個極大值點，極值點個數(shù)為1個（3）因為，所以

11、所以所以在上單調(diào)遞減，且，所以構(gòu)造函數(shù)則記,則當(dāng)時，單調(diào)遞增當(dāng)時，單調(diào)遞減又因為，所以，所以所以在和上單調(diào)遞減因為所以所以所以直線AB的斜率大于直線BC的斜率【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值，遇到一階導(dǎo)數(shù)等于0不好解時，常繼續(xù)進(jìn)行二階求導(dǎo)，在解題的過程中多結(jié)合函數(shù)簡圖可以更加形象直觀.20. 已知曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為=2（）分別寫出C1的普通方程，C2的直角坐標(biāo)方程（）已知M、N分別為曲線C1的上、下頂點，點P為曲線C2上任意一點，求|PM|+|PN|的最大值參考答案：考點：參數(shù)方程化成

12、普通方程 專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程分析：（1）根據(jù)題意和平方關(guān)系求出曲線C1的普通方程，由2=x2+y2和題意求出C2的直角坐標(biāo)方程；（2）法一：求出曲線C2參數(shù)方程，設(shè)P點的參數(shù)坐標(biāo)，求出點M、N的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求出|PM|+|PN|并化簡，再化簡（|PM|+|PN|）2，利用正弦函數(shù)的最值求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值；法二：設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y），則x2+y2=4，求出點M、N的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求出|PM|+|PN|并化簡，再化簡（|PM|+|PN|）2，再求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值解

13、答：解：（1）因為曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線C1的普通方程為，由曲線C2的極坐標(biāo)方程為=2得，曲線C2的普通方程為x2+y2=4；（2）法一：由曲線C2：x2+y2=4，可得其參數(shù)方程為，所以P點坐標(biāo)為（2cos，2sin），由題意可知M（0，），N（0，）因此|PM|+|PN|=+則（|PM|+|PN|）2=14+2所以當(dāng)sin=0時，（|PM|+|PN|）2有最大值28，因此|PM|+|PN|的最大值為法二：設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y），則x2+y2=4，由題意可知M（0，），N（0，）因此|PM|+|PN|=+=+則（|PM|+|PN|）2=14+2所以當(dāng)y=0時，（|PM|+|

14、PN|）2有最大值28，因此|PM|+|PN|的最大值為點評：本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，兩點間的距離公式，以及求最值問題，考查化簡、計算能力21. （本題滿分12分）敘述并證明余弦定理.參考答案：解：余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦之積的兩倍。或：在ABC中，a,b,c為A,B,C的對邊，有 (4分) 證法一 如圖 即 同理可證 （12分） 證法二 已知ABC中A,B,C所對邊分別為a,b,c,以A為原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則, 同理可證 22. 如圖，橢圓：（）和圓：，已知圓將橢圓的長軸三等分，橢圓右焦點到右準(zhǔn)線的距離為，橢圓的下頂點為，過坐標(biāo)原點且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線與圓相交于點、（1）求橢圓的方程；（2）若直線、分別與橢圓相交于另一個交點為點、.求證：直線經(jīng)過一定點；試問：是否存在以為圓心，為半徑的圓，使得直線和直線都與圓相交？若存在，請求出所有的值；若不存在，請說明理由。參考答案：（1）依題意，則，又，則，橢圓方程為4分（2）由題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，則：，由得或，6分用去代，得，方法1：，：，即，直線經(jīng)過定點方法2：作