柱錐臺的側面展開與面積-完整版PPT

1、7簡單幾何體的再認識7.1柱、錐、臺的側面展開與面積問題引航1.柱、錐、臺的側面展開圖分別是什么？2.柱、錐、臺的側面積公式是什么？公式具有什么特點？簡單幾何體的側面積幾何體側面展開圖側面積公式圓柱S圓柱側=_r為底面半徑l為_圓錐S圓錐側=_r為底面半徑l為_2rl側面母線長rl側面母線長幾何體側面展開圖側面積公式圓臺S圓臺側=_r1為上底面半徑r2為下底面半徑l為_直棱柱S直棱柱側=_c為底面_h為_(r1+r2)l側面母線長ch周長高幾何體側面展開圖側面積公式正棱錐S正棱錐側=c為底面_h為_，即側面等腰三角形的高正棱臺S正棱臺側=c為上底面_c為下底面_h為_，即側面等腰梯形的高周長斜

2、高周長周長斜高1.判一判(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)棱臺的側面展開圖是由若干個等腰梯形組成的.()(2)圓臺的高就是相應母線的長.()(3)斜三棱柱的側面積也可以用cl來求解，其中l(wèi)為側棱長，c為底面周長.()【解析】(1)錯誤.棱臺的側面展開圖是由若干個梯形組成的，不一定是等腰梯形.(2)錯誤.圓臺的高是指兩個底面之間的距離.(3)錯誤.斜三棱柱的側面積可以一個面一個面地求，然后將各面面積相加，也可作出側棱的垂面，用截得的垂面的周長與側棱的積求，S側cl.答案：(1)(2)(3)2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)已知圓柱軸截面為邊長為1的正方形，則其側面積為_.(2)正四面

3、體的棱長為1，則其側面積為_.(3)圓錐的底面圓半徑是3，圓錐的高是4，則圓錐的側面積是_.【解析】(1)圓柱底面半徑為 ，母線長為1，故其側面積S=2rl=.答案：(2)正四面體四個面是全等的等邊三角形，其側面積為S=3答案： (3)圓錐的母線長為 =5，其側面積為35=15.答案：15【要點探究】知識點 旋轉體與多面體的側面積1.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖的特征(1)圓柱的側面展開圖是矩形，矩形的長是底面圓的周長，寬是圓柱的母線長.(2)圓錐的側面展開圖是扇形，扇形的半徑是圓錐的母線長，弧長是圓錐的底面圓的周長.(3)圓臺的側面展開圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長分別為上底面圓和下底面圓的周長

4、.2.圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式間的關系S圓柱側=2rl S圓臺側=(r+r)l S圓錐側=rl.3.正棱柱、正棱錐、正棱臺及其側面積公式之間的關系(1)正棱柱和正棱錐都可以看作是由正棱臺變化而成的幾何體.(2)正棱柱可以看作是上下底面全等的正棱臺，正棱錐可以看作是上底面縮小成一個點的正棱臺.(3)它們的側面積公式都可以看作是由正棱臺的側面積公式演變而來的.4.旋轉體和多面體側面積的聯(lián)系(1)圓柱、圓錐和圓臺可看成是直棱柱、正棱錐和正棱臺的特征表現(xiàn)，它們的母線相當于直棱柱的側棱、正棱錐和正棱臺的斜高.(2)在求旋轉體和多面體的側面積時都需要作出其對應的軸截面圖形，便于尋找各個量之間的關系，應

5、用平面知識解決相關問題.【知識拓展】圓臺側面積公式的推導如圖所示：所以所以S圓臺側=S大圓錐側-S小圓錐側=r2(x+l)-r1x=r2l+x(r2-r1)=r2l+r1l=(r1+r2)l.【微思考】(1)圓錐的軸截面中，母線、底面圓半徑、圓錐的高有何關系？提示：母線、底面圓半徑、圓錐的高構成直角三角形，滿足勾股定理.(2)求圓柱、圓錐、圓臺的側面積、表面積時，要求的關鍵量是什么？提示：求圓柱、圓錐的側面積、表面積時，關鍵是求其母線長與底面的半徑；求圓臺的側面積、表面積時，關鍵是求其母線長與上、下底面的半徑.(3)棱柱的側面積一定等于底面周長和側棱長的乘積嗎？提示：棱柱的側面積不一定等于底面

6、周長和側棱長的乘積，只有直棱柱的側面積等于底面周長與側棱長的乘積.【即時練】1.圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則其表面積為_.【解析】根據軸截面是邊長為2的正方形，可知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，所以其表面積為212+212=6.答案：62.正四棱錐的底面邊長與斜高都是2，則其側面積為_.【解析】S側=4 22=8.答案：83.如圖，圓臺的上底半徑為3cm，下底半徑為6 cm，母線長為6 cm，則圓臺的側面積為_.【解析】S側=(3+6)6=54(cm2).答案：54cm2【題型示范】類型一 旋轉體的側面積(表面積)及其應用【典例1】(1)圓柱的側面展開圖是兩邊長分別為6和4的矩形，則圓

7、柱的表面積為()A.6(4+3)B.8(3+1)C.6(4+3)或8(3+1)D.6(4+1)或8(3+2)(2)(2014淮北高一檢測)圓錐的中截面把圓錐側面分成兩部分，則這兩部分側面積的比為()A.11B.12C.13D.14(3)若圓臺的上下底面半徑分別是1和3，它的側面積是兩底面面積和的2倍，則圓臺的母線長是_.【解題探究】1.題(1)中的6和4哪個指的是圓柱的底面周長？2.題(2)中圓錐的中截面半徑與底面半徑的比為多少？與兩圓錐的高的比相等嗎？母線長的比呢？3.題(3)中圓臺的母線長與側面積之間有什么關系？【探究提示】1.圓柱的側面展開圖是矩形，所以側面母線長是側面展開圖的高.條件中

8、沒有明確指出矩形的高，所以應有兩種可能.2.它們的比都是12.3.母線長=【自主解答】(1)選C.圓柱的側面積S側=64=242.以邊長為6的邊為母線時，4為圓柱底面周長，則2r=4，即r=2，所以S底=4，S表=S側+2S底=242+8=8(3+1).以邊長為4的邊為母線時，6為圓柱底面周長，則2r=6，即r=3，所以S底=9，所以S表=S側+2S底=242+18=6(4+3).(2)選C.如圖所示，PB為圓錐的母線，O1，O2分別為截面與底面的圓心.因為O1為PO2的中點，所以所以PA=AB，O2B=2O1A.又因為S圓錐側=O1APA，S圓臺側=(O1A+O2B)AB，則(3)因為S側=

9、(r1+r2)l=2(r12+r22)=2(+9)=20，所以l= 答案：5【方法技巧】1.求圓柱的側面積和表面積的方法(1)由圓柱的側面積公式可知，要求側面積，必須已知(或能求出)它的底面圓的半徑和它的母線長.(2)圓柱的表面積等于側面積加底面圓面積的2倍.2.圓臺側面積公式的應用在圓臺側面積公式中涉及側面積、上、下底面圓的半徑和母線長四個量，在這四個量中可知三求一.3.求圓錐側面積的方法要求圓錐的側面積，必須已知(或能求出)它的底面圓的半徑和它的母線長，在求解時往往和側面展開圖，扇形的面積公式及弧長公式聯(lián)系在一起.4.圓錐平行于底面的截面的性質圓錐的平行于底面的截面半徑為r，原底面半徑為R

10、，則截得小圓錐的高與原來圓錐的高的比為 ，截得小圓錐的側面積與原來圓錐的側面積的比為 .【變式訓練】一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，這個圓柱的底面半徑和高的比是_.【解析】設底面半徑為r，那么底面周長為2r，因為圓柱的底面周長等于圓柱的高，圓柱的底面半徑圓柱的高=r2r =12.答案：12【補償訓練】若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為 ，則這個圓錐的側面積是()A.2 B. C.6 D.9【解析】選A.由題意，母線長l=2，底面半徑為1，所以側面積為12=2.類型二 多面體的側面積(表面積)及其應用【典例2】(1)(2014駐馬店高一檢測)如圖為一個幾何體的三視圖，其中俯視圖為正三角形

11、，A1B1=2，AA1=4，則該幾何體的表面積為_.(2)已知正三棱錐V-ABC的主視圖，俯視圖如圖所示，其中VA=4，AC=2 ，則該三棱錐的側面積為_.【解題探究】1.題(1)中三視圖表示的幾何體是什么？2.題(2)中所給的兩個數(shù)據分別是正三棱錐的什么？如何由它們確定各側面的面積？【探究提示】1.該幾何體是一個正三棱柱，底面邊長為2，高是4.2.兩個數(shù)據實質是正三棱錐的側棱長和底面邊長，由此側面等腰三角形的三邊確定了，進而可求各個側面的面積.【自主解答】(1)由三視圖可知，該幾何體是一個正三棱柱，底面邊長為2，高是4.所以該三棱柱的表面積為2 22+324=2 +24.答案：2 +24(2

12、)由主視圖與俯視圖可得正三棱錐的直觀圖，如圖，且VA=VB=VC=4，ABBCAC2 ，取BC的中點D，連接VD，則VD所以三棱錐V-ABC的側面積為3SVBC 答案：【延伸探究】題（2）中，正三棱錐的表面積是多少？【解析】SABC三棱錐V-ABC的表面積為3SVBC+SABC【方法技巧】1.由三視圖求幾何體的表面積的步驟(1)畫：由三視圖還原為直觀圖，即畫出物體的直觀圖.(2)標：結合三視圖的特征，標明直觀圖中的相關量及線線之間的位置關系.(垂直、平行)(3)算：根據直觀圖計算相應的量.(如表面積、側面積)2.多面體的表面積的求解方法(1)棱錐、棱臺的表面積為其側面積與底面積之和，底面積根據

13、平面幾何知識求解，求側面積的關鍵是求斜高和底面邊長.(2)斜高、側棱及其在底面的射影與高、底面邊長等，往往可以構成直角三角形(或梯形)，利用好這些直角三角形(或梯形)是解題的關鍵.【變式訓練】(2014亳州高一檢測)正三棱錐S-ABC的側面積是底面積的2倍，它的高SO=3，求此正三棱錐的側面積.【解題指南】在高、斜高構成的直角三角形中應用勾股定理，求出底面邊長和斜高，從而求其側面積.【解析】設正三棱錐底面邊長為a，斜高為h，如圖所示，過O作OEAB，連接SE，則SEAB，且SE=h，因為S側=2S底，所以 3ah= a22.所以a= h.因為SOOE，所以SO2+OE2=SE2.所以32+ =

14、h2.所以h=2 .所以a= h=6.所以S底= a2= 62=9 .所以S側=2S底=18 .【補償訓練】已知一正三棱臺ABC-A1B1C1的兩底面邊長分別為30cm和20 cm，且其側面積等于兩底面面積的和，求棱臺的高.【解析】如圖，在正三棱臺ABC-A1B1C1中，O，O1為兩底面中心，D，D1是BC，B1C1的中點，則DD1為棱臺的斜高.由A1B1=20，AB=30，得OD=5 ，O1D1= ，由S側=S上+S下得 (60+90)DD1= (202+302).所以DD1在直角梯形O1ODD1中，即棱臺的高為 cm.類型三 組合體的側面積(表面積)【典例3】(1)(2014北京高一檢測)

15、某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A.180 B.240 C.276 D.300(2)已知梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AD=a，BC=2a，DCB=60，在平面ABCD內，過C作lCB，以l為軸將梯形ABCD旋轉一周，則旋轉體的表面積為_.【解題探究】1.題(1)中由三視圖考慮原幾何體是什么？2.題(2)中以l為軸旋轉ABCD一周得到的幾何體是什么？【探究提示】1.由三視圖可以看出該幾何體的上面為四棱錐，下面為正方體.2.旋轉一周后得到的幾何體是一個底面半徑為2a的圓柱挖去一個等高的底面半徑為a的圓錐.【自主解答】(1)選B.由三視圖可知，該幾何體的下面部分是棱

16、長為6的正方體.上部分為四棱錐.四棱錐的底面為正方形，邊長為6，側面三角形的斜高為5.所以該幾何體的表面積為625+ 654=240.(2)如圖所示，該幾何體是由一個圓柱中挖去一個圓錐構成的.在直角梯形ABCD中，AD=a，BC=2a，AB=(2a-a)tan 60= a，DC= =2a，又DD=DC=2a，則S表=S圓柱全+S圓錐側-S圓錐底=22a a+2(2a)2+a2a-a2=(9+4 )a2.答案：(9+4 )a2【方法技巧】1.求組合體的表面積的三個基本步驟(1)要弄清楚它是由哪些基本幾何體構成的，組成形式是什么.(2)根據組合體的組成形式設計計算思路.(3)根據公式計算求值.2.

17、求組合體的表面積的解題策略(1)對于由基本幾何體拼接成的組合體，要注意拼接面重合對組合體表面積的影響.(2)對于從基本幾何體中切掉或挖掉的部分構成的組合體，要注意新產生的截面和原幾何體表面的變化.【變式訓練】(2014成都高二檢測)已知ABC的三邊長分別是AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，求所得旋轉體的表面積.【解析】如圖，在ABC中，過C作CDAB，垂足為D.由AC=3，BC=4，AB=5，知AC2+BC2=AB2，則ACBC.所以BCAC=ABCD，所以CD= ，記為r= ，那么ABC以AB為軸旋轉所得旋轉體是兩個同底的圓錐，且底面半徑r= ，母線長分別

18、是AC=3，BC=4，所以S表面積=r(AC+BC)= (3+4)= .【補償訓練】一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_.【解析】由三視圖可知，該幾何體為一個長方體中挖去一個圓柱構成.其中長方體的長、寬、高為4，3，1，圓柱的底面圓的半徑為1，高為1.長方體的表面積S1=2(43+41+31)=38；圓柱的側面積S2=211=2；圓柱的上下底面面積S3=212=2.故該幾何體的表面積S=S1+S2-S3=38.答案：38【易錯誤區(qū)】由三視圖誤判幾何體的形狀求表面積時致誤【典例】(2014佛山高一檢測)某幾何體的三視圖如圖(其中左視圖中的圓弧是半圓)，則該幾何體的表面積為()A.92+14B.112+14C.92+24D.112+24【解析】選A.由幾何體的三視圖，知該幾何體的下半部分是長方體，上半部分是半徑為2，高為5的圓柱的一半.長方體中的EH=4，HG=4，GK=5，所以長方體的表面積為(去掉一個上面)2（44+45）+45=92.半圓柱的兩個底面積為22=4，半圓柱的側面積為25=10，所以整個組合體的表面積為92+4+10=92+14.【常見誤區(qū)】錯解錯因剖析選C在處判斷幾何體的