電磁場(chǎng)理論第八周課件

1、ReviewThe method of separation of variables: we look for solutions that are products of functions, each of which depends on only one of the coordinates (separable solutions). The partial differential equation is changed into an ordinary differential equation; Boundary conditions are also separated;B

2、y solving the so called eigen-value problem, the eigen-value, eigen-function and the eigen-solution are obtained;1ReviewBased on the linearity of the PDE, a solution of the series form can be got. The eigen-solutions are complete and orthogonal with each other, so the undetermined coefficients in th

3、e series can be evaluated.Tips : typical boundary conditions and the corresponding solutions should be memorized. (periodic, independent of one coordinate, homogeneous boundary condition, bounded and unbounded areas)2ReviewBoundary value problems: Dirichlet problem, Neumann problem, Robbin problem.

4、(Dirichlet, Neumann and Robin boundary conditions )The theorem of uniqueness: if the solution to the above mentioned boundary value problems exists, then it is unique. The importance of the theorem.The method of images: planar surface between dielectric and conductor. 3ReviewThe method of imagesCyli

5、ndrical surface between a conductor and a dielectric : position of the image, line charge density of the image; Spherical surface between a conductor and a dielectric: position and charge of the image;Planar surface between two dielectrics: electric medium, magnetic medium. 4ReviewThe method of sepa

6、ration of variables for the cylindrical coordinate system.Focus should be on the two dimensional planar static field.Boundary conditions represented by the potential functions: 5電磁場(chǎng)理論第八周講稿4.3 直角坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法4.4 圓柱坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法4.5 球坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法 *4.6 函數(shù) 作業(yè)：4.7,4.10,4.11 4.15 4.16 4.18； 4.25 4.27 4.28； 64.3 直角

7、坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法1、調(diào)和函數(shù)及場(chǎng)的疊加原理 2、直角坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法 例題71、調(diào)和函數(shù)及場(chǎng)的疊加原理靜態(tài)場(chǎng)的基本向題都可以歸結(jié)為求勢(shì)的泊松方程或拉普拉斯方程滿足一定邊界條件的解。待求勢(shì)函數(shù)必須既要滿足拉普拉斯方程，同時(shí)也要滿足給定場(chǎng)域的邊界條件。 泊松方程與拉普拉斯方程解的關(guān)系跟非齊次常微分方程與齊次常微分方程的解類似，即泊松方程的解是拉普拉斯方程的通解再加上泊松方程的任一特解。81、調(diào)和函數(shù)及場(chǎng)的疊加原理拉普拉斯方程可有很多個(gè)解。這些解稱為調(diào)和函數(shù)。它們的線性組合也是拉普拉斯方程的解。 求解拉普拉斯方程的過程中，要充分利用方程解的疊加原理，從而簡(jiǎn)化計(jì)算難度。92、直角坐標(biāo)系內(nèi)的分離

8、變量法分離變量法是一種求解拉普拉斯方程的重要解析方法。采用分離變量法，要求選擇適當(dāng)?shù)恼磺€坐標(biāo)系，使問題給定的邊界面和一個(gè)或幾個(gè)坐標(biāo)面或與其平行的面相重合，這樣可使變量分離，從而將偏微分方程簡(jiǎn)化為常微分方程。102、直角坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法在直角坐標(biāo)系內(nèi)，電勢(shì)的拉普拉斯方程為：采用分離變量法，設(shè)勢(shì)函數(shù)具有如下的形式：112、直角坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法將上式代入 拉普拉斯方程，并整理有： 上式已將變量分離，因此式中每一項(xiàng)都只是一個(gè)變量的函數(shù)。要使上式對(duì)所有的 都成立，每一項(xiàng)都必須等于一個(gè)常數(shù)，故有122、直角坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法、稱為分離常數(shù)，具體由邊界條件來確定，他們滿足：132、直角坐標(biāo)系內(nèi)

9、的分離變量法這樣，拉普拉斯方程經(jīng)過分離變量后變成了三個(gè)很容易求解的常微分方程。這三個(gè)方程解的形式與分離常數(shù) 有關(guān)。當(dāng) 等于0：對(duì)應(yīng)的函數(shù)為線性函數(shù)；大于0：對(duì)應(yīng)的函數(shù)為三角函數(shù)；小于0：對(duì)應(yīng)的函數(shù)為指數(shù)函數(shù)或雙曲正弦 （余弦）函數(shù)； 142、直角坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法通常是根據(jù)所給邊界條件先確定出其中兩個(gè)函數(shù)的形式及其相應(yīng)的兩個(gè)分離常數(shù)，再由分離常數(shù)之間的關(guān)系式得出剩余的一個(gè)分離常數(shù)，于是可得待求勢(shì)函數(shù)的通解。若某些坐標(biāo)平面上，邊界條件是周期的，則其解應(yīng)選三角函數(shù)，相應(yīng)的分離常數(shù)為大于零；若某些坐標(biāo)平面上，邊界條件是非周期的，則解應(yīng)選雙曲函數(shù)（有界區(qū)域的解）或遞減的指數(shù)函數(shù)（無(wú)界區(qū)域的解），相應(yīng)

10、的分離常數(shù)小于零；152、直角坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法若勢(shì)函數(shù)與某一變量無(wú)關(guān)，則其解為常數(shù)，相應(yīng)的分離常數(shù)為零。若某些坐標(biāo)平面上，邊界條件是齊次的，則其解應(yīng)選三角函數(shù)，相應(yīng)的分離常數(shù)為大于零；（四種情況？）162、直角坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法在很多情況下，為滿足給定的邊界條件，分離常數(shù)往往需要取一系列的值（本征值），每一個(gè)值對(duì)應(yīng)一組特解（本征函數(shù)）。所以這時(shí)拉普拉斯方程的通解將是一個(gè)級(jí)數(shù)解。直角坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法適用于矩形域、半無(wú)限長(zhǎng)矩形域等的二維場(chǎng)或三維場(chǎng)問題。17例題1試求下圖所示的半無(wú)限長(zhǎng)帶形區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)分布。 xyO00af(x)(x,y)18半無(wú)限長(zhǎng)帶形區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)分布是一個(gè)與z無(wú)關(guān)的二維

11、場(chǎng)問題，故拉普拉斯方程為采用分離變量由于時(shí)應(yīng)該是三角函數(shù)的組合。？即于是：所以：由于：故：19由于：故：故：綜合上述情況：待定。由于：所以有：易得：20如果為一個(gè)常數(shù)，則，只有時(shí)，上述系數(shù)才不為0，此時(shí)，有：區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)為：21例題1的擴(kuò)展22例題1的擴(kuò)展xyO00a0(x,y)g(x)xyO00af(x)(x,y)g(x)xyO00af(x)(x,y)g(x)xyO00af(x)(x,y)g(x)xyO00af(x)(x,y)g(x)23例題1的擴(kuò)展xyO= 1 2af(x)(x,y)g(x)xyO= 1 2a0(x,y)0 xyO= 0 0af(x)(x,y)g(x)24例題2設(shè)在y=0的

12、平面上的電勢(shì)是如圖所示的方波，且與z無(wú)關(guān)。試求空間任一點(diǎn)的電勢(shì)。 xa2aO-a-2a0(x)00 xyO(x,y)25首先用傅立葉級(jí)數(shù)表示出邊界上的電勢(shì)。在 處， 其中：因此，邊界條件用傅立葉級(jí)數(shù)表示的形式為26由于勢(shì)函數(shù)不依賴于z，故其拉普拉斯方程為時(shí)并且：時(shí)，設(shè)：則根據(jù)邊界條件， 應(yīng)是三角函數(shù)的組合：于是，有：27在 的區(qū)域，當(dāng) 時(shí)， 則 ；當(dāng) 時(shí)， ，則 ，并有 因此，在 的區(qū)域，有：同理，在 的區(qū)域，有：28例題3 試求如圖所示的長(zhǎng)方體內(nèi)的電勢(shì)分布。設(shè)邊界條件為：除 和 外，其它各表面的電勢(shì)均為零。 xyzbac(x,y)=0=029應(yīng)用分離變量法解此題，令 。為滿足 時(shí) 的邊界條件

13、， 必須選擇 形式的解，其中 是正整數(shù)， ，于是 的一般解為同理，根據(jù)y方向的邊界條件，可以得到Y(jié)的表達(dá)式為：由：得：30于是：其中：為了滿足 的邊界條件， 必須選擇于是：31待求的勢(shì)函數(shù)為：其中，待定，可以由來確定。即，其中，32利用傅立葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)，可以得到：故：令 取不同的函數(shù)，即可針對(duì)不同情況進(jìn)行討論。具體略。例題333 4.4 圓柱坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法1、圓柱坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法 2、二維平行平面場(chǎng)的邊值問題 例題3、三維場(chǎng)的邊值問題341、圓柱坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法拉普拉斯方程的柱坐標(biāo)表示形式為：也就是：不妨設(shè)勢(shì)函數(shù)有如下的形式，代入上述方程，并化簡(jiǎn)得：351、圓柱坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量

14、對(duì)于二維平行平面場(chǎng)，電勢(shì)函數(shù)與z無(wú)關(guān)，因此，拉普拉斯方程可以簡(jiǎn)化為如下的形式對(duì)于一般情況下三維的情況，則必須考慮z的關(guān)系。下面分別針對(duì)這兩種情況進(jìn)行討論。362、二維平行平面場(chǎng)的邊值問題可見已將變量分離，因?yàn)樯鲜街星皟身?xiàng)僅是r的函數(shù)，最后二項(xiàng)僅是 的函數(shù)，因此，要使上式對(duì)所有的r、 都成立，每一部分必須等于一個(gè)常數(shù)。為使表達(dá)式不出現(xiàn)根號(hào)，令分離常數(shù)為 ，則有對(duì)于二維場(chǎng)，根據(jù)前面的描述，應(yīng)該有：372、二維平行平面場(chǎng)的邊值問題即：（歐拉型方程）其解分別為：于是：n=0?382、二維平行平面場(chǎng)的邊值問題對(duì)于一般的二維場(chǎng)，由于勢(shì)函數(shù)的單值性要求，即待求的解對(duì) 呈現(xiàn)周期性， ， 故 必為一系列正整數(shù)，

15、因而可有無(wú)限個(gè)特解。它們的線形組合也滿足拉普拉斯方程。因此，二維拉普拉斯方程的通解為其中 、 、 、 均為由邊界條件確定的常數(shù)。注意：當(dāng)n=0時(shí)，通解中還應(yīng)該包含39例題1 在介電常數(shù)為 的無(wú)限大介質(zhì)中存在電場(chǎng)強(qiáng)度 ，垂直于電場(chǎng)方向放置一根半徑為 的無(wú)限長(zhǎng)直介質(zhì)圓柱體，其介電常數(shù)為 ，試求介質(zhì)圓柱體內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度。 xyOE0P(r, )40觀察并分析得知，上述勢(shì)函數(shù)應(yīng)該具有以下的形式：另外，外電場(chǎng)的電勢(shì)可表示為設(shè)圓柱外部和內(nèi)部的電勢(shì)分別為 、 ， 當(dāng)時(shí)可以得到：41對(duì)比系數(shù)，可知，n=1,且于是： 當(dāng)r=a時(shí) 與 ，同理可得 中的n=1，且因r=0時(shí)勢(shì)函數(shù)為有限值，故有代入r=a時(shí)的邊界條件

16、42因此，介質(zhì)圓柱體外、內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為于是，電場(chǎng)強(qiáng)度為：43事實(shí)上，E2還可以表示為：當(dāng)介質(zhì)柱外為空氣時(shí)，即 討論：若：相當(dāng)于在介質(zhì)內(nèi)有長(zhǎng)圓柱形空腔 44例題2空氣中有一磁導(dǎo)率為 、內(nèi)外半徑分別為 、 的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)磁圓管，置于均勻外磁場(chǎng) 中，且其軸線與 垂直。試求管內(nèi)外的磁場(chǎng)強(qiáng)度，并討論導(dǎo)磁管的磁屏蔽作用。 xyOH0P(r, )45磁標(biāo)勢(shì)為：外磁場(chǎng)的磁標(biāo)勢(shì)當(dāng)則比較得46 由 得 中 則 再由 和 有限得 中 且為由和得47和聯(lián)解上面四式，并注意 得48故得49和因則可見導(dǎo)磁圓筒的軸心部分與外場(chǎng)同方向的均勻場(chǎng)。磁屏蔽系數(shù)為因此，相對(duì)磁導(dǎo)率越大，圓筒壁越厚，磁屏蔽作越好。503、三維場(chǎng)的邊值問

17、題式中第二項(xiàng)僅是 的函數(shù)，此使上式對(duì)任何 、 、z值都成立，第二項(xiàng)必須等于一個(gè)常數(shù)，并同樣使之為 ，則有513、三維場(chǎng)的邊值問題因此：后一個(gè)方程已將變量分離，令分離常數(shù)為 對(duì)第一個(gè)方程，其解為：523、三維場(chǎng)的邊值問題上式即為二維場(chǎng)的情景令于是，并且：（實(shí)際上，還應(yīng)包括Z為線性函數(shù)的情況）533、三維場(chǎng)的邊值問題令代入上式，并化簡(jiǎn)，得：也即：上式稱為n階貝塞爾方程，其解為其中 稱為貝塞爾函數(shù)或第一類貝塞爾函數(shù)， 稱為諾依曼函數(shù)或第二類貝塞爾函數(shù)。 543、三維場(chǎng)的邊值問題553、三維場(chǎng)的邊值問題563、三維場(chǎng)的邊值問題綜合上述內(nèi)容，可知?jiǎng)莺瘮?shù)可以表示為：仿照上述過程，容易得到：對(duì)方程 、 、

18、、 、 、 均為待定常數(shù)。 令則：573、三維場(chǎng)的邊值問題即：也滿足貝塞爾方程。于是：因此，待求勢(shì)函數(shù)為 其中 和 稱為第一類和第二類變態(tài)貝塞爾函數(shù)，或第一類和第二類虛宗量貝塞爾函 583、三維場(chǎng)的邊值問題593、三維場(chǎng)的邊值問題603、三維場(chǎng)的邊值問題對(duì)于圓柱坐標(biāo)系內(nèi)的邊值問題，角向總是三角函數(shù)。對(duì)于與z無(wú)關(guān)的二維場(chǎng)，徑向是歐拉方程的解，若含柱軸(r = 0)在內(nèi)的問題，則無(wú) r 的負(fù)冪次項(xiàng)。對(duì)徑向?yàn)辇R次邊界條件(kz為虛數(shù))時(shí)，徑向是貝塞爾函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)r 0時(shí)諾伊曼函數(shù)趨于負(fù)無(wú)窮大，所以若含柱軸(r = 0)在內(nèi)的問題，則無(wú)諾伊曼函數(shù) ；613、三維場(chǎng)的邊值問題如果縱向?yàn)橛薪鐓^(qū)，其解是雙曲

19、函數(shù)，若縱向?yàn)闊o(wú)界區(qū)，其解為衰減的指數(shù)函數(shù)。對(duì)于徑向?yàn)榉驱R次邊值條件(kz為實(shí)數(shù))時(shí)，徑向是變態(tài)的貝塞爾函數(shù)，由于當(dāng)r = 0時(shí)第二類變態(tài)貝塞爾函數(shù)Kn趨于無(wú)窮大，因此若含柱軸(r = 0)在內(nèi)的問題，則無(wú)第二類變態(tài)貝塞爾函數(shù) Kn(kzr)；縱向是三角函數(shù)。注意，當(dāng)邊值條件疊加時(shí)，其對(duì)應(yīng)的解亦疊加。62例題63求導(dǎo)體圓筒內(nèi)的電勢(shì)分布因問題與 無(wú)關(guān)，故電勢(shì)的拉普拉斯方程為令得64則得和令 有這是零階貝塞爾方程，因含柱軸，故有65當(dāng) 則得由 有利用公式 66貝塞爾函數(shù)的正交性則由 有67同理得則68故若69若 求導(dǎo)體圓筒內(nèi)的電勢(shì)令代入得70則有得和令因含柱軸故71因 得故由 有得72故求導(dǎo)體圓筒

20、內(nèi)電勢(shì)上述兩種情況的疊加。只有 時(shí) 73只有 時(shí)故74 4.5 球坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法1、球坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法 2、二維軸對(duì)稱場(chǎng)的邊值問題 例題3、三維場(chǎng)的邊值問題751、球坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法 在球坐標(biāo)系內(nèi)，拉普拉斯方程可表示為采用分離變量法，令代入上式并整理得：761、球坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法上式中最后一項(xiàng)僅是 的函數(shù)，前兩項(xiàng)僅是 、 的函數(shù)，要使上式對(duì)所有的 、 、 都成立，必有其解為：由于勢(shì)函數(shù)必須是單值的，即 ，故m必為正整數(shù)（勢(shì)函數(shù)周期函數(shù)）或零（勢(shì)函數(shù)為常數(shù)）。 771、球坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法同時(shí)，應(yīng)該有：可見，上式中第一項(xiàng)僅為 的函數(shù)，而后兩項(xiàng)僅為 的函數(shù)，故已將變量分離。設(shè)分

21、離常數(shù)為 ，則于是有：781、球坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法以及：對(duì)上述方程，令則：帶入化簡(jiǎn)：即：791、球坐標(biāo)系內(nèi)的分離變量法也就是：下面分別考慮m等于零（勢(shì)函數(shù)成軸對(duì)稱，與 無(wú)關(guān)；）和不等于零兩種情況考慮（一般情況）。802、二維軸對(duì)稱場(chǎng)的邊值問題 對(duì)方程若m0，則：上式稱為勒讓德方程。它具有冪級(jí)數(shù)解。如令812、二維軸對(duì)稱場(chǎng)的邊值問題則冪級(jí)數(shù)為一個(gè)n次多項(xiàng)式，稱為勒讓德多項(xiàng)式。它可以表示為這時(shí)勒讓德方程在區(qū)間 上有唯一有界解 ， 為常數(shù)。但若 ，勒讓德方程在此區(qū)間上沒有有界解。綜合考慮，則顯然 應(yīng)選擇前一種情況。在場(chǎng)區(qū)包含z軸的情況下尤其如此。822、二維軸對(duì)稱場(chǎng)的邊值問題832、二維軸對(duì)稱場(chǎng)的

22、邊值問題此時(shí)：化為：為一歐拉型方程，其解為：842、二維軸對(duì)稱場(chǎng)的邊值問題因此，軸對(duì)稱（二維場(chǎng)）的待求函數(shù)為85例題1在無(wú)限大的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)內(nèi)存在電場(chǎng)強(qiáng)度 ，有一半徑為a的介質(zhì)球置于其中，其介電常數(shù)為 ，試求介質(zhì)球內(nèi)外的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度。 xyzOP(r,)86如圖建立坐標(biāo)系，則勢(shì)函數(shù)應(yīng)有如下的形式：均勻外電場(chǎng)的電勢(shì)可表示為比較上式兩端，得n=1, 于是，球外的勢(shì)函數(shù)為：87考慮r=a處的邊界條件以及內(nèi)部勢(shì)函數(shù)值應(yīng)有限，可以得到球內(nèi)的勢(shì)函數(shù)為：再加上：r=a處：于是：88因此，介質(zhì)球外、內(nèi)的電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度分別為89例題2半徑為 的導(dǎo)體球置于外電場(chǎng) 中，球外為空氣。試求球外的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度及球面上的電荷面密度（設(shè)導(dǎo)體球電勢(shì)為零）。xyzOP(r,)90例題2因問題與方位角無(wú)關(guān), 故球外電勢(shì)仍為外場(chǎng)的電勢(shì)91例題2由 得比較上式兩端，得則當(dāng) 得92例題2故此解可由上題 得到。球面上的感應(yīng)