(必考題)高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)選修4第一章《不等關(guān)系與基本不等式》檢測(cè)題

1、n n 2 4 2 ， 8 ， 8 ， 8 8 n n 2 4 2 ， 8 ， 8 ， 8 8 一、選題1已知函數(shù)f 1x , 2 時(shí)，設(shè) f 的最大值為 的最小值為（ ）ABC122已知 ， 2 ab ， 的最小值（ ）A B C523若a ，則 ， ， ， a b 按由小到大的順序排列為（ ）Ab b a b B a a b aa b b aa bC b a a b 4等差數(shù)列a 的 n 項(xiàng)和 S ， S 6S 21，則 的取值范圍為（ ）A 47 B23 ，8 8C 5已知 y a ， log x log a a，則有（ ）A B C m 6若12 ， 0 ，則下列不等式不成的（ ）Al

2、og a B log c b aC ab a7設(shè) x ， f 12 的最大值為（ ）A 22B 4 C不存在528若 a、，R，則下面四個(gè)命題中，正確的命題是（ ）A若 a，則 B ，則 cC ab， acbc2 b，則 9若a b BabC 1 1a b10 x y 則下列關(guān)系正確的是 A Bax C aalog x a a11知 a，列命題正確的( A若 a，則|a|B ，1 1a bC|a|，則 b12出以下四個(gè)命題：（ ） ， 2b若 ，則1 1a b； 若 ac22， ab； 若 ， ab；若 ，則ab2.其中正確的( )A B C D二、填題13圾分類可以提高垃圾資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值

3、，具有社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等幾方面的效 益，某地街道呈現(xiàn)東 西南 北的網(wǎng)格狀，相鄰街距都為 1，兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，若以互相垂直的兩條街道為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(diǎn)(，(2,1) ， ， ( ， ， 為圾回收點(diǎn)，請(qǐng)確定一個(gè)格點(diǎn)（除回收點(diǎn)外） _為圾集中回收站，使這 6 個(gè)收點(diǎn)沿街道到回收站之間路程的和最短14f ( x) ，若不等式f a 2 a對(duì)任意實(shí)數(shù) 恒立則 取值集合是_.15存在實(shí)數(shù) ( a 0)滿足不等式2ax 2a a ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是_16知 c ，設(shè)S a b a ，則與 的小系是_用等號(hào)連接已知f ( ) x x （x 小值為 ，則實(shí)數(shù) _. x 218知

4、 y，則x 1xy的最小值為19函數(shù)f ( x | ( a ) 當(dāng) 時(shí)，記f ( x )的最大值為M , b)，則M ( , b)的最小值為20函數(shù)f ( x ) | ( a 0) ， ，則 a 的取值范圍是_.三、解題21后兩次購買同一種物，可采取兩種不同的方式，第一種是不考慮物品價(jià)格的升 降，每次購買該物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購買該物品所花 的錢數(shù)一定甲乙二人先后兩次結(jié)伴購買同一種物品，其中甲在兩次購物時(shí)采用第一種方Q Q 式，乙在兩次購物時(shí)采用第二種方已第一次購物時(shí)該物品單價(jià)為 ，二次購物時(shí)該物品單價(jià)為 （ 2）甲次購物的平均價(jià)格記為 ，兩次購物的平均價(jià)格記為1

5、Q.2（） Q ， 的達(dá)式（用 1 ， 2表示）；（）過比較 Q ， 的大小，說明哪種購物方式比較劃.1 22知函數(shù)f ( x) x ，x .（）不等式f ( ) ；（）f ( x )的最小值為 M ，若實(shí)數(shù) 滿足 aM ，證明：1 2 a 2 3.23修 4-5不等式選講已知函數(shù)f .（）不等式f ；（）知 ,求證： , f 恒成立24知函數(shù)f （） 時(shí)，求不等式f的解集；（）f 的解集包含，求實(shí)數(shù) 的值范圍25知函數(shù)f 1 1 4 ， M 為等式f 的解集（） M ；（）明：當(dāng) ， b 時(shí) ab 26知函數(shù)f （）不等式f 的解集；（）x f 對(duì)任意的 0 恒立，求實(shí)數(shù) 的最大值【參考答案

6、】*試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要除一選題1解析： 【分析】考慮x 12， 的數(shù)值的范圍，運(yùn)用絕對(duì)值等式的性質(zhì)，即可得到所求最小值【詳解】函數(shù)f 1x ，當(dāng) x , 2 時(shí) f ( x ) 的最大值為M ( , b )，可得 ) f 2 1 ， ( , ) ( a 2 ， ( a ) f a ，可得 2 ( a ) 3, ) M ( a,2 1 1 1 2 4b b 3 3 6 3 3 32 1 1 1 2 4 a 3 3 6 3 3 3 ，即2 M 1 ，即有 M a , ，則 ( a ) 的小值為 ，2 4 4故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是理解到最大值的含義，熟練掌握絕對(duì)值的三角不等 2C

7、解析：【分析】令z ，得a ，代入 2ab ，簡后利用判別式列不等式，解不等式求得 a 的最小值 【詳解】令 a ， a ，代入 ab a 并化簡，關(guān)于 的一元二次方程有正解所以首先，即，由于 , 是正實(shí)數(shù)，所以2 ， ，也即 的最小值為 . 此時(shí)對(duì)稱軸 2 1 2 2 ，所以關(guān)于 的元二次方程b有正解，符合題意.故選：【點(diǎn)睛】本小題主要考查判別式法求最值，考查一元二次不等式的解法，屬于中檔. 3A 解析：【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，利用怍差法求. 【詳解】 bm ab a a a ，因?yàn)閍 ，所以所以 b b a ， b ，2bn bm 2 am nm 因?yàn)樗运詀 ，b ，a ， ab b

8、n b ，因?yàn)閍 0, n ，所以所以 a ab b，所以b a a b 。故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔. 4B解析：【分析】首先設(shè)公差為 d ，由題中的條件可得 a 和15 21 2 2 ，利用待定系 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 數(shù)法可得a 21 12a a 4 ，結(jié)合所求的范圍及不等式的性質(zhì)可得23 8 8【詳解】.設(shè)公差為 d，由 2，得 1 ，即 a 2；同理由 4可得15 a 2 .故可設(shè)a x 2 2 ，所以有a y 2 ，所以有y x y ，解得x ，即1 a a

9、4 4，因?yàn)? 1 3 15 212 ， 4 2 8 .所以 1 1 2 a ， 8 8 8.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)及等差數(shù)列的運(yùn)算，利用不等式求解范圍時(shí)注意放縮的尺度， 運(yùn)算次數(shù)越少，范圍越準(zhǔn).5D解析：【分析】首先根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到 loga，再由不等式的性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得.【詳解】解：由題意得m log，0 ， 0 xy 2， log a .故選： 【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，屬于中檔.6B解析：【分析】根據(jù)冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即 【詳解】對(duì)于 A當(dāng)12 ， ，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知， a

10、 ，故 2 2 2 2 正確；對(duì)于 ：12 ，0 ，設(shè)函數(shù) log 為減函數(shù)，則log a log b c ，所以log b a，因12 ， log 與 b log cb a無法比較大小，故 B 不正確；對(duì)于 ：當(dāng)12 ， ， c ，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，bc ac ，將不等式 bc ac 兩邊同乘 ，得 ab，故 C 正確；對(duì)于 ：當(dāng)12 ， ，由不等式的基本性質(zhì)知， a，故 正確.故選 B【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ) 7D解析：【分析】化簡得到f x x 1 2 2 x，再利用均值不等式計(jì)算得到答.【詳解】f 2 x x 5 4 3 2 x 當(dāng)

11、x x 1 2 2 即x 時(shí)等號(hào)成立故選： 【點(diǎn)睛】本題考查了利用均值不等式求函數(shù)最值，意在考查學(xué)生對(duì)于均值不等式的靈活運(yùn) 8B解析：【分析】對(duì)于 A，C， 舉例即可判斷，對(duì)于 B ，據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷【詳解】解：對(duì)于 A ，例如 ， b ， c ，則不足，故 錯(cuò)，對(duì)于 ， ， ，則 ，成立，故 正，對(duì)于 C 若 c，則不成立，故 C 錯(cuò)誤，對(duì)于 ，例如 ， ， c 故選： ， D ，則不滿足，故 錯(cuò)，【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)的簡單應(yīng)用，要注意不等式應(yīng)用條件的判斷，屬于基礎(chǔ) 9A解析：【解析】【分析】對(duì)于 A，用不等的性質(zhì)可以論證，對(duì)于 B，舉反例，可以判斷【詳解】 a， |a，

12、 b， b， |，故結(jié)論 A 成； 取 a，1則 1 ， B 不確； 2， ， ， C 不正確； 1 1 ， b b， D 不確故選：【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用不等式的性質(zhì)，對(duì)于不正確結(jié)論，列舉反例 10解析：【分析】由冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì)判斷即.【詳解】A.xy，由冪函數(shù)y 當(dāng) 函數(shù)在上單調(diào)遞減，可知 A 錯(cuò)誤；由x ，由不等式的性質(zhì)可得 ay ，故 錯(cuò)誤；由指數(shù)函數(shù)y x當(dāng)0 函數(shù)在上單調(diào)遞減，可知 正；由對(duì)函數(shù)y logx當(dāng)0 函數(shù)在上單調(diào)遞減，可知 D 錯(cuò)誤.故選 C 【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì)，

13、屬基礎(chǔ)11解析：【解析】【分析】對(duì)于錯(cuò)誤的情況，只需舉出反例，而對(duì)于 C， 需應(yīng)用同向正的不等式兩邊平方后不等號(hào) 方向不變這一結(jié)論【詳解】A錯(cuò)誤，比如 ，便得不到3 ；B誤，比如 ，便得不到；C誤，比如3 ，得不到 32 ；確， ， 0 ，據(jù)不等式的性質(zhì)即可得到 a故選： 【點(diǎn)睛】考查若 ，對(duì)，b求絕對(duì)值或求倒數(shù)其不等號(hào)方向不能確定，而只有對(duì)于同向正的或非負(fù)的不等式兩邊同時(shí)平方后不等號(hào)方向不變12解析：【解析】分析：根據(jù)不等式的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷，注意結(jié)合特值法求.詳解：若a 0 ,1 1a b成立，錯(cuò)； ac 2 ， a ，正確； 若 a b 成立，則 成正；若a ， a 立，則 a22不成立

14、，錯(cuò)，正確的命題故選 B.點(diǎn)睛：本題考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，要求熟練掌握不等式性質(zhì)成立的條件，同時(shí)注意運(yùn) 用特值法判斷，屬于簡單.二、填題13【分析】首先表示橫軸和縱軸方向的距離和再根據(jù)含絕對(duì)值三角不等式求 最值【詳解】設(shè)格點(diǎn)的坐標(biāo)為則根據(jù)含絕對(duì)值三角式可知橫軸方向距離和此時(shí) 的最小值是 14 此時(shí)三個(gè)等號(hào)成立的條件是所以時(shí)的最小值是縱軸方向的距解析： 【分析】首先表示橫軸和縱軸方向的距離和，再根據(jù)含絕對(duì)值三角不等式求最. 【詳解】設(shè)格點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，則 x ，1 6，根據(jù)含絕對(duì)值三角式a b a 可知橫軸方向距離和 x x x ， a a a a ，此時(shí)d 的最小值是 14此時(shí)三個(gè)等號(hào)成立的條

15、件是 ，所以 2時(shí)， d 的最小值是14，縱軸方向的距離和d y ， 此時(shí) 的最小值是 ，三個(gè)等號(hào)成立的條件是 y ，即 或 ， 當(dāng) y 時(shí)，此時(shí)格點(diǎn)位置是 點(diǎn)舍去，所以 y ，時(shí)格點(diǎn)坐標(biāo)是 故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是具有實(shí)際應(yīng)用背景的習(xí)題，本題的關(guān)鍵是正確理解題意，并能轉(zhuǎn)化為 橫軸距離和縱軸距離，利用含絕對(duì)值三角不等式求最.14【解析】【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為分別在的情況下討論得到的最大值從而 可得；分別在的情況去絕對(duì)值得到不等式解不等式求得結(jié)果【詳解】對(duì)任意實(shí) 數(shù)恒成立等價(jià)于：時(shí)當(dāng)時(shí)時(shí)時(shí)綜上可知：即當(dāng)時(shí)解得：當(dāng)時(shí)解析：【解析】【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為 f ，分別在 a 12、a 12

16、 的情況下討論得到 的最大值，從而可得f；分別在x 2、2 【詳解】、 的情況去絕對(duì)值得到不等式，解不等式求得結(jié). a 對(duì)任意實(shí)數(shù) 恒成立等價(jià)于： 2 f 當(dāng) 時(shí)， a a2a 2 當(dāng) 時(shí)， 2 a 當(dāng) 12時(shí)， a a當(dāng) 12時(shí)， a 2a 2 綜上可知： 當(dāng) x 時(shí)，f ，解得： 當(dāng)2 時(shí)，f ，無解當(dāng) x 3時(shí)，f ，解得： 的取值集合為：本題正確結(jié)果；【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式中的恒成立問題，關(guān)鍵是能夠通過分類討論的思想求得最值，從而 將問題轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值不等式的求解，再利用分類討論的思想解絕對(duì)值不等式即可得到結(jié). 15【解析】分析：通過原式變形求出的最小值即可詳解：由題可得：故答案

17、為點(diǎn)睛：本題考查了絕對(duì)值不等式問題考查三角不等式最值的應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想是 一道中檔題解析：【解析】分析：通過原式變形求出詳解：由題可得： a 的最小值即可. 2 1 1 2 a x 故答案為 點(diǎn)睛：本題考查了絕對(duì)值不等式問題，考查三角不等式最值的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，是一道中 檔題16【解析】因?yàn)樗?1 的大小關(guān)系是故答案為解析： 【解析】因?yàn)閍 b c R，所以S a a b b a ，與 1 的小關(guān)系是，故答案為 S .17【解析】當(dāng)且僅當(dāng)即 x=1 時(shí)上式等號(hào)成立由 42a= 解得 a=解析：54【解析】1 f a x x x 2 x a2 x a22 a x ， a當(dāng)且僅當(dāng)2x ，即 x=1

18、時(shí)，上式等號(hào)成立。由 4a3 ,解 = .2 18無最小值【分析】由題意得出再由二次函數(shù)的性質(zhì)和三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何 平均不等式得出的范圍找出最小值即可【詳解】因?yàn)樗运援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)后面 的等號(hào)成立所以所以無最小值故答案為：無最小值【點(diǎn)睛】本題主要考查了 解析：最小值【分析】由題意得出 y，再由二次函數(shù)的性質(zhì)和三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式，得出x 1xy的范圍，找出最小值即可【詳解】因?yàn)?，所以 x y，所以2 2 f 2 2 2 f 2 1 y y 2 y + 2 x 1 1 1 3 3 x + x x 2 3 x x 4 x 2 x 2 x x x 22.當(dāng)且僅當(dāng) x 4 3 2時(shí)后面的等號(hào)

19、成立，所以 x 2 ，以x 2 x x無最小值故答案為：無最小值【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于 中檔題19【分析】由題意可得在的最大值為中之一可得四個(gè)不等式相加再由絕對(duì)值 不等式的性質(zhì)即可得到所求最小值【詳解】去掉絕對(duì)值可得在的最大值為中之 一由題意可得上面四個(gè)式子相加可得即有可得的最小值為故答案為【點(diǎn)睛】解析：258【分析】由題意可得f 在2,2的最大值為f f ， 1 ，f 中之一，可得四個(gè)不等式，相加，再由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，即可得到所求最小值 【詳解】去掉絕對(duì)值，可得f 的大值為f 1 f ， f f 一，由題意可得M ，M ，M

20、 1 2， a, b f 上面四個(gè)式子相加可得， M a, b | 2 2 1 1 25 2 4 4 2 ， 即有M 258，可得M , b)的最小值為258故答案為258【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的最值求法，注意運(yùn)用函數(shù)取最值的情況，以及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查 運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題20【解析】分析：即再分類討論求得的范圍綜合可得結(jié)論詳解：函數(shù)函數(shù)由 可得其中下面對(duì)進(jìn)行分類討論可以解得可以解得綜上即答案為點(diǎn) 睛：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化分類討論的數(shù)學(xué)思想屬于中 檔題1 21解析 ( )2 【解析】分析：f 1a ，再分類討論求得 a 的范圍，綜合可得結(jié)論詳解：函數(shù)函數(shù)f

21、1a ( ，由f 1a ，其中 a 下面對(duì) 進(jìn)分類討論， 3時(shí)， 55 21，可以解得 2 時(shí)， 1a 5，可以解得 a 綜上， a 即答案為 5 5 , 2點(diǎn)睛：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔 題三、解題1 2 p1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 p1 2 2 2 1 1 2 1 1 211） 2 p p Q 1 2 ， 1 2 p1 ；（）二種購物方式比較劃.【分析】（）出總花及購物總量后可得均價(jià)；（）者作差可得大小得出劃算的方式【詳解】解：（）甲次購物時(shí)購物量均為 m，則兩次購物總花費(fèi)為 m m，購物總量為 m，平均價(jià)格為 p 2 1

22、. 設(shè)乙兩次購物時(shí)用去錢數(shù)均為 ，則兩次購物總花費(fèi) 2n，購物總量為 ， 1 2平均價(jià)格為 nQ p p 2 p 2=綜上， p 2 p p Q 1 2 ， 1 2 p p1 2（） ， 2 p p p p Q 1 2( 2( 1 2 0Q 2由此可知，第二種購物方式比較劃.221）【分析】 x 明見解析（）將f ( 化成分段函數(shù)的形式，然后根據(jù)f ( ，分別解不等式即可；（）（）可知 明即可【詳解】f ( x)的最小值為 M ，而可得 ，利基本不等式證（）： f ( x x 4x 因?yàn)閒 ( x ) ， 所以 ，或 x ，或 x 所以 x ，或1 x ，或 x ，所以0 ，所以不等式的解集為

23、 x b a 1 2 ，2 2b a 1 2 ，2 2（）明：因f ( x ( ) ，當(dāng)且僅當(dāng)1 x 時(shí)取等號(hào)，所以f ( 的最小值為 M ，以 ，所以a1 1 1 1 (a b b b 16 2 a 2 a b2 2 2 a b2 3 ，當(dāng)且僅當(dāng) 2 a 2 2 ，即 2 b 2 取等號(hào)【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（）一二定三”一”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（）二”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成值；要求積的最大 值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（）三等是用本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這 個(gè)定值就不是所求

24、的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方231） 3 5 （）見解析【解析】試題分析：1）用絕對(duì)值定義，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為三個(gè)不等式組，它們的并集為所求解（）明等式恒成立問題，實(shí)質(zhì)是求對(duì)應(yīng)函數(shù) f ( ) x ax 最值問題，利用絕對(duì)值三角不等式易得函數(shù)最小值：f 據(jù) a ，得試題y ax a ax 2 ，再根（）：f ( f x ， ，當(dāng)x 時(shí)，不等式為 ，即x ，x 是不等式的解；當(dāng) 時(shí)，不等式為 ，即 1 4 恒立 是不等式的解；當(dāng) 時(shí)，不等式為 ，即x 52， ，2 2 ，2 2 52是不等式的解綜上所述，不等式的解集為 5 （）明：a ， f ( ) af ( x ) ax ax a ax 2a a ， Rf ( ) af ( x ) 2恒成立考點(diǎn)：絕對(duì)值定義，絕對(duì)值三角不等式【名師點(diǎn)睛】含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利 用絕對(duì)值的幾何意義求解法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì) 值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思 想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向241） 或 x