引言與函數(shù)市公開課獲獎課件

1、高等數(shù)學數(shù)學與信息科學學院第1頁第1頁第2頁第2頁第3頁第3頁引 言一、什么是高等數(shù)學 ?初等數(shù)學 研究對象為常量,以靜止觀點研究問題.高等數(shù)學 研究對象為變量,運動和辯證法進入了數(shù)學.數(shù)學中轉折點是笛卡兒變數(shù).有了變數(shù) , 運動進入了數(shù)學,有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學 ,有了變數(shù) ,微分和積分也就立刻成為必要了,而它們也就立刻產生. 恩格斯第4頁第4頁給出了幾何問題統(tǒng)一笛卡兒 (15961650)法國哲學家, 數(shù)學家, 物理學家, 他 是解析幾何奠基人之一 .1637年他發(fā)表幾何學論文分析了幾何學與 代數(shù)學優(yōu)缺點,進而提出了 “ 另外 一個包括這兩門科學長處而避免其缺點辦法”, 從而提出理解析

2、幾何學主要思想和辦法, 恩格斯把它稱為數(shù)學中轉折點.把幾何問題化成代數(shù)問題 ,作圖法,第5頁第5頁1. 分析基礎: 函數(shù) , 極限, 連續(xù) 2. 微積分學: 一元微積分(上冊)(下冊)3. 向量代數(shù)與空間解析幾何4. 無窮級數(shù)5. 常微分方程主要內容多元微積分第6頁第6頁二、如何學習高等數(shù)學 ?1. 結識高等數(shù)學主要性, 培養(yǎng)濃厚學習興趣.2. 學數(shù)學最好方式是做數(shù)學.聰明在于學習 ,天才在于積累.學而優(yōu)則用 ,學而優(yōu)則創(chuàng).由薄到厚 ,由厚到薄.馬克思 一門科學,只有當它成功地利用數(shù)學時,才干達到真正完善地步 .華羅庚米山國藏：數(shù)學知識能夠記憶一時，但數(shù)學精神、 思想和辦法卻永遠發(fā)揮作用，能夠

3、受益終身.第7頁第7頁華羅庚(19101985)我國在國際上享受盛譽數(shù)學家.他在解析數(shù)論,自守函數(shù)論,高維數(shù)值積分等廣泛數(shù)學領域中,程,都作出了卓越奉獻 ,發(fā)表專著與學術論文近 300 篇.偏微分方多復變函數(shù)論,矩陣幾何學,典型群,他對青年學生成長非常關懷, 他提出治學之道是 “ 寬, 專, 漫 ”, 即基礎要寬,專業(yè)要專, 要使自己專業(yè)知識漫到其它領域.1984年來中國礦業(yè)大學視察時給給師生題詞: “ 學而優(yōu)則用, 學而優(yōu)則創(chuàng) ”.第8頁第8頁學習數(shù)學辦法多看書理解和記憶相關公式和定理勤練習,多解題美國數(shù)學家 Halmos 曾經講過：學習數(shù)學最好辦法是做數(shù)學。第9頁第9頁 時間： 每七天一、

4、周二、周三、周四 下午18：30 21：00 地點： 文清樓305室輔導答疑第10頁第10頁1.常量與變量: 在某過程中數(shù)值保持不變量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言.通慣用字母a, b, c等表示常量,而數(shù)值改變量稱為變量.常量與變量表示辦法：用字母x, y, t等表示變量.一、函數(shù)定義第一節(jié) 函數(shù)及其表示第11頁第11頁數(shù)集D叫做這個函數(shù)定義域因變量自變量第12頁第12頁定義:假如自變量在定義域內任取一個數(shù)值時，相應函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，不然叫與多值函數(shù)第13頁第13頁 (1) 符號函數(shù)幾種特殊函數(shù)舉例1-1xyo第14頁第14頁(2) 取整函數(shù) y=xx表示

5、不超出 最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線第15頁第15頁有理數(shù)點無理數(shù)點1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)第16頁第16頁(4) 取最值函數(shù)yxoyxo第17頁第17頁在自變量不同改變范圍中, 對應法則用不同式子來表示函數(shù),稱為分段函數(shù).第18頁第18頁商定: 定義域是自變量所能取使算式故意義一切實數(shù)值.解:例12. 函數(shù)定義域第19頁第19頁例2解故第20頁第20頁3.區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,第21頁第21頁稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間第22頁第22頁

6、4 鄰域 定義：以點a為中心任何開區(qū)間稱為點a鄰域, 記作U(a). 設 0, 則稱數(shù)集 x| |x-a| 為點a 鄰域,其中點a稱為鄰域中心, 稱為鄰域半徑. 通常記為 U(a, )= x| |x-a| = (a-, a+)點a去心鄰域:Uo(a, )=x|0|x-a|.。第23頁第23頁例3解：第24頁第24頁二、函數(shù)特性M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1函數(shù)有界性:第25頁第25頁2函數(shù)單調性:xyo第26頁第26頁xyo第27頁第27頁3函數(shù)奇偶性:偶函數(shù)yxox-x第28頁第28頁奇函數(shù)yxox-x第29頁第29頁4函數(shù)周期性:（通常說周期函數(shù)周期是指其最小正周期）.

7、第30頁第30頁例4解單值函數(shù),有界函數(shù),偶函數(shù),周期函數(shù)(無最小正周期)不是單調函數(shù),第31頁第31頁三、初等函數(shù)1多項式函數(shù)函數(shù)稱為多項式函數(shù)。是常數(shù)，稱為多項式系數(shù).比如：2有理函數(shù)稱為有理函數(shù)。第32頁第32頁3. 基本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù)： y = c (c為常數(shù)）冪函數(shù): y x (R是常數(shù)); 指數(shù)函數(shù): y a x (a0且a1); 對數(shù)函數(shù): y loga x (a0且a1), 三角函數(shù): y sin x, y cos x, y tan x, y cot x, y sec x, y csc x; 反三角函數(shù): y arcsin x, y arccos x, y arctan x,

8、 y arccot x . 第33頁第33頁四、反函數(shù)DWDW 設函數(shù) 若對于Y 內任意y, X內都有唯一擬定 x 與之相應，使 則 這個函數(shù)稱為函數(shù) 反函數(shù)，記 .本來函數(shù) 稱為直接函數(shù)。習慣上，把 反函數(shù) 記作定義 第34頁第34頁例5 求 反函數(shù).由 y = x3 解得故所求反函數(shù)將 x, y 變量互換，得解：闡明：(1) 函數(shù)y = f (x) 與它反函數(shù)y = f-1(x)圖象對稱于直線y=x。(2)單調函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)與其反函數(shù)單調性相同。第35頁第35頁 直接函數(shù)與反函數(shù)圖形關于直線 對稱.故反函數(shù)定義域相應于直接函數(shù)值域，而反函數(shù)值域就是直接函數(shù)定義域。第36頁第36頁反

9、三角函數(shù)簡介取定存在反函數(shù),我們引進記號 arc ,由 y = sinx 解得再將 x, y 變量互換，得,函數(shù)非單調，注：中x, y取值范圍分別為第37頁第37頁比如，注：第38頁第38頁取定存在反函數(shù),同理引進記號 arc ,由 y = cosx 解得再將 x, y 變量互換，得,函數(shù)非單調，注：中x, y取值范圍分別為第39頁第39頁比如，注：第40頁第40頁解得其中比如，第41頁第41頁 冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).第42頁第42頁則設有函數(shù)鏈稱為由, 擬定復合函數(shù) , u 稱為中間變量. 五 復合函數(shù)注意: 構成復合函數(shù)條件 不可少. 第43頁

10、第43頁注意1: 不是任何兩個函數(shù)都能夠復合成一個復合函數(shù)。2.復合函數(shù)能夠由兩個以上函數(shù)通過復合構成.比如又比如, 函數(shù)鏈 :不能構成復合函數(shù) .可定義復合函數(shù)比如,可定義復合函數(shù):第44頁第44頁解例6第45頁第45頁2. 復合函數(shù)分解：把一個復合函數(shù)分成若干個不同層次基本初等函數(shù).比如 可分解成第46頁第46頁補充例題解第47頁第47頁總而言之第48頁第48頁初等函數(shù)定義由常數(shù)和基本初等函數(shù)通過有限次四則運算和有限次函數(shù)復合環(huán)節(jié)所構成并可用一個式子表示函數(shù),稱為初等函數(shù).比如 ,可表為故為初等函數(shù).不然稱為非初等函數(shù) . 非初等函數(shù)舉例:第49頁第49頁有些分段函數(shù)是初等函數(shù),比如而有些分段函數(shù)不是初等函數(shù),比如第50頁第50頁函數(shù)分類:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(不能用一個代數(shù)式表示分段函數(shù),有無窮多項等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))第51頁第51頁六、小結函數(shù)概念函數(shù)特性有界性,單調性,奇偶性,周期性.反函數(shù)和復合函數(shù)初等函數(shù)基本初等函數(shù)作業(yè) P18 10. 13. 19.(2) (4) (6) 21. 26.