第三,四章功、能、動量作業(yè)及解答

1、第三，四章功、能、動量作業(yè)及解答.有一個擺長為L的單擺，懸點在A,在A的垂直下方置一個小釘B,今使小球自C點釋 放，小球恰能繞B做圓周運動，問釘B與懸點A的距離d是多少解：不計阻力，小球自C至D點時的速度為VD =小球恰能作圓周運動，則它在E點時的速度需恰好滿足=故 vl = gR由機械能守恒定律，有1 2 1 9mvD =產(chǎn) v巨 + mg(2R)于是得到R = 2L/5所以d = L-R = 3L/5. 一質(zhì)量為m的隕石從距地球表面高為h處由靜止開始落向地面，忽略空氣阻力，問:(1)隕石從開始到落地的下落過程中，萬有引力所作的功是多少(2)隕石落地時的速率多大(設(shè)地球質(zhì)量為M,半徑為R,引

2、力常數(shù)為G)解：取地心為原點0,從。到隕石的方向為r的正方向，隕石從高度h處落到地面時，引力所作功為GinNfh=R(.R + GinNfh=R(.R + h)(2)若取隕石為研究對象，根據(jù)動能定理，有A 引力二*故隕石落地時的速率為V 二 x|i2GMR(R+h).由半徑為R的光滑球面頂點處，物體m自靜止開始滑落，求物體脫離球面時的臨界角,即物體脫離球面處的半徑與豎直方向的夾角。解:解:解： 取物體m和光滑球面為系統(tǒng)，物體下滑過程中，機械能守恒，取頂點處為勢能零點，設(shè)物體脫離球面時距離頂點為h0,由圖可知ho = R(1 - cosOo)系統(tǒng)機械能守恒，而初始狀態(tài)時總機械能為0,故mvo -

3、 mgho = 0而物體脫離球面表面的臨界條件為：支持力F0,即mgcosWo = m于是可解得ho 二父，cosOo = 2/3.如圖所示，在墻壁上固定一個水平放置的輕彈簧，彈簧的另一端連一質(zhì)量為m的物體, 彈簧的勁度系數(shù)為k,物體m與水平面間的摩擦系數(shù)為中開始時，彈簧沒有伸長，現(xiàn) 以恒力F將物體自平衡位置開始向右拉動，試求此系統(tǒng)所具有的最大勢能。k 】一 WW m,解：此題須注意的是，勢能最大的位置是彈簧拉升最長處，而不是合力為0處。彈簧拉升最長處，物體達到最遠距離，這時物體的速度為0,因而動能為0。以平衡位置為坐標(biāo)原點O,設(shè)物體達到最遠處坐標(biāo)為Xmax，合外力在過程中做功為A = FXm

4、ax - MmgXmax系統(tǒng)初始機械能為0,終態(tài)僅有彈性勢能，由功能原理 TOC o 1-5 h z 口-1b 2FXmax - pmgXmax kXmaxJ解得21,2Xmax = -(F - gmg), Ep = TkXtnax = (F - |img)K/K5.如圖所示，質(zhì)量為m1和mz的兩木塊用勁度系數(shù)為k的彈簧相連，靜止的放在光滑水平 面上，今有一質(zhì)量為m的子彈沿彈簧的軸線方向以速度V。射入木塊mi后嵌在mi內(nèi)。m匚孫頌秋m匚孫頌秋試求：(1)彈簧的最大壓縮長度。(2) 木塊m2的最大速度和最小速度。解：設(shè)子彈m和木塊mi碰轉(zhuǎn)后獲得共同速度V。，根據(jù)水平方向動量守恒，有 mvo =

5、(m + mi)vio取m+m，m2和彈簧k為系統(tǒng)，系統(tǒng)在運動過程中水平方向動量守恒，且等于質(zhì)心的動量, 設(shè)質(zhì)心的速度為文，則有mvo = fm + mi + m2)vcvc = mvo/(m + mi + m2)可見，系統(tǒng)質(zhì)心在做慣性運動，選擇質(zhì)心參考系，碰撞后的瞬間，m+mi和m2在質(zhì)心參考系中的速度分別是mo mvov4o = vio -vc =-m + mi m + mi +mvoV20 = 0 - vc =-m + mj + m2此時彈簧尚未壓縮，勢能為零，因此系統(tǒng)機械能為Ei =+ m2v2o2/J彈簧具有最大壓縮長度Xm時，m+m和m2在質(zhì)心系中的速度為0,系統(tǒng)機械能為E2 =由

6、系統(tǒng)機械能守恒知上面兩式相等，將必。和艱20代入后可解得1口2m + mi)(m+ mi + m2)m + mi)(m+ mi + m2)質(zhì)心系中，當(dāng)彈簧為原長，彈性勢能為。時，木塊m2具有最大速度或最小速度，設(shè)此時m+mi的速度為m2的速度為v2,取此為終態(tài)，由機械能守恒定律，有(2)；(m + mjv； + m2v = 0 于是得到0,最小速度V2 =2mvo,m + mi V2 =2mvo,m + mi + ma,最大速度.假設(shè)一個質(zhì)量為的球被木棒擊中，木棒對球的擊打力滿足拋物線規(guī)律，即為t的二次 函數(shù)。己知t=時，力F(t)=O; t = 2ms時，F(xiàn)(t)=2200N且叫t)=0。求

7、木棒與球剛剛脫 離接觸的瞬間，球的速度是多大。解：設(shè)F的曲線方程是F(t)= a t2+ bt +c將條件代入可得a + b + c = 04a + 2b + c = 22002at + b = 4a + b =0rmn8800 93520015400可解得 F(t)=K +口 k沖量 I = /： ：F(t)dt = 4400N ms = 4.4N - s又 mv - mvo = I ,其中vo = 0可解得 v =8. SnrsAC后速度是vi,共同速度是V2,.如圖，質(zhì)量171=的物塊，自半徑R二的光滑圓弧軌道的A點由靜止開始下滑，當(dāng)它滑到光 滑水平面C點時，有一個質(zhì)量為m=的子彈射入木

8、塊中，使它們一起沿軌道上升，上升 到B點時脫離軌道，求子彈射入木塊前的速度(g取10m/s2,已知AC后速度是vi,共同速度是V2,mv0 解：設(shè)子彈射入前速度是vs木憂兒哭.IJ 由機械能守恒：yMvi = MgR,于是，vi =由動量守恒定律mv()- Mvi = (m + M)vr2mvo V2= m + M由機械能守恒：(M + m)v2 = (M + m)v + (M + m)gR(l + sin。) J1vb = v? - 2gR(l + sin9) = vl - 3gR木塊脫離時壓力為零，即vb(M + m)gsin 6 = (M + m)-R解得 vi = Rgsin G =于

9、是得到V2于是得到V2代入(1),可解得vo =+ (+ 1),=3143 m/s8. 一個箭體質(zhì)量為Mo (不含燃料部分)，載有燃料mo的火箭在太空中由靜止開始點 火，燃燒后的熾熱氣體相對于火箭以U的速度向后噴出。求燃料耗盡時火箭的速度 是多少(2)若火箭在均勻重力場g中垂直起飛，T時間后燃料耗盡，則燃料耗盡瞬間火 箭速度是多大解：(1)設(shè)某一中間時刻t,火箭的質(zhì)量為M (含箭體和t時刻剩余燃料)，速度為 V，由題意知在dt時間后，噴出的燃料質(zhì)量為dm,則火箭的剩余質(zhì)量為M-dm,速 度為v + dv,噴出的燃料為dM,速度為v-u,則由動量守恒有：Mv= (M 一 dm)(v+dv) + dM(v-u) 略去高階小量dm*dv,化簡得Mdv - udm =dM dv u x MfvfMo兩邊積分，得J dv= J0Mo + mo即，燃料耗盡時，t到t+dt過程中Mgdt = （M - dm）（v +略去高階量dmdv.得Mgdt = Mdv - udm同樣的，因dm = - dM我們得到：Mgdt = Mdv + udMdMBP dv =