材料力學(xué) 第09章 壓桿穩(wěn)定

1、第九章 壓桿穩(wěn)定Chapter 9 Columns9.1 壓桿穩(wěn)定的概念9.2 兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷9.3 其他支座條件下細(xì)長壓桿的臨界載荷9.4 歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)9.6 工程案例第九章 壓桿穩(wěn)定2/809.1 壓桿穩(wěn)定的概念3/80 根據(jù)軸向拉伸與壓縮理論，當(dāng)受拉桿件橫截面上的正應(yīng)力達(dá)到屈服極限或強(qiáng)度極限時(shí)，將引起塑性變形或斷裂。 長度較小的粗短桿受壓時(shí)也有類似的現(xiàn)象，例如受壓低碳鋼短柱在正應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，材料失效，短柱越壓越扁；鑄鐵短柱受壓時(shí)將被壓碎。這些都是由于強(qiáng)度不足引起的失效。9.1 壓桿穩(wěn)定的概念4/80取一根長為300mm的鋼板

2、尺，其橫截面尺寸為 20mm1mm。若鋼的許用應(yīng)力為s =196MPa。 按照強(qiáng)度條件計(jì)算鋼尺所能承受的軸向壓力：實(shí)際情況 若將此鋼尺豎立在桌上，用手壓其上端，則當(dāng)壓力不到40 N時(shí)，鋼尺就被明顯壓彎。 在工程中有些構(gòu)件雖然具有足夠的強(qiáng)度，卻不一定能安全可靠地工作。 穩(wěn)定性問題9.1 壓桿穩(wěn)定的概念5/809.1 壓桿穩(wěn)定的概念6/809.1 壓桿穩(wěn)定的概念7/80穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡的概念 理想壓桿: 材料絕對理想；軸線絕對直；壓力絕對沿軸線作用。不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡F小于某個(gè)值F大于某個(gè)值9.1 壓桿穩(wěn)定的概念8/80壓桿失穩(wěn)與臨界壓力穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡臨界狀態(tài)臨界壓力: Fcr 壓桿喪失直

3、線形式平衡狀態(tài)的現(xiàn)象稱為 喪失穩(wěn)定，簡稱 失穩(wěn)，也稱為屈曲。 當(dāng)壓桿的材料、尺寸和約束情況已經(jīng)確定時(shí)，臨界壓力是一個(gè)確定的值。因此可以根據(jù)桿件的實(shí)際工作壓力是否大于臨界壓力來判斷壓桿是穩(wěn)定還是不穩(wěn)定。解決壓桿穩(wěn)定的關(guān)鍵問題是確定臨界壓力。9.1 壓桿穩(wěn)定的概念9/80壓桿失穩(wěn)的特點(diǎn) 壓桿失穩(wěn)后，壓力的微小增加將引起彎曲變形的顯著增大，從而使桿件喪失承載能力。因失穩(wěn)造成的失效，可能導(dǎo)致整個(gè)結(jié)構(gòu)或機(jī)器的破壞。細(xì)長壓桿失穩(wěn)時(shí)，應(yīng)力并不一定很高，有時(shí)甚至低于比例極限?？梢娺@種形式的失效，并非強(qiáng)度不足，而是穩(wěn)定性不夠。9.1 壓桿穩(wěn)定的概念10/80其他構(gòu)件的穩(wěn)定失效問題9.1 壓桿穩(wěn)定的概念11/80

4、9.2兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷12/80設(shè)細(xì)長理想壓桿兩端為球鉸支座，如圖所示。設(shè)距原點(diǎn)為 x 的任意截面 n-n 的撓度為w ，則彎矩?fù)锨€的近似微分方程式中 I 為壓桿橫截面的最小慣性矩令微分方程改寫為9.2 兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷13/80微分方程二階常系數(shù)線性微分方程的通解式中A，B為積分常數(shù)，由邊界條件確定9.2 兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷14/80邊界條件A 不為 0 若A=0，表明桿為直線，這與壓桿處于微彎平衡狀態(tài)不符。所以9.2 兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷15/80 因?yàn)閚是0，1，2，等整數(shù)中的任一個(gè)數(shù)，故理論上是多值的，即使桿件保持為曲線平衡的壓力也是多值的。只有取n

5、 = 1，才使壓力為最小值。9.2 兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷在這些壓力中，使桿件保持微小彎曲的最小壓力才是臨界壓力Fcr 16/80求得兩端鉸支細(xì)長壓桿臨界力Fcr的計(jì)算公式，也稱為歐拉公式9.2 兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷17/80【例9-1】 兩端球鉸鉸支壓桿，長 l = 1.2 m，材料為Q235鋼，彈性模量 E = 206GPa。已知橫截面的面積 A =900mm2，形狀為正方形，求桿的臨界力。(壓桿滿足歐拉公式計(jì)算條件*）解* 參考本章關(guān)于歐拉公式適用條件的相關(guān)內(nèi)容設(shè)該桿橫截面邊長為a,則慣性矩該桿的臨界壓力9.2 兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷18/809.3其他支座條件下細(xì)長壓桿的

6、臨界載荷19/80 不同的桿端約束，壓桿受到的約束程度不同，桿的抗彎能力也就不同，所以臨界力的表達(dá)式也不同兩端固定的壓桿的臨界壓力為:一端鉸支另一端固定的壓桿的臨界壓力為:兩端鉸支的壓桿的臨界壓力為:一端固定，一端自由的壓桿的臨界壓力:9.3 其他支座條件下細(xì)長壓桿的臨界載荷20/80綜合各種不同的約束條件，統(tǒng)一寫成如下形式:上式即為歐拉公式的一般形式。ml為相當(dāng)長度， m為長度因數(shù)， m與壓桿兩端的支承情況有關(guān)。兩端鉸支 m = 1一端固定一端自由 m = 2兩端固定 m = 0.5一端固定一端鉸支 m = 0.79.3 其他支座條件下細(xì)長壓桿的臨界載荷21/80典型理想約束條件下細(xì)長等截面

7、中心受壓直桿臨界力的歐拉公式C D 撓曲線拐點(diǎn)9.3 其他支座條件下細(xì)長壓桿的臨界載荷22/80 實(shí)際問題中壓桿的約束還可能有其他情況，可用不同的長度因數(shù) m 來反映，這些長度因數(shù)的值可從相關(guān)設(shè)計(jì)手冊或規(guī)范中查到。 應(yīng)當(dāng)注意，細(xì)長壓桿臨界力的歐拉公式中，I 是橫截面對某一形心主慣性軸的慣性矩。9.3 其他支座條件下細(xì)長壓桿的臨界載荷 若桿端在各個(gè)方向的約束情況都相同(如球形鉸等)，則 I 應(yīng)取最小的形心主慣性矩。 若桿端在不同方向的約束情況不同(如柱形鉸)，則 I 應(yīng)按計(jì)算的撓曲方向選取橫截面對其相應(yīng)中性軸的慣性矩。23/80【例9-2】 推導(dǎo)下端固定，上端自由，并在自由端受軸向壓力作用的等直

8、細(xì)長壓桿臨界力Fcr的歐拉公式。解由臨界力所引起桿的任意橫截面x上的彎矩?fù)锨€微分方程令撓曲線微分方程改寫為該微分方程的通解式中積分常數(shù)A,B 由邊界條件確定9.3 其他支座條件下細(xì)長壓桿的臨界載荷24/80式中積分常數(shù)A,B 由邊界條件確定由此滿足上述條件的最小的根得到臨界力Fcr的歐拉公式9.3 其他支座條件下細(xì)長壓桿的臨界載荷25/80 在已經(jīng)導(dǎo)出兩端鉸支壓桿的臨界壓力公式之后，可以用比較簡單的方法，得到其他約束條件下的臨界力。 一端固定，一端自由，長為l 的的壓桿的撓曲線和兩端鉸支，長為2l的壓桿的撓曲線的上半部分相同。則臨界壓力: 同樣用比較變形的辦法(與兩端鉸支細(xì)長壓桿比較)，可求

9、出其他約束情況下壓桿的臨界力Fcr的歐拉公式。9.3 其他支座條件下細(xì)長壓桿的臨界載荷26/809.4 歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式27/809.4.1 歐拉公式的適用范圍臨界應(yīng)力 由慣性半徑公式：則有引入 l 是一個(gè)量綱為1的量，稱為柔度或長細(xì)比l 集中反映了壓桿的長度、約束條件、截面尺寸和形狀等因素對臨界應(yīng)力scr的影響 臨界應(yīng)力公式改寫為: 9.4 歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式28/809.4.1 歐拉公式的適用范圍歐拉公式是由彎曲小變形的微分方程導(dǎo)出材料服從胡克定律又是上述微分方程的基礎(chǔ)，即歐拉公式才正確則取歐拉公式的適用范圍通常稱滿足 的壓桿為大柔度壓桿或細(xì)長壓桿9.4 歐拉公式的適

10、用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式29/809.4.1 歐拉公式的適用范圍 lp的值與材料的性質(zhì)有關(guān)，材料不同， lp 的值也就不同。Q235E = 206 GPa sp = 200 MPa 則用Q235鋼制成的壓桿只有當(dāng)lp 100 時(shí)，才能使用歐拉公式計(jì)算其臨界力或臨界應(yīng)力。9.4 歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式30/809.4.2 經(jīng)驗(yàn)公式 壓桿的柔度小于 lp 時(shí)，臨界應(yīng)力scr 大于材料的比例極限 sp ，這時(shí)歐拉公式已不能使用，屬于超比例極限的壓桿穩(wěn)定問題。9.4 歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式 工程中對這類壓桿的計(jì)算，一般使用以試驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)公式。兩種常用的經(jīng)驗(yàn)公式：直線公式和拋物線公式。31/

11、809.4.2 經(jīng)驗(yàn)公式1 直線公式 a，b 與材料力學(xué)性能有關(guān)的常數(shù)材料 a /MPa b /MPaQ235鋼(s=235, b 372)3041.12優(yōu)質(zhì)碳鋼(s=306, b471)4612.57 其他材料的參數(shù)參見教材9.4 歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式32/809.4.2 經(jīng)驗(yàn)公式1 直線公式 對塑性材料，按直線公式算出的應(yīng)力最高只能等于ss，否則材料已經(jīng)屈服，成了強(qiáng)度問題，即要求 令 柔度滿足ls l lp 的壓桿，稱為中柔度桿或中長壓桿。也就是說，中長壓桿不能用歐拉公式計(jì)算臨界應(yīng)力，但可以用直線公式計(jì)算。對于脆性材料只需把以上各式中的ss改為sb， ls改為lb。 9.4 歐拉公

12、式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式ls 為使用直線公式的最小柔度33/809.4.2 經(jīng)驗(yàn)公式2 拋物線公式 我國鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范中采用如下拋物線經(jīng)驗(yàn)公式Q235鋼16Mn鋼 計(jì)算臨界應(yīng)力的拋物線經(jīng)驗(yàn)公式統(tǒng)一寫為： a1 和 b1為與材料有關(guān)的常數(shù)9.4 歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式34/809.4.2 經(jīng)驗(yàn)公式3 短粗壓桿 柔度很小的短柱，受壓時(shí)不可能像大柔度桿那樣出現(xiàn)彎曲變形，其失效原因是應(yīng)力達(dá)到屈服極限(塑性材料)或強(qiáng)度極限(脆性材料)。很明顯，這是強(qiáng)度問題。所以，對塑性材料，l ls 時(shí)，臨界應(yīng)力scr = ss。對脆性材料 l lb時(shí)，臨界應(yīng)力scr = sb 。 對于 l ls 或 l lp 歐拉公

13、式進(jìn)行的試算正確。取 d = 24.6 mm。9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)43/809.5.2 折減因數(shù)法壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力隨壓桿柔度的增大而減小。 在壓桿設(shè)計(jì)中，常將壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力scr寫作材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力s 乘以一個(gè)隨壓桿柔度 l 而改變的因數(shù) j = j (l)令 式中 j 稱為折減因數(shù)， j 1，且隨 l 而變化。該因數(shù) j 可以反映壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力隨壓桿柔度改變而改變的特點(diǎn)。9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)44/809.5.2 折減因數(shù)法壓桿穩(wěn)定條件是其實(shí)際工作壓應(yīng)力小于、等于穩(wěn)定許用應(yīng)力，即引入折減因數(shù)j ，則上式可改寫為實(shí)踐證明局部削弱(如螺釘孔等)對桿

14、件的整體變形影響很小，所以計(jì)算臨界應(yīng)力時(shí)，仍采用未經(jīng)削弱的橫截面面積 A 和慣性矩 I 。9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)45/80【例9-5】解(1) 圓截面慣性半徑查表9.3，得(2) 柔度(3) 木柱的橫截面面積(4) 校核其穩(wěn)定性，有而木柱的穩(wěn)定性滿足要求 兩端球鉸鉸支圓截面木柱，高 l = 6m ，直徑 d = 20 cm ，承受軸向壓力 F = 50 kN，已知木材的許用應(yīng)力s = 10 MPa ，試校核其穩(wěn)定性。9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)46/80【例9-6】 由Q235鋼制成的、截面為工字形的兩端鉸支壓桿，長 l = 2 m，許用應(yīng)力s = 160 MPa ，承受軸向壓力 F

15、 = 500kN。試選擇工字鋼?！痉治觥?根據(jù)穩(wěn)定條件選擇截面尺寸時(shí)，由于橫截面面積 A 和折減因數(shù) j 均未知，所以采用逐次漸近的試算方法。試算時(shí)，通常先假設(shè)一個(gè) j 值，初次試算出截面尺寸，按這個(gè)尺寸去計(jì)算 l 值并查出相應(yīng)的 j 值，如果兩個(gè) j 值相差較大，則應(yīng)重新假設(shè) j 值，再進(jìn)行第二次試算。重復(fù)上述步驟直到滿足前后兩次的 j 值足夠接近，并滿足壓桿穩(wěn)定條件為止。9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)47/80【例9-6】 由Q235鋼制成的、截面為工字形的兩端鉸支壓桿，長 l = 2 m，許用應(yīng)力s = 160 MPa ，承受軸向壓力 F = 500kN。試選擇工字鋼。解試取 j =0.

16、5 根據(jù)穩(wěn)定條件由型鋼表選得工字鋼No28b，A = 6105mm2 imin = 2.49 cm計(jì)算 l查表9.3可知 j = 0.73，這個(gè) j 值和第一次試選的 j 相差較大，所以用線性插值法重新選9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)48/80【例9-6】 由Q235鋼制成的、截面為工字形的兩端鉸支壓桿，長 l = 2 m，許用應(yīng)力s = 160 MPa ，承受軸向壓力 F = 500kN。試選擇工字鋼。解線性插值法重新選，選工字鋼No25a由表9.3用線性插值法求出與j2 = 0.615相差還是較大，所以再次重新選9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)49/80【例9-6】 由Q235鋼制成的、截面

17、為工字形的兩端鉸支壓桿，長 l = 2 m，許用應(yīng)力s = 160 MPa ，承受軸向壓力 F = 500kN。試選擇工字鋼。解線性插值法重新選選用工字鋼No22b相應(yīng)的與很接近。故可采用穩(wěn)定校核最后選定工字鋼No22b9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)50/80【例9-7】 Q235鋼制成的矩形截面桿如圖所示，在A，B 兩處為銷釘連接。已知材料彈性模量 E = 206 GPa，l = 2300 mm，b = 40 mm，h = 60 mm 。求此桿的臨界載荷。9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)51/80【例9-7】解E = 206 GPa，l = 2300 mm，b = 40 mm，h = 60 m

18、m正視圖平面內(nèi)俯視圖平面內(nèi)9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)52/80【例9-7】解E = 206 GPa，l = 2300 mm，b = 40 mm，h = 60 mm由于：所以壓桿將在正視圖平面內(nèi)屈曲壓桿屬于細(xì)長桿，則臨界載荷用歐拉公式計(jì)算9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)53/80【例9-8】 如圖所示的壓桿，兩端為球鉸約束，桿長 l = 2400 mm ，壓桿由兩根125mm125mm12mm 的等邊角鋼鉚接而成，鉚釘孔直徑為23mm。已知壓桿所受壓力 F = 800 kN，材料為Q235鋼，許用應(yīng)力s =160MPa,穩(wěn)定安全因數(shù) n st = 1.48 。試校核此壓桿是否安全。9.5 壓桿

19、穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)54/80【例9-8】分析 因?yàn)殂T接時(shí)在角鋼上開孔，所以此例中的壓桿可能發(fā)生兩種失效：(1) 屈曲失效。整體平衡形式發(fā)生突然轉(zhuǎn)變(由直變彎)。但個(gè)別截面上的鉚釘孔對這種失效影響不大，因此在穩(wěn)定計(jì)算中，仍采用未開孔時(shí)的橫截面面積，即截面毛面積 Ag。(2) 強(qiáng)度失效。在開有鉚釘孔的截面上其應(yīng)力由于截面削弱將增加，并有可能超過許用應(yīng)力值，所以在強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，要用削弱后的面積，即截面凈面積An 。9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)55/80【例9-8】解(1) 穩(wěn)定校核由型鋼表查得Q235鋼，屬于中長桿，根據(jù)拋物線經(jīng)驗(yàn)公式9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)56/80【例9-8】解(2)強(qiáng)度校

20、核角鋼由于鉚釘孔削弱后的面積該截面上的應(yīng)力強(qiáng)度也滿足要求綜上所述，該壓桿安全9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)57/809.5.3 構(gòu)件計(jì)算的綜合分析【例9-9】 如圖所示結(jié)構(gòu)，材料為Q235鋼。已知 F = 25kN，a = 30，a = 1250 mm ， l = 550 mm ，d = 20 mm ，E = 206 GPa ， s = 160MPa， n st = 2。試校核此結(jié)構(gòu)是否安全。9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)58/80【例9-9】解(1) 梁AB的強(qiáng)度校核梁內(nèi)的最大彎矩在中間截面C上工字鋼No14，查型鋼表得梁內(nèi)最大彎曲正應(yīng)力9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)59/80【例9-9】解

21、梁AB還承受軸向拉伸，其軸力拉伸正應(yīng)力梁AB內(nèi)的最大正應(yīng)力smax略大于s ，在5%以內(nèi)，工程上認(rèn)為梁AB強(qiáng)度滿足要求。9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)60/80(2) 壓桿CD的穩(wěn)定性 桿CD是細(xì)長壓桿，應(yīng)用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)【例9-9】解61/80【例9-9】解壓桿CD內(nèi)的工作應(yīng)力9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)62/80穩(wěn)定工作安全因數(shù)壓桿CD穩(wěn)定。該結(jié)構(gòu)安全。9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)【例9-9】解63/80【例9-10】 如圖所示結(jié)構(gòu)，壓桿 CF 為等截面鑄鐵圓桿，直徑dCF = 10cm ，sCF= 120MPa，ECF = 120 GPa 。桿B

22、E為等截面鋼圓桿，直徑 dBF = 5 cm ，材料為Q235鋼， sBE = 160 MPa ， EBE = 206 GPa 。若橫梁AD 可視為剛性梁，求載荷 F 的許用值。9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)64/80【例9-10】解一次超靜定結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)條件物理關(guān)系聯(lián)立解得9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)65/80【例9-10】解對桿BE，為充分發(fā)揮其抗力，取按桿BE的強(qiáng)度條件確定的F的許用值9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)66/80【例9-10】解壓桿CF查表9.3得 j = 0.26按桿CF穩(wěn)定性條件確定的F的許用值綜合比較，可知應(yīng)取 9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)67/809.5.4 壓桿

23、的合理設(shè)計(jì)1.選擇合理的截面形狀 在保持橫截面面積不變的情況下，盡可能地把材料放在遠(yuǎn)離截面形心處，可以取得較大的 I 和 i 值，從而提高臨界力。 當(dāng)然，也不能為了取得較大的 I 和 i ，就無限制地增大環(huán)形截面的直徑并使其壁厚減小，這將使其因壁厚太薄而引起局部失穩(wěn)，發(fā)生局部折皺的危險(xiǎn)，反而降低了穩(wěn)定性。9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)68/809.5.4 壓桿的合理設(shè)計(jì)1.選擇合理的截面形狀 若壓桿在各個(gè)縱向平面內(nèi)的相當(dāng)長度 ml 相同，則應(yīng)使用截面對任一形心軸的 i 相等或接近相等的截面。 若壓桿在不同的縱向平面內(nèi)， ml 值不相同時(shí)，截面對兩個(gè)主形心慣性軸 y 和 z 有不同的 iy 和

24、iz，設(shè)計(jì)的截面應(yīng)盡量使在兩個(gè)主慣性平面內(nèi)的柔度 ly 和 lz 接近相等，從而使壓桿在兩個(gè)主慣性平面內(nèi)仍然有接近相等的穩(wěn)定性。9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)69/809.5.4 壓桿的合理設(shè)計(jì)2.改變壓桿的約束條件 改變壓桿的支承條件能直接影響臨界力的大小。例如將長為l的兩端鉸支的細(xì)長壓桿，在其中點(diǎn)增加1個(gè)鉸支座，或把壓桿的兩端改為固定端，則相當(dāng)長度就由原來的ml變?yōu)閙l/2 ，臨界力是原來的4倍?？梢娫黾訅簵U的約束，使其不容易發(fā)生彎曲變形，從而提高壓桿的穩(wěn)定性。9.5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)70/809.5.4 壓桿的合理設(shè)計(jì)3.合理選擇材料 細(xì)長壓桿的臨界力由歐拉公式計(jì)算，故臨界力的大小與材料的彈