狄利克雷定理的證明

1、為證明定理本身，我先證明幾個引理。引理1(Bessel不等式)：若函數f (x)在-兀，兀上可積，則有f 2 (x)dx皇 + 工(a 2 + b 2f 2 (x)dxn=12n nn=1-K證明：設S (x證明：設S (x)=普+ * (a n=1顯然：j f (x) - S (x)2dx =cos nx + b sin nx)j f 2(x)dx - 2 j f (x)S (x)dx + mj S 2 ( x)dxm(*)-K-K-K-K其中，j f -K-K-K-K其中，j f (x)S (x)dx =號 j f (x)dx + 尤(a j f (x)cos nxdx + b j f (

2、x)sin nxdx)-K-Kn=1-K-K由傅立葉級數系數公式可以知道：j f (x)S (x)dx = Ka 2 +kE(a 2 + b 2)m2 0n nn = 1-Kj S 2 (x)dx = j a- + 尤(a cosnx + b sinnx) dx = a 2 +kK(a 2 + b 2) m2nn2n n-n =1n =1以上各式代入(* )式，可以得到：0 j f (x) - S (x)2dx = j f 2(x)dx-a 2 一E(a 2 + b 2) m2 0n n-K-Kn=1另生 a 2 +k!E (a 2 + b 2) j f 2 (x)dx 20n nn =1-K

3、這個結果對于Vm e N均成立，而右端是一定積分可以理解為有限常數，據-K此可知“ Ka 2 +k* (a 2 + b 2)”這個級數的部分和有界，則引理1成立。2 0n nn = 1引理2：若函數f (x)是T = 2k的周期函數，且在上可積，則它的傅立葉級數部分和1、1 sin(m + - )uS (x)可改寫為：S (x) = - j f (x + u)砧 dum K 兀2sin -K2證明：設S (x)=號+ * (a cos nx + b sin nx)n = 1=j f (x)dx +1 (j2kk-Kn=1 -Kf (x)cos nxdx)cos nx + (j f (x)sin

4、 nxdx)sin nx-K11 K 1 頂1 k一 x1 頂1 f(m + 2)=f ()質 + 乙cos n( - x)du = f (x +1) + 乙cos ntdt = f (x + u)du-Kn=1-K-xn=1-K2sin 我在下邊給出一個比樓主強的結論！收斂定理：設f (x)是a, b的按段光滑函數,如果它滿足：(1)在a,b只有有限個第一類間斷點，在補充定義后它可積(應當指出：補充定義后，它已不是原來的函數)。(2)在a,b每一點都有f (x土0)，且定義補充定義后的函數為f13)有：lim f (x + ) T(x + 0) =f (x + 0)，lim f (x - u

5、) T(x-0) =f (x - 0)U T0+U1U T0-U1則f (x)的傅立葉級數在點x收斂于這一點的算術平均值f (x + 0) + f (x 一 0)，若在x連續(xù)，則收斂于f (x)。為方便，我僅證明f (x)是T = 2兀的在-兀,兀上的按段光滑函數(上述命題在此基礎上稍加變換即可)，則當x e-K，丸時有(其中a.,、是傅立葉級數系數) f (x + 0) + f (x 0) a 亨，2= -2 + 乙(a cos nx+b sin nx)n=1證明：由引理1容易可知證明：由引理1容易可知：limI f (x)sin(n + )xdx = 0ns匕0(*)若 limf (x +

6、 0) + f (x 一0) n*2-S (x) = 0成立，則命題得證，而 mf (x + O)+ f (x-0) S x) = lim如地 + 竺0) 11 f (x + u嚴m(xù) + 2)U du2皿 22?！?sin U2另外，注意這個式子是偶函數，則 ( 1、 sin(m + )u 2 u = 1另外，注意這個式子是偶函數，則U 2sin 2f (x+0) j 皿+2)udu=f (x+0) j 皿+2)udu2 兀 2sinu丸 0 2sin 202聲口、兀sin(m + )u若lim j f (x + 0) f (x + u)du =0，則命題得證。n* 02sin 2u記 g (u) = f (x + 0) 一 f (x + u)M uu sin2u有微積分知識 lim g (u) = f (x + 0) f (x + )= f (x + 0)，若 g (0) = - f (x + 0) u 頂+usinu 112則它在0+連續(xù)，由于第一類間斷點只有有限個，則它在0,兀上可積。結合(*)聲口、i 兀sin(m + )u式可知 lim-1 f (x + 0) - f (x + u)2-du = 0s 兀 02sin 2聲口、1 0srn(m + )u同理可以證明 limf (x - 0) - - 1 f (x + u)-du = 0s兀一