高三復(fù)習(xí)數(shù)列知識點(diǎn)歸納總結(jié)

1、數(shù)列專題解析方法 解題策略一： 有比較有鑒別才有收成,弄清每種方法好的地方,把握這一點(diǎn), 就能解決很多問題； 解題策略二： 具體做題時(shí)有三個(gè)步驟：想一想,做一做,看一看； 解題策略三 ：拿到題就動手做題的習(xí)慣不好,很盲目,時(shí)間鋪張了,仍做不出 來；想好了再動手,不管能不能做完,能不能做對,都要做 . 回頭看一看,仍有 沒有更好的方法, 書上怎么講的, 老師怎么做的, 回想聯(lián)想再猜想, 這樣一比較, 就能領(lǐng)悟到很多東西 . 數(shù)學(xué)題靠做,但是在做題的過程中,仍要學(xué)會總結(jié)分析, 并建立錯(cuò)題集,常常翻閱,這樣我們的解題才能才會得到提高 . 一,數(shù)列通項(xiàng)公式的求解 類型一：觀看法 例 1: 寫出以下數(shù)列

2、的一個(gè)通項(xiàng)公式 （ 1） 3,5,9,17,33 , ； （ 2） 11 ,2 2 ,3 3 ,4 4 , ; 2 3 4 5 （ 3） 7,77.777.7777. ； （ 4） 2, 1, 10 , 17 26 , , ; 3 7 9 11 （ 5） 3 , 9 , 25 , 65 , 2 4 8 16 ; 類型二：公式法 （ 1） an a1 n 1d am n md 1, a3 3, 求 an 的通項(xiàng)公式 中, a1 例 2：已知等差數(shù)列 an （ 2） an n 1 a1 q nm amq 中, a2 6,6a1 a3 30, 求 an 的通項(xiàng)公式 例 3：已知等比數(shù)列 an 類型三

3、：利用“ Sn ”求解 （ 1） a nS , n 1 2 n224nn N* , 求 an 的通項(xiàng)公 Sn Sn 1 n 例 4：已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 S n1第 1 頁,共 7 頁式 例 5：已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ,且有 a1 3,4Sn 6an an 14Sn 1 , 求 an 的通項(xiàng)公式 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ,且有 a1 1, an 12Sn 1n 1, 求 an 例 6：已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式 例 7：已知正數(shù)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ,且對任意的正整數(shù) n 滿 足 2 S a n 1, 求 a 的通項(xiàng)公式 （ 2） Sn Sn 1 的推

4、廣 例 8：設(shè)數(shù)列 an 中意 a1 3a2 3 a3 23 an n 1 n , n N 求 *an 的通項(xiàng)公 3式 類型四：累加法 形如 an 1an f n 或 an an 1f n 型的遞推數(shù)列（其中 f n 是關(guān)于 n的函數(shù)） （ 1）如 f n 是關(guān)于 n 的一次函數(shù),累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和 例 9： an 1an 2n 1, a1 2, 求 an 的通項(xiàng)公式 （ 2）如 f n 是關(guān)于 n 的指數(shù)函數(shù),累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和 例 10： an 1an n 2 , a1 2, 求 an 的通項(xiàng)公式 （ 3）如 f n 是關(guān)于 n 的二次函數(shù),累加后可分組求和 例 11： a

5、n 1an n2n1, a1 1, 求 an 的通項(xiàng)公式 （ 4）如 f n 是關(guān)于 n 的分式函數(shù),累加后可裂項(xiàng)求和 例 12： a n 1 ann21, a 2 n 1, 求 a n的通項(xiàng)公式 類型五：累乘法 2第 2 頁,共 7 頁形如 an 1an f n 或 an an 1f n 型的遞推數(shù)列 （其中 n 是關(guān)于 n 的函數(shù)） 例 13： a nn 1 a n n1 , a 1 1, n 2 ,求 a 的通項(xiàng)公式 類型六：構(gòu)造數(shù)列法 （ 1）形如 an 1 pan q （其中 p,q 均為常數(shù)且 p 0 ）型的遞推式 如 p 1 時(shí),數(shù)列 an 為等差數(shù)列 ; 如 q 0 時(shí),數(shù)列

6、a n 為等比數(shù)列 ; 如 p 1 且 q 0 時(shí),數(shù)列 an 為線性遞推數(shù)列,其通項(xiàng)可通過待定系 數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求 . 例 14： a1 1, an 13an 2 ,求 an 的通項(xiàng)公式 方法 1：設(shè) an 1pan ,設(shè) an 13 an 方法 2： an 13an 2an1an3a an 1 an 3an 12（ 2）形如 an 1pan f n p 1 型的遞推式 當(dāng) f n 為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列） 例 15： a1 1, an 1 3an 2 n ,求 an 的通項(xiàng)公式 法 1：設(shè) an An B p an 1 An1 B ,通過待定系數(shù)法確定 A ,B 的值, 轉(zhuǎn)化成以

7、a1 A B 為首項(xiàng),以 p 為公比的等比數(shù)列 an An B ,再利 用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出 an An B 的通項(xiàng)整理可得 an. an 1 pan f n 法 2： a n 1 a n pa n a n1 d,令 b a n 1 a n 得： an pan 1 f n 1 bn pbn 1 d ,可解 bn , 繼而可解 an 當(dāng) f n 為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列） 形如 an 1pan qn p q 型 3第 3 頁,共 7 頁例 16： a 1, a n 1 3a n 2 n ,求 a n 的通項(xiàng)公式 法 1：設(shè) an f n p an 1 f n 1 ,通過待定系數(shù)法確定 的值

8、,轉(zhuǎn) 化成以 a1 f 1 為首項(xiàng),以 p 為公比的等比數(shù)列 an f n ,再利用 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出 an f n 的通項(xiàng)整理可得 an . n法 2：遞推公式為 a n 1 pa n q n（其中 p,q均為常數(shù)） 或 a n1 pa n rq （其中 p,q, r 均為常數(shù)） 時(shí),要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以 q n 1 , 得：anq n 11q p an q n 1 ,引入幫忙數(shù)列 q bn（其中 b n an q n）,得：b n 1 q p b 1 , q可解 bn , 繼而可解 an 法 3：通法 , 在 an 1 pan f n 兩邊同時(shí)除以 p n 1 可得到 an

9、p n 11 an p n f n ,令 an p n 1 p n b n,就 b n 1 b n f n p n 1 ,求出 之后得 bn an p bn n形如 an 1 pan q n p q 型 可用法 2,法 3 求解 類型七：對數(shù)變換法 形如 an 1 pa p q0, an 0 型的遞推式 q在原遞推式 an 1 pa 兩邊取對數(shù)得 lg an 1 q lg an lg p ,令 bn lg an 得： bn 1 qbn lg p ,化歸為 an 1 pan q 型,求出 bn 之后得 an 10 bn . （留意： 底數(shù)不愿定要取 10,可依據(jù)題意選擇）；可選取以 p 為底 例

10、 17: a 11, a n 1 3 2a n,求 an的通項(xiàng)公式 類型八：倒數(shù)變換法 （ 1）形如 an 1an pan 1an （p 為常數(shù)且 p0 ）的遞推式 q 型求出 兩邊同除于 an 1an ,轉(zhuǎn)化為 1an 1p 形式,化歸為 an 1pan an 14第 4 頁,共 7 頁1 的表達(dá)式,再求 an an 例 18： a1 1, an 1 an 2an 1an ,求 an 的通項(xiàng)公式 （ 2）形如 an 1 man 的遞推式 pan q接受取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成 1 q 1 p 的形式,化歸為 a n 1 pa n q 型 an 1 m an m求出 的表達(dá)式,再求 an an 例 1

11、9： a 1, a n 1 2an ,求 a n 的通項(xiàng)公式 3an 2例 20： a1 1,3an 1an 2 an 2 an 1 ,求 an 的通項(xiàng)公式 類型九： 形如 an 2 pan 1 qan 型的遞推式： 用待定系數(shù)法,化為特殊數(shù)列 an an 1 的形式求解；方法為：設(shè) an 2 kan 1 han 1 kan ,比較系數(shù)得 h k p, hk q ,可解得 h ,k ,于 是 an 1 kan 是公比為 h 的等比數(shù)列,這樣就化歸為 an 1 pan q 型； 總之,求數(shù)列通項(xiàng)公式可依據(jù)數(shù)列特點(diǎn)接受以上不同方法求解, 對不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列, 可用歸納, 猜想,證明方法

12、求出 數(shù)列通項(xiàng)公式 an . 二,數(shù)列前 n 項(xiàng)和的求解 類型一：直接相加法 Sn a1 a2 an. 類型二：公式法 （ 1） S na1 an na n n 1 d 22（ 2） Sn a1 1 n q a1 anq q 1 q1q1na1q 1 5第 5 頁,共 7 頁（ 3） 1 22 232n2nn 12n 1 6類型三：倒序相加法 Sn a1 a2 1an Sn an an a1 類型四：（乘公比）錯(cuò)位相減法 適用于 cn an bn ,其中 an 為等差數(shù)列, bn 為等比數(shù)列 Sn a1b1 a 2b2 a3b3 an 1bn 1 anbn qSn a1b2 a2b3 an 1

13、bn anbn 1 - 例 21：已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 且 a Sn nn2 n , 求 S n類型五：裂項(xiàng)相消法 an an c = b 2 b2 c 1b1 an b1 1 . an b 2 b1 an 1nn 1 11； n11 2 3n , 求其前 n 項(xiàng)和 Sn . 1 n 2 n 11 1 1 2 2n 11 ; 2n 1 12n a1b1ab; ab例 22：已知數(shù)列 an , 且 an 3n 類型六：分組轉(zhuǎn)化求和 有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,如將這類數(shù)列適當(dāng) 拆開,可分為幾個(gè)等差,等比或常見的數(shù)列,然后分別求和,再將其 合并即可 . 一般分兩步： 找通向項(xiàng)公式由通項(xiàng)公式確定如何分組 . 例 23：數(shù)列 nn 1 的前 n 項(xiàng)和為. 6第 6 頁,共 7 頁類型七：并項(xiàng)求和法 一個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和中,可兩兩結(jié)合求解,就稱之為并項(xiàng)求和 . 形如 an 1nf n 類型可接受兩項(xiàng)合并求解 . 例 24：數(shù)列 n 1 n的前 2022 項(xiàng)和 S 2022 . 類型八： | an | 型求和,其中 Tn 為 | an