2022屆廣東省-北京師范大學東莞石竹附屬學校數(shù)學高二第二學期期末經(jīng)典模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學模擬試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1復數(shù)（ ）ABCD2已知函數(shù)，若函數(shù)在上為增函數(shù)，則正實數(shù)a的取值范圍為（）ABCD3中國南北朝時期的著作孫子算

2、經(jīng)中，對同余除法有較深的研究設為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為若，則的值可以是A2015B2016C2017D20184設，R，且，則ABCD5設隨機變量服從分布，且，則（ ）A，B，C，D，6設數(shù)列的前項和為，若，且，則（ ）A2019BC2020D7函數(shù)的極小值點是（）A1B（1，）CD（3，8）8從圖示中的長方形區(qū)域內(nèi)任取一點，則點取自圖中陰影部分的概率為( )ABCD9玲玲到保山旅游，打電話給大學同學姍姍，忘記了電話號碼的后兩位，只記得最后一位是6，8，9中的一個數(shù)字，則玲玲輸入一次號碼能夠成功撥對的概率是()A13B110C110函數(shù)的部分圖象大致為（ ）ABCD1

3、1已知，則( )ABCD12將6位女生和2位男生平分為兩組，參加不同的兩個興趣小組，則2位男生在同一組的不同的選法數(shù)為（ ）A70B40C30D20二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13復數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是_14設，其中、是各項的系數(shù)，則在、這個系數(shù)中，值為零的個數(shù)為_15已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_.16已知為等邊三角形，為坐標原點，在拋物線上，則的周長為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護意識，高二年級準備成立一個環(huán)境保護興趣小組.該年級理科班有男生400

4、人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人，按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人，組成環(huán)境保護興趣小組，再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學校的環(huán)保知識競賽.（1）設事件為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生，而且這兩個男生必須文、理科生都有”，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示抽取的4人中文科女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.18（12分） (1)設是兩個正實數(shù)，且，求證：；（2）已知是互不相等的非零實數(shù)，求證：三個方程， 中至少有一個方程有兩個相異實根19（12分）已知橢圓:的上頂點為A,以A為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與y軸的交點分別為

5、、.（1）求橢圓的方程；（2）設不經(jīng)過點A的直線與橢圓交于P、Q兩點，且,試探究直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標，若不過定點，請說明理由.20（12分）證明：若a0，則.21（12分）已知.（1）當時，求不等式的解集；（2）若時不等式成立，求的取值范圍.22（10分）一條隧道的橫斷面由拋物線弧及一個矩形的三邊圍成，尺寸如圖所示單位：，一輛卡車空車時能通過此隧道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3m，車與箱共高，此車是否能通過隧道？并說明理由參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：直接利用復數(shù)的除法運算得解.詳

6、解：由題得，故答案為：C.點睛：本題主要考查復數(shù)的運算，意在考查學生對該知識的掌握水平和基本運算能力.2、B【解析】求f（x）的導數(shù)f（x），利用f（x）判定f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間，即得正實數(shù)a的取值范圍【詳解】f（x）lnx（a0），f（x）（x0），令f（x）0，得x，函數(shù)f（x）在（0，上f（x）0，在，+）上f（x）0，f（x）在（0，上是減函數(shù)，在，+）上是增函數(shù)；函數(shù)f（x）在區(qū)間1，+）內(nèi)是增函數(shù)，1，又a0，a1，實數(shù)a的取值范圍是1，+）；故選：B【點睛】本題考查了利用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性問題，解題時應根據(jù)導數(shù)的正負來判定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

7、來解答問題，是中檔題3、C【解析】分析：首先求得a的表達式，然后列表猜想的后三位數(shù)字，最后結(jié)合除法的性質(zhì)整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可得：，結(jié)合二項式定理可得：，計算的數(shù)值如下表所示：底數(shù)指數(shù)冪值5155225531255462555312556156255778125583906255919531255109765625據(jù)此可猜想最后三位數(shù)字為，則：除以8的余數(shù)為1，所給選項中，只有2017除以8的余數(shù)為1，則的值可以是2017.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查二項式定理的逆用，學生歸納推理的能力等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.4、D【解析】分析：帶特殊值驗證即可詳

8、解：排除A,B排除C故選D點睛：帶特殊值是比較大小的常見方法之一5、A【解析】分析：根據(jù)隨機變量符合二項分布，根據(jù)二項分布的期望和方差公式得到關于的方程組，注意兩個方程之間的關系，把一個代入另一個，以整體思想來解決，求出P的值，再求出n的值，得到結(jié)果.詳解：隨機變量服從分布，且，即可求得，.故選：A點睛：本題考查離散型隨機變量的期望和方差，考查二項分布的期望和方差公式，考查方差思想，是一個比較好的題目，技巧性比較強.6、D【解析】用，代入已知等式，得，可以變形為：，說明是等差數(shù)列，故可以求出等差數(shù)列的通項公式，最后求出的值.【詳解】因為，所以，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，所以等差數(shù)列的通項公

9、式為，故本題選D.【點睛】本題考查了公式的應用，考查了等差數(shù)列的判定義、以及等差數(shù)列的通項公式.7、A【解析】求得原函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)等于零，解出的值，并根據(jù)單調(diào)區(qū)間判斷出函數(shù)在何處取得極小值，并求得極值，由此得出正確選項.【詳解】，由得函數(shù)在上為增函數(shù)，上為減函數(shù)，上為增函數(shù)，故在處有極小值，極小值點為1.選A【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值點，屬于基礎題.8、C【解析】先利用定積分公式計算出陰影部分區(qū)域的面積，并計算出長方形區(qū)域的面積，然后利用幾何概型的概率計算公式可得出答案【詳解】圖中陰影部分的面積為，長方形區(qū)域的面積為133，因此，點M取自圖中陰影部分的概率為故選C【點睛】本

10、題考查定積分的幾何意義，關鍵是找出被積函數(shù)與被積區(qū)間，屬于基礎題9、D【解析】由分步計數(shù)原理和古典概型求得概率【詳解】由題意可知，最后一位有3種可能，倒數(shù)第2位有10種可能，根據(jù)分步計數(shù)原理總共情況為N=310=30，滿足情況只有一種，概率為P=1【點睛】利用排列組合計數(shù)時，關鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏.在本題中，只有兩個號碼都拔完這種事情才完成，所以是分步計數(shù)原理10、A【解析】判斷函數(shù)的奇偶性，排除B，確定時函數(shù)值的正負，排除C，再由時函數(shù)值的變化趨勢排除D從而得正確結(jié)論【詳解】因為是偶函數(shù)，排除B，當時，排除C，當時，排除D.故選：A.【點睛】本題考查由解析式選圖象，可

11、能通過研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等排除一些選項，通過特殊的函數(shù)值、特殊點如與坐標軸的交點，函數(shù)值的正負等排除一些，再可通過函數(shù)值的變化趨勢又排除一些，最多排除三次，剩下的最后一個選項就是正確選項11、C【解析】將兩邊同時平方，利用商數(shù)關系將正弦和余弦化為正切，通過解方程求出，再利用二倍角的正切公式即可求出.【詳解】再同時除以，整理得故或，代入，得.故選C.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡和求值，考查了二倍角的正切公式以及平方關系，商數(shù)關系，屬于基礎題.12、C【解析】先確定與2位男生同組的女生，再進行分組排列，即得結(jié)果【詳解】2位男生在同一組的不同的選法數(shù)為，選C.【點睛】本

12、題考查分組排列問題，考查基本分析求解能力，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分子和分母同時乘以分母的共軛復數(shù),化簡復數(shù),即可求得虛部.【詳解】 復數(shù)的虛部是:.故答案為:.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的四則運算,以及復數(shù)的基本概念的應用,其中解答中熟練應用復數(shù)的運算法則化簡是解答的關鍵,屬于基礎題.14、【解析】求出的展開式通項為，列舉出在的所有可能取值，從而可得出、這個系數(shù)中值為零的個數(shù).【詳解】，而的展開式通項為.所以，的展開式通項為，當時，的可能取值有：、，共個，因此，在、這個系數(shù)中，值為零的個數(shù)為.故答案為.【點睛】本題考查二項展開式中項的系數(shù)為零的

13、個數(shù)，解題的關鍵就是借助二項展開通項，將項的指數(shù)可取的全都列舉出來，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15、【解析】在上是減函數(shù)的等價條件是在恒成立，然后分離參數(shù)求最值即可.【詳解】在上是減函數(shù)， 在恒成立，即， 在的最小值為， 【點睛】本題主要考查利用導函數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性問題，把在上是減函數(shù)轉(zhuǎn)化為在恒成立是解決本題的關鍵.16、【解析】設，由于，可得代入化簡可得：由拋物線對稱性，知點、關于軸對稱不妨設直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立解出即可得出【詳解】解：設，又，即又、與同號，即由拋物線對稱性，知點、關于軸對稱不妨設直線的方程為：，聯(lián)立，解得的周長故答案為：【點睛】本題考查了拋

14、物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】（1）按分層抽樣得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超幾何分布求解即可【詳解】（1）因為學生總數(shù)為1000人，該年級分文、理科按男女用分層抽樣抽取10人，則抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以.（2）的可能取值為0,1,2,3，的分布列為0123.【點睛】本題考查分層抽樣，考查超幾何分布及期望，考查運算求解能力，是基礎題18、（1

15、）見解析；（2）見解析【解析】(1)先證明，再在兩邊同時乘以正數(shù)(a+b),不等式即得證；（2）利用反證法證明即可.【詳解】(1)證明：，而均為正數(shù)，成立(2)證明：假設三個方程中都沒有兩個相異實根，則，相加有，則，與由題意、互不相等矛盾假設不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根【點睛】本題主要考查不等式的證明，考查反證法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）（2）直線過定點【解析】（1）根據(jù)圓的圓心和半徑寫出圓的標準方程，令求得圓與軸交點的坐標，由此列方程組求得的值，進而求得橢圓的標準方程.（1）根據(jù)，利用點斜式設出直線的方程，并分別代入橢圓方程解出兩點

16、的坐標，由此求得直線的方程，由此求得定點的坐標為.【詳解】解：（1）依題意知點A的坐標為，則以點A圓心，以為半徑的圓的方程為:，令得，由圓A與y軸的交點分別為、可得，解得，故所求橢圓的方程為.（2）由得，可知PA的斜率存在且不為0，設直線- 則-將代入橢圓方程并整理得，可得，則，類似地可得，由直線方程的兩點式可得：直線的方程為 ，即直線過定點，該定點的坐標為.【點睛】本小題主要考查圓的標準方程和幾何性質(zhì)，考查直線和橢圓的位置關系，考查直線方程的兩點式以及直線過定點的問題.屬于中檔題.要求直線和橢圓的交點坐標，需要聯(lián)立直線和橢圓的方程，解方程組求得，這里需要較強的運算能力.直線過定點的問題，往往

17、是將含有參數(shù)的部分合并，由此求得直線所過的定點.20、見解析【解析】試題分析:用分析法證明不等式成立的充分條件成立,要證原命題,只要證,即只要證，進而展開化簡,可得只要證明，故得證.試題解析:要證只需證 因為，所以不等式兩邊均大于零因此只需證，即證 只需證 只需證，即證 只需證，而顯然成立，所以原不等式成立.點睛: 從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件，定理，定義，公理等)為止，這種證明方法叫做分析法綜合法是利用已知條件和某些數(shù)學定義，公理，定理等，經(jīng)過一系列推理論證，最后推導出所要證明的結(jié)論成立的方法21、（1）；（2）【解析】分析：(1)將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點分段將解析式化為，然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式的解集為；(2)根據(jù)題中所給的，其中一個絕對值符號可以去掉，不等式可以化為時，分情況討論即可求得結(jié)果.詳解：（1）當時，即故不等式的解集為（2）當時成立等價于當時成立若，則當時；若，的解集為，所以，故綜上，的取值范圍為點睛：該題考查的是有關絕對值不等式的解法，以及含參的絕對值的式子在某個區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，需要會用零點分段法將其化為分段函數(shù)，從而將不等式轉(zhuǎn)化為多個