點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

1、8.2 點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 對(duì)于同一個(gè)未知參數(shù), 不同的方法得到的估計(jì)量可能不同,于是提出問題1、應(yīng)該選用哪一種估計(jì)量?常用標(biāo)準(zhǔn)(1) 無偏性(3) 一致性(2) 有效性2、用什么標(biāo)準(zhǔn)來評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量的好壞? 定義 設(shè) 是總體X 的樣本，是總體參數(shù) 的估計(jì)量，則稱是 的無偏估計(jì)量. 存在,如果： 無偏性求證：不論 X 服從什么分布,證因而例1 設(shè)總體X 的 k 階矩存在，是總體X 的樣本，是的無偏估計(jì)量.由于特別地, 的無偏估計(jì)量是總體期望 E( X ) 的無偏估計(jì)量樣本二階原點(diǎn)矩 是總體二階原點(diǎn)矩樣本均值例2 設(shè)總體 X 的期望 E( X )與方差 D( X )存在, 不是 D( X ) 的無

2、偏估計(jì)量; 證前已證求證：是 X 的一個(gè)樣本, n 1 .(1) 是 D( X ) 的無偏估計(jì)量; (2) 因而證畢.故通常，在估計(jì)時(shí)：確實(shí)以樣本均值估計(jì)總體均值但卻不以2階中心距 估計(jì)總體方差，而是以樣本方差 估計(jì)總體方差例3 設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為為常數(shù)為 X 的一個(gè)樣本求證：證明： 故與都是的無偏估計(jì)量是 的無偏估計(jì)量.令即故 nZ 是 的無偏估計(jì)量.故都是總體參數(shù) 的無偏估計(jì)量, 且定義有效性則稱比更有效.設(shè)都是 的無偏估計(jì)量,由前面例4 可知,為 X 的一個(gè)樣本,解為常數(shù)與所以,比更有效.例4 問哪個(gè)估計(jì)量更有效？例5 設(shè)總體期望為 E( X )= , 方差 D( X )= 2 ,

3、 為總體X 的一個(gè)樣本，設(shè)常數(shù)求證是 的無偏估計(jì)量(2) 求證(1) 比更有效(2) 證: (1) 比更有效證明只需即而結(jié)論算術(shù)均值比加權(quán)均值更有效.“=”成立當(dāng)且僅當(dāng)c1 = c2= cn算術(shù)均值是所有線性無偏估計(jì)中方差最小的，稱為最小方差無偏估計(jì).例如 X N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一樣本.都是 的無偏估計(jì)量由例7(2) 知最有效.是總體參數(shù) 的是總體參數(shù) 的一致(或相合)估計(jì)量.估計(jì)量. 若對(duì)于任意的 , 當(dāng)n 時(shí), 一致性一致性估計(jì)量?jī)H在樣本容量 n 足夠大時(shí),才顯示其優(yōu)越性.則稱依概率收斂于 , 定義 設(shè) 即例6 樣本k階矩是總體k階矩的一致估計(jì)證明：故，例7 正態(tài)分布總體的樣本方差的一致估計(jì)證明：故，是總體方差其中，故，例