穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)

1、 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 主講 賈啟芬Mechanical and Structural Vibration工程振動(dòng)與測(cè)試目錄Mechanical and Structural Vibration 2.1 無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) 2.2 計(jì)算固有頻率的能量法 2.3 瑞利法 2.4 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 2.6 周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 2.7 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 2.8 響應(yīng)譜 第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)Mechanical and Structural Vibration 第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 受迫振動(dòng)激勵(lì)形式系

2、統(tǒng)在外界激勵(lì)下產(chǎn)生的振動(dòng)。 外界激勵(lì)一般為時(shí)間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。 簡(jiǎn)諧激勵(lì)是最簡(jiǎn)單的激勵(lì)。 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)Mechanical and Structural Vibration振動(dòng)微分方程 簡(jiǎn)諧激振力F0為激振力的幅值，w為激振力的圓頻率。以平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸鉛直向下為正，物塊運(yùn)動(dòng)微分方程為 具有粘性阻尼的單自由度受迫振動(dòng)微分方程，是二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次常微分方程。 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)Mechanical and Structural Vibration簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)全解有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程 微分方程全解：

3、齊次方程的解加非齊次方程的特解齊次解: x1(t)特解: x2(t)有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解Mechanical and Structural Vibration振動(dòng)微分方程 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解 x2(t)-有阻尼系統(tǒng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)中的特解是指不隨時(shí)間衰減的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：Mechanical and Structural Vibration振動(dòng)微分方程 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)這表明：穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)是與激勵(lì)頻率相同的諧振動(dòng)。 穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的振幅與滯后相位差均與初始條件無(wú)關(guān)，僅僅取決于系統(tǒng)和激勵(lì)的特性。Mechanical

4、 and Structural Vibration振動(dòng)微分方程 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)Mechanical and Structural Vibration受迫振動(dòng)的振幅B、相位差 的討論 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng) 1時(shí)，1，Bb，即電機(jī)的角速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，該系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅趨近于 。 幅頻特性曲線(xiàn)和相頻特性曲線(xiàn)例 題 Mechanical and Structural Vibration 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)例 題 Mechanical and Structural Vibration 在圖示的系統(tǒng)中，物塊受粘性欠阻尼作

5、用，其阻尼系數(shù)為c，物塊的質(zhì)量為m，彈簧的彈性常量為k。設(shè)物塊和支撐只沿鉛直方向運(yùn)動(dòng)，且支撐的運(yùn)動(dòng)為 ,試求物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 建立物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)Z代替 x 令其中 y = b例 題 Mechanical and Structural Vibration 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)x = z + yand例 題 Mechanical and Structural Vibration 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)例 題 Mechanical and Structural Vibration 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)例 題 Mechanical

6、 and Structural Vibration 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系 已知簡(jiǎn)諧激振力穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的響應(yīng)為現(xiàn)將各力分別用 B、 的旋轉(zhuǎn)矢量表示。應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，將彈簧質(zhì)量系統(tǒng)寫(xiě)成式不僅反映了各項(xiàng)力之間的相位關(guān)系，而且表示著一個(gè)力多邊形。慣性力阻尼力彈性力激振力Mechanical and Structural Vibration 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)Mechanical and Structural Vibration（a）力多邊形 (b) 1 (c) = 1 (d) 1受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)系統(tǒng)的

7、能量關(guān)系 從能量的觀點(diǎn)分析，振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的實(shí)現(xiàn)，是輸入系統(tǒng)的能量和消耗的能量平衡的結(jié)果?，F(xiàn)將討論簡(jiǎn)諧激振力作用下的系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系。受迫振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為周期 1. 激振力在系統(tǒng)發(fā)生共振的情況下，相位差 ，激振力在一周期內(nèi)做功為 ，做功最多。 Mechanical and Structural Vibration 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)對(duì)于無(wú)阻尼系統(tǒng)(除共振情況外)相位差 。因此，每一周期內(nèi)激振力做功之和為零，形成穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。 或2. 粘性阻尼力 做的功 上式表明，在一個(gè)周期內(nèi)，阻尼做負(fù)功。它消耗系統(tǒng)的能量。而且做的負(fù)功和振幅B的平方成正比。由于受迫振動(dòng)在共振

8、區(qū)內(nèi)振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地控制振幅的大小。這種減小振動(dòng)的方法是用消耗系統(tǒng)的能量而實(shí)現(xiàn)的。Mechanical and Structural Vibration受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3. 彈性力 做的功能量曲線(xiàn)表明彈性力在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)做功之和為零。 在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量Mechanical and Structural Vibration受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)等效粘性阻尼 在工程實(shí)際中，振動(dòng)系統(tǒng)存在的阻尼大多是非粘性阻尼。非粘性阻尼的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜。為了便于振動(dòng)分析，經(jīng)

9、常應(yīng)用能量方法將非粘性阻尼簡(jiǎn)化成等效粘性阻尼。等效的原則是：粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量。假設(shè)在簡(jiǎn)諧激振力作用下，非粘性阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即非粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)做的功粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量相等等效粘性阻尼系數(shù)Mechanical and Structural Vibration 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)利用式得到在該阻尼作用下受迫振動(dòng)的振幅Mechanical and Structural Vibration等效粘性阻尼 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)庫(kù)侖阻尼阻尼力表示為一周期內(nèi)庫(kù)侖阻尼消耗的能量為 等效粘性阻尼系數(shù) 得到穩(wěn)態(tài)

10、振動(dòng)的振幅表達(dá)式相等Mechanical and Structural Vibration等效粘性阻尼 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)阻尼 一周期內(nèi)結(jié)構(gòu)阻尼消耗的能量為 相等等效粘性阻尼系數(shù) 具有結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可寫(xiě)為 Mechanical and Structural Vibration等效粘性阻尼 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 系統(tǒng)在過(guò)渡階段對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)是瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)疊加。先考慮在給定初始條件下無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng),系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和初始條件寫(xiě)在一起為通解是相應(yīng)的齊次方程的通解與特解的和,即Mechanical and S

11、tructural Vibration 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)根據(jù)初始條件確定C1、C2 。于是得到全解為 特點(diǎn)是:振動(dòng)頻率為系統(tǒng)的固有頻率,但振幅與系統(tǒng)本身的性質(zhì)及激勵(lì)因素都有關(guān)。無(wú)激勵(lì)時(shí)的自由振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)伴隨激勵(lì)而產(chǎn)生自由振動(dòng), 稱(chēng)為自由伴隨振動(dòng)Mechanical and Structural Vibration 對(duì)于存在阻尼的實(shí)際系統(tǒng),自由振動(dòng)和自由伴隨振動(dòng)的振幅都將隨時(shí)間逐漸衰減,因此它們都是瞬態(tài)響應(yīng)。簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)共振時(shí)的情況假設(shè)初始條件為由共振的定義, 時(shí)上式是 型,利用洛必達(dá)法則算出共振時(shí)的響

12、應(yīng)為 Mechanical and Structural Vibration簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)可見(jiàn),當(dāng)時(shí) ,無(wú)阻尼系統(tǒng)的振幅隨時(shí)間無(wú)限增大.經(jīng)過(guò)短暫時(shí)間后,共振響應(yīng)可以表示為此即共振時(shí)的受迫振動(dòng).反映出共振時(shí)的位移在相位上比激振力滯后 ,且振幅與時(shí)間成正比地增大 圖 共振時(shí)的受迫振動(dòng)Mechanical and Structural Vibration簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)有阻尼系統(tǒng)在過(guò)渡階段對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng).在給定初始條件下的運(yùn)動(dòng)微分方程為 全解為式中Mechanical and Structural

13、 Vibration簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)如果初始位移與初始速度都為零，則成為可見(jiàn)過(guò)渡階段的響應(yīng)仍含有自由伴隨振動(dòng)。 過(guò)渡階段的響應(yīng)Mechanical and Structural Vibration簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的作用下，有阻尼系統(tǒng)的 總響應(yīng)由三部分組成 無(wú)激勵(lì)時(shí)自由振動(dòng)的初始條件響應(yīng)，其振幅與激勵(lì)無(wú)關(guān)。 伴隨激勵(lì)而產(chǎn)生的自由振動(dòng)自由伴隨振動(dòng)，其振幅不僅與系統(tǒng)特性有關(guān)，而且與激勵(lì)有關(guān)。 以激勵(lì)頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅不隨時(shí)間衰減穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)。 第一部分和第二部分振動(dòng)的頻率都是自由振動(dòng)頻率pd；由于阻尼的作用，這兩部分的振幅都時(shí)間而衰減。Mechanical and Structura