2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)卷Ⅱ)(文科)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)卷)(文科)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘第卷一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1已知集合Ax|1x2，Bx|0 xf(2x1)成立的x的取值范圍是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，1)B.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,3)(1，)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(1,3)D.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,3)eq blc(rc)(a

2、vs4alco1(f(1,3)，)第卷二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上)13已知函數(shù)f(x)ax32x的圖象過(guò)點(diǎn)(1，4)，則a_14若x，y滿足約束條件eq blc(avs4alco1(xy50，,2xy10，,x2y10，)則z2xy的最大值為_(kāi)15已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(4，eq r(3)，且漸近線方程為yeq f(1,2)x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)16已知曲線yxln x在點(diǎn)(1，1)處的切線與曲線yax2(a2)x1相切，則a_三、解答題(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17(本小題滿分12分)ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分BAC，BD2DC

3、.(1)求eq f(sin B,sin C)；(2)若BAC60，求B.18(本小題滿分12分)某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，得到A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表圖B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表滿意度評(píng)分分組50，60)60，70)70，80)80，90)90，100頻數(shù)2814106(1)在圖中作出B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過(guò)直方圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)圖(2)根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度分為三個(gè)等級(jí)：滿意度

4、評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大？說(shuō)明理由19(本小題滿分12分)如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)的平面(1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫(huà)法和理由)；(2)求平面把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值20(本小題滿分12分)已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的離心率為eq f(r(2),2)，點(diǎn)(2，eq r(2)在C上(1)求C的方程；(2)直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有

5、兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值21(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)ln xa(1x)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a2時(shí)，求a請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)22(本小題滿分10分)選修41：幾何證明選講如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，O與ABC的底邊BC交于M，N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點(diǎn)(1)證明：EFBC；(2)若AG等于O的半徑，且AEMN2eq r(3)，求四邊形EBCF的面積23(本小題滿分

6、10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：eq blc(avs4alco1(xtcos ，,ytsin )(t為參數(shù)，t0)，其中0.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2sin ，C3：2eq r(3)cos .(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值24(本小題滿分10分)選修45：不等式選講設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd.證明：(1)若abcd，則eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d)；(2)eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d)是|ab|c

7、d|的充要條件參考答案與詳解本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘第卷一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1解析：選A將集合A與B在數(shù)軸上畫(huà)出(如圖)由圖可知AB(1，3)，故選A.2解析：選Deq f(2ai,1i)3i，2ai(3i)(1i)24i，a4，故選D.3解析：選D對(duì)于A選項(xiàng)，由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確對(duì)于B選項(xiàng)，由圖知，由2006年到2007年矩形高度明顯下降，因此B正確對(duì)于C選項(xiàng)，由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份

8、都是逐年下降的，所以C正確由圖知2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，故選D.4解析：選C法一：a(1，1)，b(1，2)，a22，ab3，從而(2ab)a2a2a法二：a(1，1)，b(1，2)，2ab(2，2)(1，2)(1，0)從而(2ab)a(1，0)(1，1)1，5解析：法一：a1a52a3，a1a3a53a3a31，S5eq f(5（a1a5）,2)5a35，故選A.法二：a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3a12d1，S55a1eq f(54,2)d5(a12d)5，故選A.6解析：選D由已知三視圖知該幾何體是由一個(gè)正方體截去了一個(gè)“大角”后剩余的部分，

9、如圖所示，截去部分是一個(gè)三棱錐設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐的體積為V1eq f(1,3)eq f(1,2)111eq f(1,6)，剩余部分的體積V213eq f(1,6)eq f(5,6).所以eq f(V1,V2)eq f(f(1,6),f(5,6)eq f(1,5)，故選D.7解析：選B在坐標(biāo)系中畫(huà)出ABC(如圖)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|AB|AC|BC|2(也可以借助圖形直接觀察得出)，所以ABC為等邊三角形設(shè)BC的中點(diǎn)為D，點(diǎn)E為外心，同時(shí)也是重心所以|AE|eq f(2,3)|AD|eq f(2r(3),3)，從而|OE|eq r(|OA|2|AE|2) eq r(1f(4,3

10、)eq f(r(21),3)，故選B.8解析：選Ba14，b18.第一次循環(huán)：1418且144，a14410；第三次循環(huán)：104且104，a1046；第四次循環(huán)：64且64，a642；第五次循環(huán)：24且24，b422；第六次循環(huán)：ab2，跳出循環(huán)，輸出a2，故選B.9解析：選C法一：a3a5aeq oal(2,4)，a3a54(a41)，aeq oal(2,4)4(a41)，aeq oal(2,4)4a440，a42.又q3eq f(a4,a1)eq f(2,f(1,4)8，q2，a2a1qeq f(1,4)2eq f(1,2)，故選C.法二：a3a54(a41)a1q2a1q44(a1q31

11、)，將a1eq f(1,4)代入上式并整理，得q616q3640，解得q2，a2a1qeq f(1,2)，故選C.10 解析：選C如圖，設(shè)球的半徑為R，AOB90，SAOBeq f(1,2)R2.VO ABCVCAOB，而AOB面積為定值，當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，VOABC最大，當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積VOABC最大，為eq f(1,3)eq f(1,2)R2R36，R6，球O的表面積為4R2462144.11解析：選B當(dāng)xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)時(shí)，f(x)tan xeq r(4tan x)，圖象不會(huì)是直線段，從而排除A、C.當(dāng)xe

12、q blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(3,4)時(shí)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)1eq r(5)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2eq r(2).2eq r(2)1eq r(5)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)|x|2x1|x2(2x1)23x24x10eq f(1,3)x1.故選A.法二：(特殊值排除法)令x0，此時(shí)f(x)f(0)10，x0不滿足f(x)f(2x1)，故C錯(cuò)誤令x2，此時(shí)f(x)f(2)ln 3

13、eq f(1,5)，f(2x1)f(3)ln 4eq f(1,10).f(2)f(3)ln 3ln 4eq f(1,10)，其中l(wèi)n 3ln 4，ln 3ln 4eq f(1,10)0，f(2)f(3)0，即f(2)f(2x1)，故B，D錯(cuò)誤第卷二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上)13解析：f(x)ax32x的圖象過(guò)點(diǎn)(1，4)，4a(1)32(1)，解得a2.答案：214解析：畫(huà)出可行域，如圖所示z2xy，y2xz，將直線y2x向上平移，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)z取得最大值由eq blc(avs4alco1(xy50，,x2y10，)解得eq blc(avs4alco1(

14、x3，,y2，)zmax2328.答案：815解析：法一：雙曲線的漸近線方程為yeq f(1,2)x，可設(shè)雙曲線的方程為x24y2(0)雙曲線過(guò)點(diǎn)(4，eq r(3)，164(eq r(3)24，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,4)y21.法二：漸近線yeq f(1,2)x過(guò)點(diǎn)(4，2)，而eq r(3)0，b0)由已知條件可得eq blc(avs4alco1(f(b,a)f(1,2)，,f(16,a2)f(3,b2)1，)解得eq blc(avs4alco1(a24，,b21，)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,4)y21.答案：eq f(x2,4)y2116解析：法一：yxln x，y1

15、eq f(1,x)，yeq blc|(avs4alco1(,x1)2.曲線yxln x在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為y12(x1)，即y2x1.y2x1與曲線yax2(a2)x1相切，a0(當(dāng)a0時(shí)曲線變?yōu)閥2x1與已知直線平行)由eq blc(avs4alco1(y2x1，,yax2（a2）x1，)消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a法二：同法一得切線方程為y2x1.設(shè)y2x1與曲線yax2(a2)x1相切于點(diǎn)(x0，axeq oal(2,0)(a2)x01)y2ax(a2)，yeq blc|(avs4alco1(,xx0)2ax0(a2)由eq blc(avs4alco1(2ax0

16、（a2）2，,axeq oal(2,0)（a2）x012x01，)解得eq blc(avs4alco1(x0f(1,2)，,a8.)答案：8三、解答題(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17解：(1)由正弦定理，得eq f(AD,sin B)eq f(BD,sin BAD)，eq f(AD,sin C)eq f(DC,sin CAD).因?yàn)锳D平分BAC，BD2DC，所以eq f(sin B,sin C)eq f(DC,BD)eq f(1,2).(2)因?yàn)镃180(BACB)，BAC60，所以sin Csin(BACB)eq f(r(3),2)cos Beq f(1,2)sin B.由(

17、1)知2sin Bsin C，所以tan Beq f(r(3),3)，所以B3018解：(1)如圖所示通過(guò)兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”由直方圖得P(CA)的估計(jì)值為(0.010.020.03)100.6，P(CB)的估計(jì)值為(0.0050.02)100.25.所以A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大19解：(1)

18、交線圍成的正方形EHGF如圖所示(2)如圖，作EMAB，垂足為M，則AMA1E4，EB112，EMAA18.因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形，所以EHEFBC10.于是MHeq r(EH2EM2)6，AH10，HB6.故S四邊形A1EHAeq f(1,2)(410)856，S四邊形EB1BHeq f(1,2)(126)872.因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面分成兩個(gè)高為10的直棱柱，所以其體積的比值為eq f(9,7)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,9)也正確).20解：(1)由題意有eq f(r(a2b2),a)eq f(r(2),2)，eq f(4,a2)eq f(2,b2)1，解得a28，b

19、24.所以C的方程為eq f(x2,8)eq f(y2,4)1.(2)證明：設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入eq f(x2,8)eq f(y2,4)1，得(2k21)x24kbx2b280.故xMeq f(x1x2,2)eq f(2kb,2k21)，yMkxMbeq f(b,2k21).于是直線OM的斜率kOMeq f(yM,xM)eq f(1,2k)，即kOMkeq f(1,2).所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值21解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)eq f(1,x)a.若a0，則f(x)0，所以f(

20、x)在(0，)上單調(diào)遞增若a0，則當(dāng)xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,a)時(shí)，f(x)0；當(dāng)xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，)時(shí)，f(x)0時(shí)，f(x)在xeq f(1,a)處取得最大值，最大值為feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)lneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)ln aa1.因此feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)2a2等價(jià)于ln aa10.令g(a)ln aa1，則g(a)在(0，)上單調(diào)遞增，g(1)0.于是，當(dāng)0a1

21、時(shí)，g(a)1時(shí)，g(a)0.因此，a的取值范圍是(0，1)請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)22解：(1)證明：由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分線又因?yàn)镺分別與AB，AC相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，所以AEAF，故ADEF，從而EFBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分線又EF為O的弦，所以O(shè)在AD上連接OE，OM，則OEAE.由AG等于O的半徑得AO2OE，所以O(shè)AE30.因此ABC和AEF都是等邊三角形因?yàn)锳E2eq r(3)，所以AO4，OE2.因?yàn)镺MOE2，DMeq f(1,2)MNeq r(3)，所以O(shè)D1.于是AD5，ABeq f(10r(3),3).所以四邊形EBCF的面積為eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(10r(3),3)eq sup12(2)eq f(r(3),2)eq f(1,2)(2eq r(3)2eq f(r(3),2)eq f(16r(3),3).23解：(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2y22eq