空間向量與立體幾何

1、第三章空間向量與立體幾何測(cè)試十一空間向量及其運(yùn)算AI學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .會(huì)進(jìn)行空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算.會(huì)利用空間向量基本定理處理向量共線，共面問題以及向量的分解.會(huì)進(jìn)行空間向量數(shù)量積的運(yùn)算，并會(huì)求簡(jiǎn)單的向量夾角.II基礎(chǔ)性訓(xùn)練一、選擇題1.在長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1D1 中，BA + BC + DD =()2.(A) DB1 1(C) DB1(B) DB1(D) BD1平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC和BD的交點(diǎn)，若AB = a, AD = b, AA】=c，則下列式子中與叩相等的是()11(a) a + b+c2211(C)a + - bc TOC o 1-5 h z

2、 22、(B) a + b - c211(D)a b+c223.4.在平行六面體ABCD-A1B1ClD1中，向量AB、AD、BD是()(A)有相同起點(diǎn)的向量(B)等長(zhǎng)的向量(C)共面向量(D)不共面向量已知空間的基底禮，/，k，向量 a=i+2/+3k，b=2i+j+k，c=-i+mjnk，若向量c與向量a，b共面，則實(shí)數(shù)m+n=()(A)1(B)-1(C)7(D)-75.在長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=1, AD=2, AA1 = 3，則 BD- AC1 5.(A)l(B)0(C)3(D)3二、填空題 在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1D1 中，化簡(jiǎn) AB + AD AA1 =

3、. 已知向量i, j, k不共面，且向量a=mi5jk, b = 3i+j+rk,若allb，則實(shí)數(shù)m=, r=.平行六面體ABCDAlB1ClD1中，所有的棱長(zhǎng)均為2,且aB - CC =2，則V aB , CC =；異面直線AB與CC1所成的角的大小為. 已知i，j，k是兩兩垂直的單位向量，且a=2ij+k，b=i+j3k，則a b=.平行六面體ABCD A1B1C1D1中，所有棱長(zhǎng)均為1，且ZAAB=ZAAD=60，AB AD，則AC1的長(zhǎng)度為.三、解答題如圖，平行六面體 ABCDAlB1ClD1 中，AB = a, AD = b, AA】=C，E 為 A1D1 中點(diǎn)，用基底a，b，c表

4、示下列向量 DB , BE, AF ；(2)在圖中畫出DD + DB + CD化簡(jiǎn)后的向量.112.已知向量a=2i+j+3k,b=ij+2k，c=5i+3/+4k，求證向量a，b，c 共面.13.正方體ABCDAlB1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，E為CC1中點(diǎn)，求AB - BC ；求 AB - BE, cos AB , BE.m拓展性訓(xùn)練14.如圖，點(diǎn)A是BCD所在平面外一點(diǎn)，G是BCD的重心, 求證：AG = 3(AB + AC + AD).(注：重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且CG : GE=2 : 1)第三章空間向量與立體幾何測(cè)試十一空間向量及其運(yùn)算A TOC o 1-5 h z DC BM

5、= BB + BM =-c +1 bD = -c + (AD - aB) = -1 a + -b -c .i 12222c Ad - Ab = BD = BD,. Ab、BD 共面.B c=a+b=T+3/+4k=i+時(shí)一nk, m = 3, =一4, m+n= 1.hh*hC BD A? = (AD - AB) (AB + AD + AA) = AD 2 - AB 2 + (AD - AB) AA=1 AD I2 -1 AB I2 +0 = 3 .6. AB + AD - AA1 = AC- AA】=A】C .17 . m = 15 , r = - 5 .120； 60 .一2 .10 .

6、5;I AC I2 = (AB + AD + AA )218=AB 2 + AD 2 + AA+ 2 AB AD + 2 AD AA + 2 AB AA = 1 + 1 + 1+0+2cos60+2cos60=5 . TOC o 1-5 h z 1 -Tt. 1. 11 11.(1) DB = a-b+c;BE = BA + AA + A E = -a+c + - AB = -a + b+c11.AF = AB + BF = AB + BB + BF = a + c + !(BC-BB ) = a + -b +1 c .112122(2) DD + DB + CD = DD + (CD + D

7、B) = DD + CB = DD + Da = DA .1111111解：設(shè) c=ma+nb，貝95i+3j+4k=m (2i+j+3k) +n (ij+2k)=(2mn)i+ (mn)j+ (3m+2n)k,2m - n = 5cm = 2 m一n = 3 ，解得,所以c=2ab,所以向量a, b, c共面.I n = -13m + 2n = 4113. AB - BC = (AB + BB ) - (bC + CC )1111AB - BC + AB - CC + BB - BC + BB - CC = 0 + 0 + 0 +1 = 111111AB1 - BE = (AB + BB)

8、- (BC + CE)=AB - BC + AB - CE + BB - BC = BB - CE =0 + 0 + 0 +1 = 1 .2 25AB BE % 1(I AB 1=扣 2,1 BE 1= ，* = | .溫| 誕 | = %14.證明. AG = AC + CG 2 2 111 CG = -CE = - -(CB + CD) = _(CB + CD) = _(CA + AB + CA + AD)3233 aG = AC + 3(2Ca + AB + AD) = 3(AB + AC + AD).測(cè)試十二空間向量及其運(yùn)算BI學(xué)習(xí)目標(biāo)會(huì)進(jìn)行向量直角坐標(biāo)的加減，數(shù)乘，數(shù)量積的運(yùn)算.掌握

9、用直角坐標(biāo)表示向量垂直，平行的條件.會(huì)利用向量的直角坐標(biāo)表示計(jì)算向量的長(zhǎng)度和兩個(gè)向量的夾角.II基礎(chǔ)性訓(xùn)練一、選擇題a=（2，3，1），b= （2，0，3），c= （0，0，2），則 a+6b8c=（）（A）（14，3，3）（B）（14，3，35）（C）（14， 3， 12）（D）（ 14， 3， 3） 下列各組向量中不平行的是（）3.4.5.(A)a=(1, 2, 23.4.5.(A)a=(1, 2, 2), b=(2, 4, 4) (C)e=(2, 3, 0), f=(0, 0, 0)已知向量a=(2,1, 3), b= (4, 2,(A) 2(B)2與向量(一1,2, 2)共線的單位向量

10、是(1 2 21 2 2(a)(3，罕-)和(-,-,-)1221 2 2(C) (3，-，-)和(-3，-，-)若向量a= (12),b=(2,12)(A)2(B)2(B)c=(1, 0, 0), d=(3, 0, 0)(D)g=(2, 3, 5), h=(16, 24, 40) x),若 ab,則 x=()1010(D) - y)12 2(B)(3,3，-3)1 2 2(D)(-3，-3,3)-，工-人、，8、一,且a與b的夾角余弦為9,則久等于(2 (D)2 或-55二、填空題,I AB | =已知點(diǎn)4(3, 2, 1),向量AB = (2, 1, 5),則點(diǎn),I AB | =已知 3(

11、2,3, 1)3x=( 1, 2, 3),則向量x=. 若向量a= (2, 1,2), b=(6,3, 2),則 cos=已知向量a= (1, 1, 0), b= ( 1, 0, 2),且ka+b與2ab互相垂直，則k值是若空間三點(diǎn)4(1, 5, 2), B(2, 4, 1), C(p, 3, q+2)共線，則p=, q=三、解答題已知向量a= (1,1, 2), b= (2, 1, 1), c= (2,2, 1),求(a+c) a；I a2b+c I；cosa+b, c.已知向量 a=(2,1, 0), b= (1, 2,1),求滿足ma且mb的所有向量m.若Im 1= 2l30，求向量m.

12、已知向量a= (2, 1,2), b= (1, 2,1), c= (x, 5, 2),若c 與向量a, b 共面， 求實(shí)數(shù)x的值.14.直三棱柱ABCAlB1Cl 的底面ABC 中，CA = CB=1,ZBCA = 90，棱AA1=2, M、 N分別是A1B1，A1A的中點(diǎn)。如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.求BN求BN的坐標(biāo)及BN的長(zhǎng);求cos 的值; (3)求證：A1BLC1M.測(cè)試十二空間向量及其運(yùn)算BAD b=2a =aHb； d=3cndc；而零向量與任何向量都平行.C 4. A5.cos =冬=6 X = 8,-2 或義 la llb l 3、X2 + 5.6.(5.=7 11-516.(

13、5.=7 11-51, 6), r 30 7. x = (,一,0) 8. cos V a,b = 219.10.p=3, q=2211.(a + c) -a = 12;l a - 2b + c = v 99 ； cosa + b,c11.m a = 0f2 x - J = 012. (1)設(shè)m= (x, j, z)由已知得jm.b = 0，j x + 2 z = 0，設(shè)x=a，則y=2a, z=5a,所以 m= (a, 2a, 5a)(aER). l m l=a2 + 4a2 + 25a2 = 230 ,得 a=2,所以 m= (2, 4, 10)或 m=(2,4,10).因?yàn)閏與向量a,

14、b共面，所以設(shè)c=ma+nb(m, nER)x = -2m + nm = -3(x, 5, 2) =m (2, 1, 2)+n(1, 2, 1), 5 = m + 2n ，所以 n = 42 = -2m - nj x = 10(1)解：依題意得B(0, 1, 0), N(1, 0, 1), BN = (1,-1,1) l BN fQ - 0)2 + (0 -1)2 + (1 - 0)2 =松.(2)解：A1(1, 0, 2), B(0, 1, 0), C(0, 0, 0), B1 (0, 1, 2),Z. BA1 = (1,-1,2), CB = (0,1,2), B4 . CB1= 3,1

15、BA 1= 6,1 CB=t5BA - CB % 30.*. cos = 11 = 01 1(3)證明：,.，C(0, 0, 2), M(2,2,2)， AB = (-1,1,-2),CM = (1,1,0). AB-CM = 0 ,A1BCM. i 2 2 測(cè)試十三 直線的方向向量與直線的向量方程I學(xué)習(xí)目標(biāo)會(huì)寫出直線的向量參數(shù)方程以及利用它確定直線上點(diǎn)的坐標(biāo).會(huì)用向量共線定理處理四點(diǎn)共面問題.會(huì)利用直線的方向向量和向量共線定理證明線線平行、線面平行，線線垂直、線面 垂直.會(huì)利用向量求兩條異面直線所成的角.II基礎(chǔ)性訓(xùn)練一、選擇題1.向量OA = (1, 2, 0), OB =(1, 0, 6

16、)點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()2.(A)(0, 2, 6)已知點(diǎn)A(2,2,(B)(2,2, 2.(A)(0, 2, 6)已知點(diǎn)A(2,2,2-4), B(1, 5,1)，若 OC = AB，則點(diǎn) c 的坐標(biāo)為()(A) (2,14 10T(A) (2,14 10T,T14 100)(-2,耳,-3)14 1014 10(C)(2,- ，;)(D)(-2，-,；)333 33.下列條件中，使點(diǎn)M與點(diǎn)A, B, C 3.(A) DM = 2OA - OB - OC(B) DM = 1 oA +1 oB +1 oC532(C) MA 2MB + MC = 0(D) (C) MA 2MB

17、 + MC = 04.正方體ABCD A1B1ClDl中，棱長(zhǎng)為2, O是底面ABCD的中心，E, F分別是CC1, AD 的中點(diǎn)，則異面直線OE與FD1所成角的余弦值為()5.而 (Ar已知 A(5.而 (Ar已知 A(0, 0, 0)(A)(2,3,1)v15工4(C)52(D) 3B(1, 1, 1), C(1. 2(B)(1,1,1),下列四個(gè)點(diǎn)中在平面ABC內(nèi)的點(diǎn)是(2)(C)(1,2,1)(D)(1,0,3)二、填空題已知點(diǎn)4(1, 2, 0), B(2, 1, 3),若點(diǎn)P(x, y, z)為直線AB上任意一點(diǎn)，則直線 AB的向量參數(shù)方程為(x, y, z)=，若AP - 2Bp

18、時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.已知A, B, C三點(diǎn)不共線，O是平面外任意一點(diǎn)，若有OP = 5 OA + 3 OB +人OC確定 的點(diǎn)與A, B,C三點(diǎn)共面，則 U.若直線&且它們的方向向量分別為a=(2, y,6)，b=(3, 6, z),則實(shí)數(shù)y+z=正方體ABCDA1B1ClD1的棱長(zhǎng)為2, M是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在CC1上，且D1MAN, 則NC的長(zhǎng)度為.正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1 = 2,則A1C與BC1所成角的余弦值為三、解答題直三棱柱 ABCA1B1C1 中，匕ACB=90, AC=BC=CC1 = 1.求異面直線AC1與CB1所成角的大小;證明：BC1AB1.12.如圖，已

19、知四棱錐PABCD的底面為正方形，PAL平面ABCD, PA= AD, E, F分別是AB, PC的中點(diǎn).求證：EF上平面PCD.13.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC=BC=CC1，ACBC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).求證：ACJ平面CDB1；求異面直線AC1與B1D所成的角的大小.14.正方體ABCD-A1B1C1D1中，M, N分別是AB, A1D1的中點(diǎn)，求證：MN平面BBRD.C.C.測(cè)試十三 直線的方向向量與直線的向量方程1.C 2. B 3. C MC = -MA + 2MB1.4. B如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz, FD = （L。，2）， .15OE = （-1,1

20、,1）, Icos 1=宇.BB5.D AD = 2AB - AC所以向量AD, AB, AC共面，點(diǎn)(1，0，3)在平面ABC5.（x，y，z） = （1，2，0）+r（-3，-1，3）； （-5, 0，6），此時(shí) t=2. TOC o 1-5 h z 21 2；因?yàn)橐? + 人=1 .15 5 35.9. 1.1彳如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則 CA； = (f3,1,2),BC =(拓,1,2),1Icos 1= 411.解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz則 CA； = (f3,1,2),BC =(拓,1,2),1Icos 1= 411.解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz則

21、A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), B1(O, 1, 1), C1 (0, 0, 1)(1) AC廣(-1,0,1), CB1 = (0,1,1),cos = -1 ._ = 2 ,異面直線AC1與CB1所成角為60. BC1=(OU), AB1=(Tm,得 bc1 - ab1=。,所以 bc1ab1.12.證：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)AB=2,則：A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), .E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，.E(1, 0, 0), F(1, 1, 1), EF = (0,1,

22、1)CD = (-2,0,0), CD - EF = (-2,0,0) (0,1,1) = 0.EFCD.PD = (0,2,-2), PD - EF = (0,2,-2) - (0,1,1) =0 :,EFPD.因?yàn)?PDHCD=D,EF 平面 PCD.解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz,設(shè)AC=BC=CC1 = 2，貝C(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C1 (0, 0, 2), B1(0, 2, 2), D(1, 1, 0). 設(shè)BC1與B1C的交點(diǎn)為E,則E(0, 1, 1).DE = (-1,0,1),、= (-2,0,2), DE = 2 A?

23、 , ADE#AC1. DE u 平面 CDB1, AC1 *平面 CDB1,AAq平面 CDB (2)設(shè)異面直線AC1與B1D所成的角為0 ,AC1 = (2 0, 2),叩=(1,1,2),、.3cos0 =1 cos 1，所以0 =30異面直線AC1與B1D所成的角為3014.設(shè) AB = a, AD = b, AA = c11111 11因?yàn)镸N *平面BB1D1D 所以MN平面BBDD.測(cè)試十四平面的法向量和平面的向量表示則 MN = MA + AA + A N = - a + c 11因?yàn)镸N *平面BB1D1D 所以MN平面BBDD.測(cè)試十四平面的法向量和平面的向量表示I學(xué)習(xí)目標(biāo)

24、會(huì)求平面的法向量.會(huì)利用平面的法向量證明兩個(gè)平面平行和垂直問題.II基礎(chǔ)性訓(xùn)練一、選擇題過點(diǎn)A(2,5, 1)且與向量a= ( 3, 2, 1)垂直的向量()(A)有且只有一個(gè)(B)只有兩個(gè)且方向相反(C)有無(wú)數(shù)個(gè)且共線(D)有無(wú)數(shù)個(gè)且共面設(shè)平面a內(nèi)兩個(gè)向量的坐標(biāo)分別為(1, 2, 1), ( 1, 1, 2),則下列向量中是平面a的 法向量的是()(A)(1,(A)(1,2,5)(B)(1,1,1) (C)(1,1,1)(D)(1,1,1)3.已知空間中三點(diǎn)4(0, 2, 3), B(2, 1, 6), C(1,1, 5),若向量a分別與AB, AC都垂直，且I a 1= 3，則a=()4.

25、(A)(4.(A)(1, 1, 1)(B)(1,1, 1)(C)( 1, 1, 1)(d)( 1, 1, 1)或(1, 1, 1)已知a P，平面a與平面P的法向量分別為m=(1,2, 3), n=(2, 3入，4),則入 =()5(A) 35(b) - 37 (C)-7(D) - 3 平面a的法向量為m,若向量AB 1 m，則直線AB與平面a的位置關(guān)系為()(A) AB ua(B)ABa(C) AB ua 或 ABa(D)不確定二、填空題已知a &，平面a與平面6的法向量分別為m, n,且m=(1,2, 5), n=(3, 6, z)，則 z=.7.如圖，在正三棱錐7.如圖，在正三棱錐S A

26、BC中，點(diǎn)O是ABC的中心，點(diǎn)D是棱BC的中點(diǎn)，則平面 ABC的一個(gè)法向量可以是，平面SAD的一個(gè)法向量可以是.若A(0, 2, 1), B(1, 1, 0), C(2, 1, 2)是平面a內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面a的法向量a= (x, y, z),貝9 x ： y ： z=.如圖AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓O上非A, B的任意一點(diǎn)，則圖中直角三角形共有 個(gè).三、解答題三、解答題(2)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出(1)中三個(gè)法向量的坐標(biāo).11.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PDL底面ABCD, AD=PD=2. AB =4, E, F分別為CD,PB

27、的中點(diǎn).求平面AEF的一個(gè)法向量的坐標(biāo).12.如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2, AA1=4, E, F, M, N分另是A1D1， D1D, BC, BB1 的中點(diǎn).求證：平面EFq 平面AMN.13.13.M, N分別是DC, CC, BC中點(diǎn).正方體 ABCD-A1B1 C1D1 中，P 求證：平面PAAL平面MND.測(cè)試十四 平面的法向量和平面的向量表示1. D 2. B 3. D 4. C 5. C 6.-15 7. OS；BC8. x ： j ： z=2 ：-1 ： 3 9. 4 個(gè)， PAC,APAB,AABC,APBC 10.解：（1）由正方體可得：DD

28、1平面ABCD, ABL平面ADD,平面ABCD的一個(gè)法向量為DD, 平面ADD1A1的一個(gè)法向量為AB ,連接AC, ACBD, ACBB1，得AC平面 BBRD, 平面BDD1B1的一個(gè)法向量為AC .如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,玨C可得D1（0, 0, 2）, A（2, 0, 0）, B（2, 2, 0）, C（0, 2, 0）.DD = （0,0,2）, AB = （0,2,0）, AC = （-2,2,0）11.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)AD = 2,可得A（0, 2, 0）, B（4, 2, 0）, C（4, 0, 0）, P（0, 0, 2）, E（2, 0,

29、 0）, F（2, 1, 1）.平面AEF的一個(gè)法向量為m=（x, y, z）,AE = （2,-2,0）, AF = （2,-1,1）,|2 x - 2 y = 0，令x=1,得y=1, z=-1, m= （1, 1,-1）.2 x - y + z = 012.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,可得A(2, 0,0), B(2,2, 0), C(0,2, 0), B1(2,2,4),。1(0, 0, 4),C1 (0, 2,4), E(1, 0,4), F(0, 0,2),M(1, 2, 0), N(2, 2, 2).平面EFC1的一個(gè)法向量為m=(x, y, z),EW =(T2，)，E

30、F = (T0,-2),EC - m = 0所以一1,所以EF - m = 0令 y = 1,得 x=2, z= 1, m= (2, 1,-1). 設(shè)平面AMN的一個(gè)法向量為n=(a, b, c).I a + 2b = 0AM =(1，2,0)，AN =(0,2,2),所以Lb + 2c = 0令 b=1,得 a = 2, c= 1, n= (2, 1,1). 因?yàn)閙=n,所以平面EFq平面AMN.13.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)AB=2,可得A(2, 0,0), B(2, 2,0), C(0,2,0), B1(2,2, 2),C1 (0, 2, 2),P(0, 1, 0),M(0,

31、 2,1),N(1, 2,0).平面PA A的一個(gè)法向量為m= (x, y, z), 1AA = (0,0,2), AP = (2,1,0),12 z = 0令 x=1,得 y=2, m= (1, 2, 0),2 x + y = 0同理，平面AMN的一個(gè)法向量為n=(a, b, c),.一|a + 2b = 0DN = (1,2,0),DM = (0,2,1)，所以八.12b + c = 0令 b=1,得 a=2, c=2, n= (2, 1, 2).因?yàn)閙 n = 0,所以mn,所以平面RA1A平面MND.測(cè)試十五直線與平面的夾角、二面角I學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .會(huì)利用定義求直線與平面的夾角，二面角.

32、會(huì)利用平面的法向量求直線與平面的夾角，二面角.會(huì)根據(jù)所給的幾何體，合理的建立空間直角坐標(biāo)系解決相關(guān)角度問題.II基礎(chǔ)性訓(xùn)練一、選擇題n若直線l與平面a成角為3，直線a在平面a內(nèi)，且直線l與直線a異面，則直線l與直 線a所成的角的取值范圍是()nn 2nn nnn(A) (0, (B),(C) -，一(D) (0, TOC o 1-5 h z 33 33 22n已知二面角a-l-p的大小為y，異面直線a，b分別垂直于平面a，p，則異面直線a，b所成角的大小為()(a) n(b) n(c) n)2n6323 正方體ABCD-A1B1C1D1中，BC1與平面BDD 所成角的大小為()nnnn(A)(

33、B)(C)三(D) s6432正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1中點(diǎn)，平面AfiC與平面ABCD所成二面角的 余弦值為()寸2必63(A)(B)3)5. ABCD為正方形，E是AB中點(diǎn)，將 ADAE和CBE折起，使得AE與BE重合，記A， B重合后的點(diǎn)為P，則二面角D-PE-C的大小為()(A) (B) j(C) ?(D) 6432二、填空題2 一設(shè)n1, n2分別為一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面的法向重，右V氣,氣=3 n，則此二面角的 大小為.棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AlB1ClDl，P是棱CC1上一點(diǎn)，CP=m，且直線AP與平面2J1BBRD所成的角的正弦值為廠，則m=. 正四棱

34、錐的底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為3,則側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為.在三棱錐O-ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩互相垂直，且OA = OB=OC，M是AB 的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成角的余弦值是.如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，D是A1C1的中點(diǎn)，則直線AD 與平面B1DC所成角的正弦值為.三、解答題11.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2, E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點(diǎn)，求BC1與平面A1EF 所成角的大小12.正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，求二面角AEC-B的余弦值.13.正三棱柱13.正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1,

35、 D是BC的中點(diǎn)，求直線BB1與平面AC1D所成的角余弦值;（2）求二面角C-AC-D的大小.求AC與平面SBC所成角的大小.（2）求二面角A-SC-B的大小.測(cè)試十五直線與平面的夾角、二面角1. C 2. BA 建立空間直角坐標(biāo)系，平面BDD1B1的法向量為AC .CC EPLPD, EPPC,ZDPC 是二面角 D-PE-C 的平面角，且PD=PC=CD，二面n角的平面角的大小為3.6.76.7.3?；? .m = 2 .建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)P（0，1， m），得AP = （-1，1， m），平面BB1D1D的法向量為AC =（-1，1，0），設(shè)AP與平面BB1D1D所成角為。

36、，則sir =Icos Icos 11=丁410- 511.解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz, AB=2,則 A (2, 0, 2), E(1, 0, 0), F(2, 1, 0), B(2, 2, 0),C1(0, 2, 2),BC1(-2,0,2),EF = (LI,0),AE = (1,0,2).1設(shè)平面A1EF的法向量為m=(x, y, z),令 z=1,則 x=-2, y=2,所以 m=(2, 2, 1).2設(shè)BC1 與平面A1EF所成角為。，則sin9 =I cos vm,BCI=n ,nBC1與平面A1EF所成角的大小為-.12.解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)AB

37、=2,則 A(2, 0, 2), E(2, 1, 0), B(2, 2, 0), C(0, 2, 0). 因?yàn)镈D1平面EBC,所以平面EBC的法向量為DD = (0,0,2).1設(shè)平面A占。的法向量為m=(x, j, z),-2x + y = 0 -2x + y = 0 y-2z = 0EC = (-2,1,0),AE = (0,1-2),則m -DD _m -DD _ v6=-6-令 z=l,貝J y=2, x=l,所以 m= (1, 2, 1), cos =1 mDD IiJ 6因?yàn)槎娼茿ECB為鈍角，所以二面角A-EC-B的余弦值為-彳-.13.解：取8C的中點(diǎn)如圖，建立空間直角坐標(biāo)

38、系D-xyz，設(shè) AB=BBl = 2,A(73,0,0), B(0, 1, 0), C(0, -1, 0), q(0, -1, 2),設(shè)平面ACD的法向量為m=(x, y, z),DA = (5,0,0),DC = (0-1,2),x = 0_則 - .令 z=l,則 y=2,所以 m= (0, 2, 1).-y + 2z = 0設(shè)直線昭與平面饋。所成的角為。，叫=(0,0,2),m則 sin0 =1 cos 1= 一 1 mBB Ii= = 5,所以AC與平面SBC所成角的余弦值為設(shè)平面ACC.的法向量為=(x, y, z)1 ”AC = (75,1,0), CC =(0,0,2),則1令

39、x=i,貝ijy = j3,所以n = (l,-3,0),cos=-=一土一15 因?yàn)槎娼荂Aq。為銳角，所以二面角ASCB余弦值為514.解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系14.解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，設(shè)AB=1,則 B(0, 0, 0), A(0, 1, 0), C(1, 0, 0), S(0, 1, 1).(1)設(shè)平面SBC的法向量為m=(x, y, z),SB = (0,1,1), BC = (1,0,0)I y + z = 0則=0 .令 z=1，則y=-1，所以 m=(0,-1，1).設(shè)AC與平面SBC所成角為0 ,AC = (1,-1,0),貝g sin0 =1 co

40、s 1= m = _L .I m II AC I 2兀AC與平面SBC所成角為丁 .6(2)設(shè)平面ASC的法向量為n=(x, y, z),I x y = 0AS = (0,0,1), AC = (1,-1,0)則:cos vm,ncos vm,n =三三=-1I m II n I 2令 x=1,則 y=1,所以 m= (1, 1, 0),因?yàn)槎娼茿-SC-B為銳角，所以二面角A-SC-B為3 .測(cè)試十六距離(選學(xué))I學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握點(diǎn)到直線距離，點(diǎn)到平面的距離的向量公式.會(huì)求兩點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離.II基礎(chǔ)性訓(xùn)練一、選擇題已知au a , AW a，點(diǎn)A

41、到平面a的距離為m,點(diǎn)A到直線a的距離為，則()(A)mNn(B)mn(C)mWn(D)mn正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1, M是棱A1A的中點(diǎn)，O是BD1的中點(diǎn)，則MO的 長(zhǎng)為()；3克一況(A) -3(B) -(C)氣：2(D) -3-矩形ABCD中，AB=3, BC=4, BAL平面ABCD, PA=1,則P到矩形對(duì)角線BD的距離（13(A) y(B (C)5 *29(D離（13(A) y。匕J已知直線o平面a,且a與平面a的距離為也那么到直線a的距離與到平面a的距離 都等于d的點(diǎn)的集合是（）（A） 一條直線（B）三條平行直線 （C）兩條平行直線 （D）兩個(gè)平面如圖，正方體A

42、BCD-A1BlClDl的棱長(zhǎng)為1, O是底面AfD的中心，則O到平面 ABC1D1的距離為（）（A） 1（B）亨（C）亨（D）二、填空題棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)一點(diǎn)P,它到共頂點(diǎn)的三個(gè)面的距離分別為1, 1, 3,則點(diǎn)P到正 方體中心O的距離為.線段AB在平面a外，A, B兩點(diǎn)到平面a的距離分別為1和3,則線段AB的中點(diǎn)C到 平面a的距離為.二面角a -Z-p為60，點(diǎn)AEa,且點(diǎn)A到平面P的距離為3,則點(diǎn)A到棱l的距離為 正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,則直線BC到平面AB1C1的距離為.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1, C, D分別是兩條棱的中點(diǎn)，A, B, M是頂點(diǎn)，那么點(diǎn)M到 截面AB

43、CD的距離是.三、解答題11.正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2, BB1=4，點(diǎn) E, F 分別是 CC, A1D1 的中點(diǎn).DiC,DiC,求EF的長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)A到直線EF的距離.12.正四棱錐S-ABCD的所有棱長(zhǎng)均為2, E, F, G分別為棱AB, AD, SB的中點(diǎn).求證：BD平面EFG,并求出直線BD到平面EFG的距離;求點(diǎn)C到平面EFG的距離.13.長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1 中，AD=1, AB=2, BB=3. 求兩個(gè)平行平面AB1D1與平面BDC1之間的距離.如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC/所截面而得到的，其中 AEC1F

44、為平行四邊形且 AB=4, BC=2, CC1 = 3, BE=1.求BF的長(zhǎng)；求點(diǎn)C到平面AECF的距離.測(cè)試十六距離(選學(xué))1. C 2. B 3. A 4. C 5. B插 以共頂點(diǎn)的三條棱為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1, 1, 3),中心 O 的坐標(biāo)為(2, 2, 2),所以 PO = (1,1,-1),1 PO I=t3 .1或2分A, B兩點(diǎn)在平面a同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論.2y39.109.10.a如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，可得AM =(0, 1, 0),平面ABCD的法向量為m (2, 2, 1),解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則 A (2, 0, 0)

45、, E(0, 2, 2), F(1, 0, 4).EF =(0,2, 2),所以I EF I= .(12 + 22 + (-2)2 = 3 .7AF = (-1, 0, 4),I cos I=.3*17所以 sin =2% 26.,、. 2d =1 AFI sin 1= 一，即點(diǎn) A 到直線 EF 的距離為一v 26 .3氣.17312.解：（1）因?yàn)镋, F分別為棱AB, AD的中點(diǎn)，所以EFBD.又EFu平面EFG, BD二 平面EFG,所以BD平面EFG.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 A G;2則 A G;2，0, 0), B(0、舊,0)D (0, 2 , 0), v 20)S(0, 0

46、,略2 ), E0)A2v2g(0，弁，2).AAp八 -二p2 八-v2設(shè)平面EFG的法向量為m= （xj, z), EF = (0,一% 2,0), EC =設(shè)平面EFG的法向量為m= （x可得 m=(1, 0, 1),-,巨.巨一一 一 IEB m I 1EB =（F-F-，0），所以點(diǎn)B到平面EFG的距離為d = 2 2I m I 2即直線BD到平面EFG的距離1 .(3* v2 I EC m I 3(2) EC = (，一亍,0), d =22I m I213.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A(1, 0, 0), B(1, 2, 0), B1(1, 2, 3), D1(0,0

47、, 3), C1(0, 2, 3),設(shè)平面 AB1D1 與平面BDC1 的一個(gè)法向量為m=(x, y, z), AD(-1, 0, 3), DB1 =(1, 2, 0).一x + 3z = 0，設(shè) x=6，則 y = 3, z=2,x + 2 y = 0所以 m=(6,3, 2).平面AB1D1與平面BDC1之間的距離等于點(diǎn)到B平面AB1D1的距離，AB =（0, 2, 0）,I AB m I 66所以d =-.平面AB1D1與平面BDC1之間的距離等于亍解：（1解：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,14.解：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,.n.n =(44).則 D(0,

48、 0, 0), B(2, 4, 0),A(2, 0, 0), C(0, 4, 0), E(2, 4, 1), C1 (0, 4, 3).設(shè)，F(xiàn)(0, 0, z).，/AEC1F為平行四邊形，AF = EC,(2, 0, z) = (2, 0, 2).z=2.F(0, 0, 2). BF =(2, 4, 2), I BF I= 26 .(2)設(shè)n1為平面AEC1F的法向量，顯然n1不垂直于平面ADF, 所以設(shè)n1= (x, y, z).由，竺=0，得性:;0，,設(shè)y=1，則x=4, z=4,n AF = 0 2x + 2x = 011In I 11111又 CC = (0,0,3), d = I

49、 CC1 . % | =筆33 .C 到平面 AECF 的距離為 上I3.1.BB1.BB1 = 2,連接B1C,過B作B1C的垂測(cè)試十七角和距離的綜合運(yùn)算(選學(xué))I學(xué)習(xí)目標(biāo)會(huì)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系處理角度和距離的綜合問題.II基礎(chǔ)性訓(xùn)練解答題如圖，長(zhǎng)方體 ABCDA1B1ClD1 中,AB=BC=1, 線交CC1于E,交B1C于F,B求證：A1C平面EBD；求點(diǎn)A到平面A1B1C的距離：求直線DE與平面A1B1C所成角的正弦值.2.已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB#DC,ZDAB=90, /AL底面ABCD, 且 PA=AD=DC= - AB 1 , M 是 PB 的中點(diǎn)。2證明：平面

50、PADL平面PCD；求AC與PB所成的角的余弦值；求平面AMC與平面PMC所成二面角的余弦值.3.如圖，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，匕ABC=90, AB=BC=BB1 = 1,點(diǎn) D 是 A1C 的 中點(diǎn).(1)求A1B1與AC所成的角的大小;求證：8DL平面AB1C；求二面角C-AB-B的余弦值.4.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2, D為CC1中點(diǎn).(1)求證：AB1上平面ABD；求二面角A-A1D-B的余弦值;(3)求點(diǎn)C到平面A1BD的距離.5.在三棱錐S-ABC中，ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SACL平面ABC, SA=SC =2巨，M, N分別為A

51、B, SB的中點(diǎn).證明:ACXSB；求二面角N-CM-B的余弦值;求點(diǎn)B到平面CMN的距離.6.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PBBC, PDLCD，且 PA = 2, E為PD中點(diǎn).求證：P4L平面ABCD；求二面角E-AC-D的余弦值；2(5在線段BC上是否存在點(diǎn)F使得點(diǎn)E到平面PAF的距離為廠？若存在，確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.測(cè)試十七角和距離的綜合運(yùn)算（選學(xué)）1.解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xjz1.1(1)A(0, 0, 0, ), A1(0, 0, 2), E(1, 1, )B(1，0，。)，。(。，1,1/ A1C + (1,1,-2),

52、 BE = (0,1,2), DE = (1,0,).0), C(1, 1, 00), C(1, 1, 0),A1C1BE A1C1DE即拓皿，伯皿.VBEnDE=E 所以 A1C平面 EBD. a O. i 1Li（2）設(shè)平面A1B1C的一個(gè)法向量為m=（x, y, z）,則，空1 = 0.X = 0，令z=1,得m=(0, 2, 1).BC - m = 0y = 2 z10 AA1 =(0, 0, 2),I AA - m I 22 t所以，所求的距離為d = - 飛=甘設(shè)ED與m所成角為。，則 sin 0 =I cos I=1所以直線ED與平面A1B1C所成角的正弦值為5 .設(shè)ED與m所成

53、角為。，則 sin 0 =I cos I=1所以直線ED與平面A1B1C所成角的正弦值為5 .2.解一：（1）B4L 底面 ABCD,PAL AB.VAB AD, ABL底面 PAD.VAB#DC,ADC 底面 PAD.VDC u平面PCD，：.平面PADL平面PCD.解二：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,P(0, 0,P(0, 0, 1), D(1, 0, 0), B(0, 210), C(1, 1, 0), M(0, 1, 丁)2可求出平面PAD法向量為AD =(02, 0),平面PDC法向量為a=(1, 0,1), AD m = 0,所以平面PADL平面PCD.10(2) AC =(1, 1, 0), PB =(0, 2,1), Icos V