簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)應(yīng)用

1、t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移為X,速度為力t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移為X,速度為力則v = - A sin St +甲)則系統(tǒng)動(dòng)能為：E = mv2 =上mA2m2 sin2(ot +甲)k 22系統(tǒng)勢(shì)能為：E = 1 kx2=1 kA2 cos2(mt + 甲)p 22因而系統(tǒng)的總能量為E=E +E = mA2m2 sin2(mt + 甲兒2kA2 cos2(mt + 甲)時(shí)何關(guān)。14-5簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量Energy of Simple Harmonic Vibration引言：作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)，因物體有速度而具有動(dòng)能，因彈簧發(fā)生形變而 具有勢(shì)能，動(dòng)能和勢(shì)能之和就是其能量。一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量能量表達(dá)式推導(dǎo)以彈性振子

2、為例。假設(shè)在x = A cos如t + 甲)k p 2k 考慮到m 2=，則m TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 1E= mA2m 2= kA2 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 2結(jié)論彈簧振子作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量與振 幅的平方成正比。D解釋由于系統(tǒng)不受外力作用，并且內(nèi)力為 保守力，故在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的過程中，動(dòng)能與 勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，總能量保持不變。說明E-A2,對(duì)任何簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)皆成立；動(dòng)能與勢(shì)能都隨時(shí)間作周期性變化， 變化頻率是位移與速度變化頻率的兩倍， 而總能量保持不變；且總能

3、量與位移無動(dòng)能E =E-E k p2.能量曲線注意理解能量守恒和動(dòng)能、勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化過程。二、能量平均值定義：一個(gè)隨時(shí)間變化的物理量f(t),在時(shí)間T內(nèi)的平均值定義為f - TT f （t 懷0因而彈簧振子在一個(gè)周期內(nèi)的平均動(dòng)能為E = T j2mA22 sin偵t + 甲知4 mA 2 2 4 kA2 0因而彈簧振子在一個(gè)周期內(nèi)的平均勢(shì)能為E j kA2 cos2 wt + 平力t kA2 mA220結(jié)論：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能與勢(shì)能在一個(gè)周期內(nèi)的平均值相等，它們都等 于總能量的一半。三、應(yīng)用1.應(yīng)用1記憶振幅公式由能量守恒關(guān)系可得：kA2/2= mv/2+ kx02/2 解之即得：I /、, 2.應(yīng)

4、用2推導(dǎo)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相關(guān)方程在忽略阻力的條件下，作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)只有動(dòng)能和勢(shì)能（彈性勢(shì)能和重 力勢(shì)能），且二者之和保持不變，因而有A EA=x2.應(yīng)用2推導(dǎo)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相關(guān)方程在忽略阻力的條件下，作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)只有動(dòng)能和勢(shì)能（彈性勢(shì)能和重 力勢(shì)能），且二者之和保持不變，因而有A Edt k+Ep將具體問題中的動(dòng)能與勢(shì)能表達(dá)式代入上式，經(jīng)過簡(jiǎn)化后，即可得到簡(jiǎn)諧 運(yùn)動(dòng)的微分方程及振動(dòng)周期和頻率。這種方法在工程實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用。此方法對(duì)于研究非機(jī)械振動(dòng)非常方便。例1.用機(jī)械能守恒定律求彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程。解：彈簧振子在振動(dòng)過程中，機(jī)械能守恒，即 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bo

5、okmark70 o Current Document 11 八mv 2 + kx 2 = kA 2 = C HYPERLINK l bookmark96 o Current Document 22兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得dv 1dxm , 2v + k , 2x 0dt 2dtd2x ,m - v+ k - xv 0dt 2d2 x k 八dt 2+ xdt 2m令 w 2=k m竺+w2x-0dt 2其解為X = A cosMBt + 甲)代入守恒方程可得A=A例2.勁度系數(shù)為奴原長(zhǎng)為/、質(zhì)量為m的勻質(zhì)彈簧，一端固定，另一端系 質(zhì)量為M的物體，在光滑的水平面上作直線運(yùn)動(dòng)，求其運(yùn)動(dòng)方程。解：取物體

6、受力平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向右為x軸正方向，如圖所示，設(shè)f ff FJr r r r. 汗 t Jr下iTm V差很小，這里只平=甲=0,-V I的情形，即兩個(gè)頻率相1 12此時(shí)與A +A之間。振動(dòng)1，=A cos t=A cos 2kv t TOC o 1-5 h z 1101x = A cos t=A cos 2kv t22202x = x + x = A c o 2kv t + A c o 2kv tV +V +v 112=2 A c o 2兀 t c o 2k02 JV +Vt隨時(shí)間變化比cos2k t要緩慢得多，因V -V +Vt隨時(shí)間變化比cos2k t要緩慢得多，因 HYPERL

7、INK l bookmark195 o Current Document 由于 2A cos 2k t1此可以近似地將合振動(dòng)看成是振幅按V -V2A cos 2k 1102緩慢變化得角頻率為V +v的“準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)”。這種兩個(gè)頻率都較大但兩者頻差很小的同方向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成時(shí)，所產(chǎn)生的合振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象稱為拍頻（beat）。第12講機(jī)械振動(dòng)一一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用 即合振動(dòng)的頻率為：土孕！ 合振幅變化的周期：T = 1/|v V TOC o 1-5 h z 1 21拍頻：V = V VI 2用旋轉(zhuǎn)矢量法理解：_假設(shè)V2 V 1，所以A比 、4轉(zhuǎn)動(dòng)得快，當(dāng)氣轉(zhuǎn)到與q 反方向位置時(shí)，一合振幅最小;當(dāng)

8、A轉(zhuǎn)到與A同方向位置時(shí)，合振幅最大，并且這種變化是周期性的。拍的應(yīng)用：用音叉的振動(dòng)來校準(zhǔn)樂器；利用拍的規(guī)律測(cè)量超聲波的頻率；在無線電技術(shù)中，可以用來測(cè)定無線電波頻率以及調(diào)制三、兩個(gè)相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成問題：某質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同頻率的互相垂直方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)x 方向：x = A cosOot + 甲）y 方向：y = A cosCot + 甲）x改寫為：一=cos ot cos 中 sin ot sin 中iy=cosot cos中 一 sin ot sin 中2分別對(duì)上述兩式乘以cost sinst，并相加，可得+ -AA- cos（p 一甲）=sin 2 （p 一甲）121這是橢圓方

9、程，其形狀由分振動(dòng)的振幅AA2和相位差甲=P -甲確定：（1 ） 甲=甲一甲=0時(shí)，A21y = 了 x，軌跡為直線（簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)）；A1（2 ） 甲=p p =兀時(shí)，A21y = -x，軌跡為直線（簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)）;A1A丸（3 ） 甲=p2 P1=-日寸，x2 y2-廠+斗=1，軌跡為橢圓（正橢圓）;A 2 A 212問題：某質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)不同頻率的互相垂直方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)x = A問題：某質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)不同頻率的互相垂直方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)x = A c o 如 t + 甲）V = A cos（W t + 甲）分兩種情2況討論。2T.fT,J，、入3兀，X2 V2（4）甲=甲2-甲時(shí)，a+- = 1,

10、軌跡為橢圓（逆橢圓）。12關(guān)于（3）的說明：V方向的振動(dòng)相位比X方向超前兀/2,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在X方向 達(dá)到最大位移時(shí)，在V方向質(zhì)點(diǎn)正通過原點(diǎn)向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，因此質(zhì)點(diǎn)沿橢圓軌 道運(yùn)動(dòng)的方向是順時(shí)針的，或者說是右旋的。另外，當(dāng)0中兀時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)；當(dāng)兀小中 0時(shí)， 質(zhì)點(diǎn)沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)。四、兩個(gè)相互垂直的不同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成X方向：V方向：合振動(dòng)比較復(fù)雜兩個(gè)分振動(dòng)的頻率相差很?。捍藭r(shí)可以近似地把兩個(gè)振動(dòng)的合成看 成同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，但它們的相位差 隨時(shí)間緩慢地變化，于是合振動(dòng)的軌跡將由 直線變?yōu)闄E圓，又由橢圓變?yōu)橹本€，并循環(huán) 地改變下去。兩個(gè)分振動(dòng)的頻率相差較大，但 有簡(jiǎn)單的整數(shù)比關(guān)系

11、：此時(shí)合振動(dòng)的軌跡為封閉的圖形，稱 為李薩如（Lissajous Figures）圖形。該 圖形的的具體形狀取決于兩個(gè)互相垂直 方向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率之比合初相位，并且 該圖形坐標(biāo)軸的切點(diǎn)之比與頻率之比相 等。用此方法可以測(cè)量一未知振動(dòng)的頻率 與相互垂直方向的兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位 差。 14-7阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振Damped Vibration, Forced Vibration, Resonance簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅不隨時(shí)間變化，這就是說，振動(dòng)一經(jīng)發(fā)生，就能夠永遠(yuǎn)不 停地以相同的振幅振動(dòng)下去。這是一種理想的情況，稱為無阻尼自由振動(dòng)。實(shí)際上，任何振動(dòng)系統(tǒng)都會(huì)受到阻力的作用，系統(tǒng)的能量將因不斷克服阻

12、 力作功而損耗，振幅將逐漸減小。這種振幅隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。 為了獲得所需的穩(wěn)定振動(dòng)，必須克服阻力的影響而對(duì)系統(tǒng)施以周期性外力的作 用。這種振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)。本節(jié)討論這種情況。、阻尼振動(dòng) Damped Vibration引言：消耗系統(tǒng)能量的兩種方式：摩擦阻尼：系統(tǒng)與周圍介質(zhì)或系統(tǒng)內(nèi)部的摩擦，使系統(tǒng)的能量變?yōu)闊崮?；輻射阻尼：振?dòng)向外界傳播而將系統(tǒng)的能量變?yōu)椴▌?dòng)能量。本節(jié)討論第一種阻尼作用下的振動(dòng)情況。什么是阻尼振動(dòng)？振幅隨時(shí)間的變化而減小的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。阻尼振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)（微分）方程在系統(tǒng)的振動(dòng)過程中，振子除了受到彈性力的作用外，還受到粘滯阻力的 作用。當(dāng)物體速度不太大時(shí)，粘滯阻力大小

13、與速度的大小成正比，方向相反。# 廠廠dxf = CvC dt其中C是阻尼系數(shù)，由物體的形狀、大小和周圍介質(zhì)的性質(zhì)而定。在有阻力作 用時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，有d2 x八 dx 7m = C kxdt 2dtk 二 C令一云=2m，則上式可寫成d2xdx . 八+2。一 + 2x=0 dt2dt0其中30是系統(tǒng)的固有角頻率（natural angular frequency）， 0是表征系統(tǒng)阻尼的 大小，稱為阻尼因子，乃越大，阻力越大。討論：阻尼振動(dòng)的微分方程的特征方程（即將eDx形式的解代入此方程，化簡(jiǎn)后可得）為 D 2+2 BD+s 2=0 02 S 2 02 S 2 02 S 2 02 =

14、 S 2 0阻尼較大 阻尼較小 臨界阻尼B土J?2s0D = - ? 討32 ? 2土 - P 0弱阻尼(情況2)解為 x = A e-Pt c o to t + 甲)A0、中：積分常數(shù)，由初始條件確定；o=(o0 -P 2 :阻尼振動(dòng)的角頻率， 由振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率和阻尼因子確定。由振動(dòng)方程可知，阻尼振動(dòng)可看成是振幅為A0e-Pt,角頻率為的振動(dòng)，阻尼振動(dòng)的振幅為 A0e-Pt隨時(shí)間作指數(shù)衰減，阻尼越大，振幅衰減越 快，不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。在阻尼不大時(shí)，可近似地看 成是一種振幅逐漸減小的振動(dòng)，周期為-2兀2兀T = JO2-P 20注意：阻尼振動(dòng)不是嚴(yán)格意義下的周期運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榻?jīng)過一定時(shí)間后，振子

15、不在回到原來的位置。通常稱為準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。2)過阻尼(Over damping，情況1)解為x = Ce一仲-2-oo + C e一P+叩2-o2)可見偏離平衡位置的振子只能緩慢地回到平 衡位置，不再作周期性的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，是一種非周 期運(yùn)動(dòng)。3)臨界阻尼(critical damping 情況 3)解為 x =(C + C t、e-pt振子恰好從準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)榉侵芷谶\(yùn)動(dòng)。與弱阻尼和過阻尼比較，在臨界 阻尼情況下振子回到平衡位置而靜止下來所需時(shí)間最短。此時(shí)，p可以理解為衰減常量(attenuation constant)，它的倒數(shù)稱為弛豫 時(shí)間(relaxation time)，T =1/p，p越大

16、，弛豫時(shí)間越短，則振動(dòng)衰減越快。 4.應(yīng)用減小阻尼：活塞增大阻尼：弦樂器、空氣箱、減振器利用臨界阻尼：阻尼天平、靈敏電流計(jì)：使指針盡快回到平衡位置， 節(jié)約時(shí)間，便于測(cè)量。二、受迫振動(dòng) Forced Vibration引言一切實(shí)際的振動(dòng)都是阻尼振動(dòng)，而且阻尼振動(dòng)最終都將因?yàn)槟芰康膿p耗而 停止下來。為了使系統(tǒng)的振動(dòng)能夠維持下去，要給系統(tǒng)補(bǔ)沖能量。通常是對(duì)系 統(tǒng)施加一周期性外力的作用。這種周期性的外力稱為策動(dòng)力(driving Force )， 或強(qiáng)迫力。在強(qiáng)迫力作用系統(tǒng)發(fā)生的運(yùn)動(dòng)稱為受迫振動(dòng)。如揚(yáng)聲器中紙盆的振 動(dòng)，機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)引起機(jī)坐的振動(dòng)等，都是受迫振動(dòng)。運(yùn)動(dòng)方程設(shè)振子質(zhì)量為m，除受到彈性力-A

17、x，阻尼力-Cu的作用外，還受到強(qiáng)迫力 Hcos(Pt)的作用。其中H是強(qiáng)迫力的最大值，稱為力幅，P為強(qiáng)迫力的角頻率。 根據(jù)牛頓第二定律可知d2 xd2 xdt 2=-C dx - kx+H cos（Pt） dt TOC o 1-5 h z _kCH令2, 0= , h = 則上式可與成 HYPERLINK l bookmark295 o Current Document 0 m2mm HYPERLINK l bookmark298 o Current Document - +2。蟲 + 2x=h cos(Pt) dt2dt0t t + 甲九 A cos(?t +甲x = A e 邛 t co

18、s解的討論:第一項(xiàng)：阻尼振動(dòng)，經(jīng)過一定的時(shí)間后將消失。第二項(xiàng)：與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)形式相同的等幅振動(dòng)，是受迫振動(dòng)的穩(wěn)定解。即：在受迫振動(dòng)過程中，系統(tǒng)一方面因阻尼而損耗能量，另一方面又因周 期性外力作功而獲得能量。初始時(shí)，能量的損耗和補(bǔ)充并非是等量的，因而受 迫振動(dòng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)補(bǔ)充的能量和損耗的能量相等時(shí)，系統(tǒng)才得到一種穩(wěn)定（Stationary solution）（Stationary solution）其運(yùn)動(dòng)方程為x = AcosxPt +中）穩(wěn)定后的振幅為、a=hh+ 邛 2 P 20受迫振動(dòng)位移與強(qiáng)迫力之間的相位差為2 0Pt =-一 2 P 2說明:0說明:穩(wěn)定狀態(tài)下的受迫振動(dòng)的角頻率不是振動(dòng)

19、系統(tǒng)的固有角頻率，而是強(qiáng)迫力 的角頻率；A、中并不決定于系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而是依賴于系統(tǒng)的性質(zhì)、阻尼的大小和強(qiáng)迫力的特性。三、共振 Resonance1.引言：在穩(wěn)定狀態(tài)下，受迫振動(dòng)的振幅與強(qiáng)迫力的角頻率有關(guān)。當(dāng)強(qiáng)迫力的角頻 率P與固有角頻率3 0相差較大時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅較小；而當(dāng)P與3 0相差較 小時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅較大；當(dāng)P為某一定值時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅得到最大值。我們把受迫振動(dòng)的振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為共振。共振角頻率與共振振幅：1）共振角頻率：系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)強(qiáng)迫力的角頻率稱為共振角頻率，用3表示。12 P 2 4 412 P 2 4 4。2 P 2 0=j2 2。hdAd計(jì)算可得2）共振振幅2）共振振幅r2隊(duì)，2 。V 03）共振時(shí)受迫振動(dòng)位移與強(qiáng)迫力之間的相位差( I 77T-平 = arctg -皿 2 平 = arctg -2_0P說明:1）3略小于3,當(dāng)阻尼因子3趨于