初中數(shù)學奧林匹克競賽解題方法大全(配PDF版)第11章相匯總

1、初中數(shù)學奧林匹克比賽解題方法大全(配PDF版)-第11章-相匯總初中數(shù)學奧林匹克比賽解題方法大全(配PDF版)-第11章-相匯總17/17初中數(shù)學奧林匹克比賽解題方法大全(配PDF版)-第11章-相匯總第十一章相像形與面積問題第一節(jié)相像三角形【知識點撥】1、相像三角形的判斷：（1）兩角對應相等，兩個三角形相像；（2）兩邊對應成比率且夾角相等，兩個三角形相像；（3）三邊對應成比率，兩個三角形相像；（4）假如兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比率，這兩個直角三角形相像。2、相像三角形的性質（1）相像三角形的對應角相等，對應邊成比率；（2）相像三角形的對應高的比、對應中線的比、對應角均分線的比、

2、對應周長的比都等于相像比；（3）相像三角形的面積比等于相像比的平方。3、波及的問題及解題思路：證線段成比率、線段相等、線段的和差倍分、角相等；證平行、計算線段長；求三角形的面積。解題時，要注意抓住題設、結論的特色，想法將問題想法與證兩個三角形相像聯(lián)系?！举愵}優(yōu)選】例1、已知正方形ABCD的邊長是5厘米，EFFG，F(xiàn)DDG。求ECG的面積。（2003年河北省比賽題）【說明】在相像形中，計算線段長的主要方法是由線段成比率定理（如平行線分線段成比率定理、相像三角形的性質等）列出含待求線段的比率式，再想法求出待求線段的長。154例2、已知在平行四邊形ABCD中，M、N為AC于P、Q兩點。求AP：PQ：

3、QC的值。（AB的三均分點，DM、DN交于2001年河北省比賽題）【說明】解線段a：b：c的問題，可依據(jù)有關的性質將a、b、c用同一條線段表示出來，再求幾條線段的比。若a、b、c正好可構成一條線段，常用這條線段表示這三條線段。例3、正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，F(xiàn)是邊AB上一點，且AE2EC，F(xiàn)B2AF。求EDF的度數(shù)（2002年河南省比賽題）例4、如圖，四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，直線lBD，且與AB、DC、BC、AD及AC的延伸線分別訂交于點M、N、R、S和P。求證：PMPNPRPS。（1999年山東比賽題）【說明】證明線段成比率的方法有：證兩個三角形相像、等線代換法、

4、等比代換法。對于等積式的證明，常將其改證比率式，若比率式不可以夠用上述三種方法證明時，可證等積式兩邊都等于第三個某兩條線段的乘積。155例5、正方形ABCD中，M、N分別在AB、BC邊上，且BMBN，又BPMC于P。求證：PDPN。（1990年四川省比賽題）【說明】要證相等的兩角是兩個三角形的角，若能證這兩個三角形相像，且兩角是對應角，則達到兩角相等。此種方法是證角相等的常用方法。例6、在ABC中，A：B：C1：2：4。求證：【說明】要證明形如（1）111+=。ABACBC111+=幾何題的常用方法有：abca+b1a+bb=、=，故結構以ab、b為邊且比率法：將原等式變形為abcac與a、c

5、所在三角形相像的三角形；通分法：先將原等式變形為（2）cc+=1。利用有關定理將兩個比通分，即證出abcm1cm=、=2，且m1+m2=d，則原式成立。adbd156例7、在ABC中，ACB2ABC。求證：AB=AC+AC?BC。（按圖示協(xié)助線以兩種方法證明）【說明】證明ab=cdef型命題常用以下方法：（1）利用提公因式或平方差公式，將原式轉變?yōu)榈确e式，再利用三角形相像加以證明；（2）要證ab=cdef，可在線段b所在的直線上取一點，則b=b1b2，則22a(b1b2)=cdef，再證ab1=cd、ab2=ef即可。例8、在ABC中，D、E分別是BC、AB上一點，且123，假如ABC、EBD

6、、ADC的周長挨次是m、m1、m2。求證：m1+m25（1989年全國聯(lián)賽題）m4157AC2AH例9、在ABC中，BCAC，CH是AB上的高，且。2BHBC試證明AB900或AB900。（2001年全國初中數(shù)學聯(lián)賽武漢選撥賽題）158【針對訓練】1、在ABC中，已知AB3、AC4、BC5，現(xiàn)將它折疊，使B、C兩點重合，則折痕長是_.（2003年全國初中結合比賽題）159160第二節(jié)角均分線定理【知識點撥】1、三角形內角均分線的性質定理：三角形內角的均分線內分對邊所成的兩條線段和相鄰兩邊對應成比率。（試證明）2、三角形外角均分線性質定理：三角形外角均分線分對邊所得的兩條線段和相鄰的兩邊對應成比

7、率。3、常有問題對于波及角均分線的有關計算，常由角均分線性質定理列出比率式進行計算，對于對于角均分線的證明題，常由角均分線性質定理列出比率式進行代換，達到證明的目的?！举愵}優(yōu)選】例1、在ABC中，C900，CD是C的均分線，且CA3，CB4。求CD的長。例2、若PAPB，APB2ACB，AC與PB訂交于點D，且PB4，PD3。求ADDC的值。（2001年全國比賽題）【說明】角均分線性質定理又供給計算線段的方法，解題時要注意應用。計算時要注意對應關系，正確書寫比率式。對于求線段ab的值的題目，常由有關定理證出等積式abcd，求出cd的值即可。161例3、I是ABC內角均分線的交點，AI交對應邊于

8、D。求證：AIAB+AC=。IDBC例4、RtABC中，ACB900，CDAB于D，AF均分CAB交CD于E，交CB于F，且EGAB交CB于G。試求：CF與GB的大小關系怎樣？（1998年“希望杯”邀請賽題）【說明】欲證線段ab，由線段成比率定理得出含a、bam1bm2=，=x1n1x2n2此后證m1m2ab=，從而獲得，再證x1=x2，從而獲得ab。=x1x2n1n2此題證法好多，如過點E作EHBC交AB于H，則EHGB，再證EHEC、ECCF；或過F作FMAB于M，證RtCEGRtFMB。162例5、在ABC中，AD均分BAC，CEAD交AB于G，AM是BC邊的中線，交CG于F。求證：AC

9、DF?！菊f明】三角形角均分線的性質為比率關系的轉變供給了新的方法，從而廣闊認識題思路，其他在證明幾何題時，還應注意合比、等比性質的應用。此題是由線段成比率證明兩條直線平行的，這是證兩條直線平行的新方法，對于題設中有平行、角均分線條件證平行的題目，常用此方法證明。例6、在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，且abc，AS、AS為A的均分線與外角的均分線，BT、BT為B的均分線與外角均分線，CU、CU為C的均分線及外角均分線。求證：【說明】經過此題的求解，我們獲得出a、b、c的值，再考證等式兩邊相等。111+=。（1990年上海市比賽題）SSUUTT111+=型幾何題的又一種解法，即分別計

10、算abc163【針對訓練】164第三節(jié)面積證題初步【知識點撥】1、用面積證題就是利用面積關系成立線段之間的關系，或依據(jù)面積有關性質將線段關系轉變?yōu)槊娣e關系，經過解方程或適合變形，從而解決線段有關問題。2、對于由面積關系成立線段關系常用幾種方法：（1）利用一個圖形的面積的幾種不一樣樣的等積表示；（2）利用面積相等；（3）利用一個圖形的面積等于幾個圖形的面積的和或倍數(shù)。而證明面積相等常用的方法是：等底等高的三角形面積相等。3、對于波及線段比，常用以下性質將線段比轉變?yōu)槊娣e比；（1）兩個等高的三角形的兩底之比，等于兩個三角形的面積之比；兩個等底的三角形的兩高之比，等于兩個三角形的面積比。（2）相像三

11、角形的面積比等于相像比的平方。【賽題優(yōu)選】例1、設ABC的面積是1，D是BC上一點，且DC2BD（BD/DC1/2），若在AC上取一點E，使四邊形ABDE的面積為4/5。求AE/EC的值。（2003年全國初中數(shù)學比賽天津賽區(qū)初賽題）例2、在直角梯形ABCD中，底AB13、CD8，ADAB，且AD12。求A到BC的距離。（2003年全國初中比賽結合比賽初賽題）165例3、設ABC的三邊a、b、c，三邊上的高分別為ac。求證：211（1996年山東省初中數(shù)學比賽題）h1、h2、h3，三邊知足=+。hbhahc2b例4、在矩形ABCD中，已知AD12，AB5，P是AD邊上隨意一點，PEBD，PFAC

12、，E、F分別是垂足。求PEPF的值。（1998年全國比賽題）【說明】對于垂線段的和差問題，常利用一個三角形的面積等于幾個三角形的面積的和差來求。已知直角三角形的三邊，求斜邊上的高，由面積法來求比較方便。例5、平行四邊形ABCD中，M、N分別是AD、AB上的點，且BMDN，其開戰(zhàn)為P，設CPB，CPD，則（）A、B、C、D、大小沒法確立（1993年哈爾濱市比賽題）【說明】欲證明兩線段相等，可證它們所在的三角形的面積相等，從而得出兩個三角形的底、高的關系式。若兩高相等，則兩底相等；反之則兩高相等。166例6、設P、Q為線段BC上兩點，且BPCQ，A為BC外一點，當點A運動到使BAPCAQ時，ABC是什么三角形，并證明。（1986年全國聯(lián)賽題）【說明】證明線段的等積式時，要注意等積式的特色，若兩線段乘積與某個圖形的面積有關，則等積式可由面積公式證得。例7、已知PQR、PQR是兩個全等的等邊三角形，六邊形ABCDEF的邊長分別記為：ABa1、BCa2、CDa3、DEb1、EFb2、FAb3。求證：a12a22a32b12b22b32。（1998年全國聯(lián)賽題）【說明】繼勾股定理后，證明線段的平方關系，也可利用相像三角形的面積比等于相像比的平方來證。由題設簡單獲得相像三角形多用這個定理。167例8、已知直線PQR交ABC的邊AB于P，交AC于Q，交BC的延伸線于R