定積分的概念和基本性質(zhì)

1、關(guān)于定積分的概念和基本性質(zhì)1第1頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三2 例: 求曲線 y=x2、直線 x=1和 x軸所圍成的曲邊三角形的面積。x yOy=x214.3.1 引出定積分定義的例題第2頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三3x yOy=x21(4)取極限 取Sn的極限，得曲邊三角形面積：(1)分割(2)近似(3)求和第3頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三4x yOy=x21(4)取極限 取Sn的極限，得曲邊三角形面積：(1)分割(2)近似(3)求和第4頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三5x yOy=x

2、21(4)取極限 取Sn的極限，得曲邊三角形面積：(1)分割(2)近似(3)求和第5頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三6分 割求 和近 似取極限把整體的問題分成局部的問題在局部上“以直代曲”, 求出局部的近似值；得到整體的一個近似值；得到整體量的精確值； 例: 求曲線 y=x2、直線 x=1和 x軸所圍成的曲邊三角形的面積。第6頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三7 一般地，求由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)0)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積的方法是： y=f(x)bx yOaxi-1xi=x0 xn=xi第7頁，共28頁，2022年

3、，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三8例2設(shè)物體沿直線作變速運(yùn)動，速度為 v =v (t), 假定v (t)是 t 的連續(xù)函數(shù)，求此物體在時間區(qū)間 a, b 內(nèi)運(yùn)動所走距離 s 。tOtn=t0t1ti1 titn1 abti引出定義的實(shí)例二：求物體作變速直線運(yùn)動所經(jīng)過的路程 解： (2) 在第 i ( i1, 2, , n) 個時間段 ti1, ti上任取一時刻 i，用v(i)Dti近似替代物體在第i個時間段所走距離: Dsiv(i)Dti 。(1) 用分點(diǎn) t=ti (ti10, f(x)0, 利用定積分幾何意義驗(yàn)證：定積分的幾何意義第19頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期

4、三20 性質(zhì)1：4.3.2 定積分的基本性質(zhì)有限個可積函數(shù)代數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即若fi(x) (i = 1, 2, , n)在a, b內(nèi)可積，則有第20頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三21 性質(zhì)2：4.3.2 定積分的基本性質(zhì)一個可積函數(shù)乘以一個常數(shù)之后，仍可為可積函數(shù)，且常數(shù)引資可以提到積分符號外面，即若 f(x)在a, b上可積，則 cf(x)在a, b上也可積（c為常數(shù)），且滿足第21頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三22 性質(zhì)3：積分的可加性定理4.3.2 定積分的基本性質(zhì)設(shè)f(x)在a, b內(nèi)可積，若acb, 則f(x)在

5、a, c和c, b上可積；反之，若f(x)在a, c和c, b上可積，則f(x)在a, b內(nèi)可積，且有第22頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三23 性質(zhì)4：積分的可加性定理4.3.2 定積分的基本性質(zhì)交換積分上下限，積分值變號，即特別地，若a=b，則第23頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三24 性質(zhì)5：4.3.2 定積分的基本性質(zhì)設(shè)f(x)和g(x)在a, b上皆可積，且滿足條件f(x) g(x)，則有第24頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三25 性質(zhì)6：4.3.2 定積分的基本性質(zhì)第25頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三26 性質(zhì)7：4.3.2 定積分的基本性質(zhì)若函數(shù)f(x)在a, b上可積，且最大值與最小值分別為M和m，則推論：若函數(shù)f(x)在a, b上可積，則第26頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三27 性質(zhì)8：定積分中值定理4.3.2 定積分的基本性質(zhì)設(shè)f(x) 在區(qū)間a, b上連續(xù)，則在a, b內(nèi)至少有一點(diǎn) (a b), 使得下式成立：同時， 我們稱下式為f(x)在a, b上的平均值第27頁，共28