導(dǎo)數(shù)與微分高等數(shù)學(xué)

1、關(guān)于導(dǎo)數(shù)與微分高等數(shù)學(xué)第1頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三1、導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)函數(shù) 注意：記為第2頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三例題1.設(shè)存在，且則等于 A. 1, B. 0, C. 2, D. 0.5 分析：第3頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三導(dǎo)數(shù)定義的本質(zhì)：練習(xí)：P43 第3題第4頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三2、單側(cè)導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù):在討論分段函數(shù)在分段點的可導(dǎo)時，由于在分段點兩側(cè)表達(dá)式可能不同，因此一般應(yīng)從定義出發(fā)討論其左、右導(dǎo)數(shù)。例. 見教材 P42 頁例6第5頁，共42頁，20

2、22年，5月20日，22點36分，星期三例題2. 討論在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性. 分析： 所以在處連續(xù) 第6頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三所以因此在處可導(dǎo)。題目的函數(shù)為：第7頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三當(dāng)時，所以因此從而在處可導(dǎo)。判斷可導(dǎo)性的另一種方法：第8頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)表示曲線在點處切線的斜率。 曲線在點處的切線方程為 法線方程為： 第9頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三例 求曲線在點（2，8）處得切線方程和法線方程。解 在點（2，8

3、）處的切線斜率為所以，所求切線方程為所求法線斜率為于是所求法線方程為第10頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三4、導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系 ： 定理(函數(shù)可導(dǎo)的必要條件) ： 在點處可導(dǎo)在點處連續(xù)?？蓪?dǎo)連續(xù)，反之不一定 即函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件。 例子 見教材 P42 例題7，8第11頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三例 函數(shù)在x=0連續(xù)但不可導(dǎo)，于是有可導(dǎo)一定連續(xù)，但是連續(xù)不一定可導(dǎo)。連續(xù)一定有極限，但是有極限不一定連續(xù)。因為第12頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三例解練習(xí)：P43頁第7題第13頁，共42頁，

4、2022年，5月20日，22點36分，星期三5、基本導(dǎo)數(shù)公式（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）第14頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三6、求導(dǎo)法則(1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則第15頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三或注意： 與的區(qū)別表示復(fù)合函數(shù)對自變量 求導(dǎo) （3）.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)關(guān)鍵在于正確地分解復(fù)合函數(shù)，正確地運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。表示復(fù)合函數(shù)對中間變量 求導(dǎo)第16頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 第17頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36

5、分，星期三例 設(shè)，求解 例設(shè)，求解 首頁上頁下頁第18頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三第19頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三(4) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法:方程兩端同時對x求導(dǎo),注意在求導(dǎo)過程中要y=f(x)視為x的函數(shù),即把y視為中間變量。見 P53 頁例3第20頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三例 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解 方程兩端對x求導(dǎo)數(shù)，得例 求橢圓在點處的切線方程.解 所求切線斜率為方程兩邊對x求導(dǎo),得首頁上頁下頁第21頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三例 求由方程所確定的

6、隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)第22頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三(5) 參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則第23頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三 解：曲線上對應(yīng)t =1的點（x, y)為（0,0）,曲線t =1在處的切線斜率為于是所求的切線方程為 y =x求曲線在t =1處的切線方程例第24頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三例題：設(shè)，求第25頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三(6) 對數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍:對數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù) 以及多因子乘積（或商）函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例.

7、 見 P53 頁例4，5，6第26頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三首頁上頁下頁兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得解： 兩邊取對數(shù)，得 例 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).第27頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三（7）抽象函數(shù)的求導(dǎo)法則第28頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三7、高階導(dǎo)數(shù)記作二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù))第29頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)要根據(jù)求導(dǎo)的階數(shù)的不同而選擇不同的方法。當(dāng)只須求函數(shù)的2、3、4、5階導(dǎo)數(shù)時，通常選擇先求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，再求出函數(shù)的二階

8、導(dǎo)數(shù)，這樣一階接一階求下去，直至求出所求階導(dǎo)數(shù)的方法。當(dāng)所求的階數(shù)比較高（超過五、六階）時，通常先求出函數(shù)的一至四或五階導(dǎo)函數(shù)從中尋找出高階導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式規(guī)律，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法求出函數(shù)的高階導(dǎo)?；蛘呃贸Ｒ姾瘮?shù)的高階導(dǎo)公式及高階導(dǎo)運算法則求出高階導(dǎo)數(shù)。第30頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三例求的n階導(dǎo)數(shù).解 一般地，可得例解 求的階導(dǎo)數(shù).一般地，可得首頁上頁下頁第31頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三例求的階導(dǎo)數(shù).解 一般地，可得上頁下頁練習(xí)：P51 2(1) (4) (5)第32頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三8、微分

9、(微分的實質(zhì))（1）微分的定義第33頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三（2）、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系定理（3）、 微分的求法求法:計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分.第34頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三（4）基本初等函數(shù)的微分公式第35頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三 函數(shù)和、差、積、商的微分法則（5）、 微分的基本法則 微分形式的不變性第36頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三例.求函數(shù)的微分第37頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三第38頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三(2)第39頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三第40頁，共42頁，2022年，5月20日，22點36分，星期三例. 設(shè)求分析 ：是R上的可導(dǎo)函數(shù)，