勾股定理在高維空間中的推廣及其應(yīng)用

1、勾股定理在高維空間中的推廣及其應(yīng)用摘 要：勾股定理在平面中的基本內(nèi)容“在任意一個直角三角形中兩直角邊的平方和是與第三 邊平方相等”反之，“在一個三角形中如果滿足兩條邊的平方和等于第三條邊的平方那么該三角形 為直角三角形”，由此可以推導(dǎo)出在三維空間中正方體每個面的對角線的平方和等于空間對角線的 平方。工人建筑時墻角的測量、螞蟻繞柱爬行最短路徑等都應(yīng)用到勾股定理，在三維空間中還有一 個比較普遍的應(yīng)用就是“一個直四面體的三個側(cè)面的面積的平方和等于這個直四面體的底面面積的 平方”。通過分析勾股定理在平面上的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，推導(dǎo)出三維空間及 n 維空間的勾股定理，深入了 解勾股定理的性質(zhì)特征和勾股定理的應(yīng)用。

2、關(guān)鍵詞：勾股定理；n維空間；應(yīng)用Abstract：The basic content of in the plane of the Pythagorean theorem in any right triangle in two right angle side of the square and is equal to the square and third side and in a triangle if the two sides of the square and is equal to the square of third edges of the triangle trian

3、gle shape, which can be deduced in the three-dimensional space of each surface cube diagonal and the diagonal of the square space is equal to the square. The workers, the corner of the building when measuring the ants crawling around the column of the shortest path are applied to the Pythagorean the

4、orem in three-dimensional space and a common application is the three sides of a straight tetrahedral area of the square is equal to the straight tetrahedral area of the bottom surface of the square. Through the analysis of structural properties in the plane of the Pythagorean theorem, Pythagorean t

5、heorem derived three-dimensional space and n-dimensional space, understand the application characteristics of the Pythagorean theorem and Pythagorean theorem.Key words： The pythagorean theorem; n-dimensional; Spaceapplication目錄 TOC o 1-5 h z 摘 要IAbstract I目 錄 II1 研究背景及意義 12 研究方法 1文獻(xiàn)索引法 2幾何研究 2數(shù)型結(jié)合 2

6、類比推理法 32.5 反證法 33 研究對象 44 研究內(nèi)容 4研究勾股定理在高維中的基本內(nèi)容 4勾股定理在二維空間中的基本內(nèi)容 4勾股定理在三維空間中的基本內(nèi)容 5勾股定理在高維中的推廣證明 5勾股定理在二維空間的推廣證明 5勾股定理在三維空間上的推廣證明 7 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 勾股定理在高維空間中的應(yīng)用 9勾股定理在二維空間上的應(yīng)用 9勾股定理在三維空間上的應(yīng)用 10 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 研究勾股定理在高維空間推廣應(yīng)注意的問題 10 HYPERLINK l bo

7、okmark40 o Current Document 8 總結(jié) 11參考文獻(xiàn) 12致 謝 錯誤！未定義書簽。研究背景及意義勾股定理無論是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域還是其他領(lǐng)域中都是占據(jù)著舉重若輕的地位，從古至 今有多少數(shù)學(xué)、物理豪杰為之癡迷。趙爽周髀注中的勾股圓方圖注；歐幾里 得原本中他就寫到了勾股定理；還有就是中國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)的第九 章勾股術(shù)。這些都是前人對勾股定理的理解以及獲得研究成果，現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們都在對 勾股定理進(jìn)行更深入的研究。勾股定理是幾何的基石，這就足以可以知道勾股定理在 幾何中的地位是不可撼動的。遠(yuǎn)古人們對宇宙中自然形成的規(guī)律的自然起點(diǎn)，那就是 勾股定理，不管是在東方文明起源還是在西方

8、文化起源過程中，都有許多形形色色的 動人故事。在很久以前就有古人應(yīng)用勾股定理測長度，二維空間中的勾股定理，是幾 何中的一顆燦爛無比的夜光明珠，照亮了我們探索前進(jìn)的道路，而三維、四維、乃至 n維空間勾股定理，是二維空間勾股定理的延伸和推廣擴(kuò)展，其運(yùn)用更具有豐富的時空 性和現(xiàn)實(shí)性。每個科學(xué)研究的領(lǐng)域以及每個學(xué)術(shù)都有各自的延展性和不足性，沒有任 何人的研究成果就是完美無瑕的，總有很多大大小小的不足。牛頓的萬有引力，到后 來才有人的推廣完善；愛迪生的燈的發(fā)明，也是后來進(jìn)行完善與推廣；以及中國古時 候的蔡倫造紙，剛開始的粗糙到現(xiàn)在的精美以及更多的用處。這些開始都有不足，都 是后來人在不斷地去發(fā)掘完善。學(xué)

9、術(shù)是無盡的，知識是無邊的，勾股定理的延伸推廣 這是一個任重而道遠(yuǎn)的任務(wù)。關(guān)于n維歐式空間上得廣義勾股定理研究及證明，最基 礎(chǔ)的那就是平面的勾股定理的證明。我們本文主要研究探索的是勾股定理在三維空間 上的推廣應(yīng)用，開始以勾股定理基礎(chǔ)利用初等數(shù)學(xué)知識，其主要是用數(shù)學(xué)方法推理證 明以計(jì)算機(jī)維輔助方法進(jìn)行檢查證明。研究方法文獻(xiàn)索引法參考文獻(xiàn)必須注意在質(zhì)量比較高的期刊上查閱，仔細(xì)研究文獻(xiàn)并通過自己的解析 和認(rèn)知重新組織語言。文獻(xiàn)索引法是每個人寫論文的必要方法之一，文獻(xiàn)的研究要有 正確方法，我們的論文中需要廣泛查找并閱讀勾股定理在高維空間的推廣研究方面文 獻(xiàn)資料，認(rèn)真分析文獻(xiàn)中作者對勾股定理在高維空間推廣

10、中研究思想以及研究方法。 文獻(xiàn)的中心思想與自己的思想研究相互結(jié)合，這樣才能從文獻(xiàn)中學(xué)習(xí)到更多的知識。 在查找文獻(xiàn)的過程中，認(rèn)真的閱讀和研究文獻(xiàn)，學(xué)習(xí)文獻(xiàn)中的結(jié)構(gòu)的技巧。在文獻(xiàn)中， 認(rèn)真借鑒證明方法，作者是如何證明的，是從哪些方面開始著手的。特別是他的證明 方法以及證明過程，這些都是我們特別要重視的，還有就是要研究別人的思想，那我 們可以去揣摩咀嚼，領(lǐng)會其中的精華。幾何研究對于很多數(shù)學(xué)問題我們都可以運(yùn)用幾何的簡便性進(jìn)行相關(guān)的研究，從簡單到難， 從平面到立體再到多維進(jìn)行研究。幾何是研究空間結(jié)構(gòu)以及其性質(zhì)的一門學(xué)科，最初 的平面幾何就是研究平面上的直線、曲線的幾何結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，后來就是三維空間立體 幾

11、何，研究立體幾何的性質(zhì)，面積體積的計(jì)算，例如雙曲面、球面、錐面、橢球面以 及球體、椎體等1數(shù)型結(jié)合數(shù)型結(jié)合是我們在研究數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域中不可缺少的一種研究方法，在研究勾股 定理在高維空間的推廣與應(yīng)用這一問題中，數(shù)型結(jié)合是一種很實(shí)用而且也是很重要的 一種方法。數(shù)型結(jié)合就是用代數(shù)和圖像幾何相互幾何分析的方法， 在研究高維空間 中我們進(jìn)行直觀的圖形結(jié)合，更簡便，更直觀。開始研究勾股定理在二維空間中的證 明可以用數(shù)型結(jié)合，其次在研究勾股定理在三維空間中的證明，可以借助數(shù)型結(jié)合的 方法進(jìn)行研究，最后在研究勾股定理在 n 維空間中的證明推廣也有應(yīng)用到數(shù)型結(jié)合的 方法。數(shù)型結(jié)合的思想簡而言之的就是數(shù)和型的相互

12、轉(zhuǎn)化從而解決你要求的問題的一 種思想方法。還有就是大家也有可能對這里的數(shù)和形不是很清楚，數(shù)型結(jié)合的“形” 就是指數(shù)字、數(shù)量關(guān)系、方程式、代數(shù)式、以及函數(shù)等等，那么形是什么的，形就是 指的是函數(shù)圖像以及幾何圖像2。類比推理法春秋魯班以茅草割手創(chuàng)造了鋸子等就是類比的方法，然而在數(shù)學(xué)中類比的方法更 是比比皆是，類比的方法使我們在研究和探討數(shù)學(xué)知識的過程中更加醒目，直觀，使 我們的思維更加的活躍。在研究勾股的定理在高維空間中的推廣就可以應(yīng)用到類比法 從二維空間的勾股定理類比到三維空間，從三維空間的勾股定理類比到n維空間。類 比推理法在每個國家的科學(xué)研究也是深有應(yīng)用，是不可缺少的一種研究方法。什么是 類

13、比推理，類比就是我們可以通過兩個或者是兩類事物的相似或者相像，可以類比推 理到他們的其他方面是否相似或者相像的一種方法。2.5反證法反證法我想大家對這個詞都是十分的熟悉的，反證法顧名思義就是我們先假設(shè)一 個結(jié)論是不成立的，然后根據(jù)這個結(jié)論反起來進(jìn)行論證，看是否與前面的真理相違背， 如果相違背說明這一假設(shè)成立，如果不違背那么這一假設(shè)不成立。在我們數(shù)學(xué)當(dāng)中很 多證明的時候就可以應(yīng)用到反證法，這種方法讓抽象化的問題變得形象化。所以這是 我們必須要掌握的一種證明方法，對我們之后要對勾股定理在高維空間上的推廣和證 明有著巨大的幫助。反證法特別適用于命題的真假的證明，反證法通常有下面這幾個 步驟：1）假定

14、所要證明的命題的結(jié)論是不成立的2）根據(jù)我們假定的結(jié)論不成立進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)推理，我們在推理的過程中必定會出現(xiàn)下面 的兩種情況之一：要么所得到的結(jié)果是與已知的條件相互矛盾；要么所得到的結(jié)果是 與公理或定理矛盾，3）根據(jù)上面所敘述矛盾的出現(xiàn)，我們可以斷定，我們之前的假定“結(jié)論不成立”是 錯誤的。4）肯定原來命題的結(jié)論是正確的。反證法在研究勾股定理在高維空間的推廣中也是一種十分重要的方法之一研究對象研究勾股定理在高維空間的推廣以及勾股定理在高維空間上應(yīng)用，通過從初中到 現(xiàn)在學(xué)習(xí)并了解的勾股定理，可以根據(jù)勾股定理在二維平面上空間結(jié)構(gòu)的性質(zhì)和特征 把這種勾股定理從平面的二維空間推廣到三維空間以及四維空間 n 維

15、空間，這些都是 值得我們?nèi)パ芯亢屯诰虻摹Ｎ覀円谌S空間思維空間以及 n 維空間如何推導(dǎo)出勾股 定理，以及研究這些n維空間中的勾股數(shù)又是怎么樣的有什么特征，我們要得到三維 空間四維空間得到勾股數(shù)的基本表達(dá)式。研究內(nèi)容研究勾股定理在高維中的基本內(nèi)容勾股定理在二維空間中的基本內(nèi)容。勾股定理在二維空間中的基本內(nèi)容我知道大家都很清楚了解，也就是我們在初中 學(xué)習(xí)的在平面上的勾股定理，是二維空間幾何中的一個基礎(chǔ)定理，這一重要的定理， 是必須要掌握的。在中學(xué)，我們把勾股定理定義為是在任意一個直角三角形中就會有 這個直角三角形的兩條直角邊的平方和等于其的三條邊的平方的這么一個特征，那么 反過來如果兩條邊的平方

16、和等于第三邊的平方，我們就可以稱作這個三角形為直角三 角形，其兩邊平方和的邊為兩直角邊，另一邊為斜邊，如果滿足這樣的數(shù)據(jù)我們稱之 為勾股數(shù)，比如3、4、5, 5、12、13, 7、24、25等其表達(dá)式就是a2 + b2 =c 2， a、 b、c（ a、b、c為正整數(shù)）就是一組勾股數(shù)，a、b分別為這個直角三角形的兩 條直角邊，則C為該直角三角形的斜邊3。由公式a 2 + b2 = c 2，可以推導(dǎo)出公式 c ai+b；。勾股數(shù)在我們學(xué)習(xí)的過程中遇到了很多，再就是特別注意的是勾股數(shù) 必須是整數(shù)，我們就收集到很多的勾股數(shù)如下：3、4、5， 5、12,13,7、24、25， 8、15、17， 9、12

17、、15， 9、40、41， 10、24、26,11、 60、61,12、16、20， 12、35、37,13、84、85， 14、48、50,15、20、25， 15、36、 39,16、30、34,16、63、65,18、24、30,18、80、82,20、21、29勾股定理在三維空間中的基本內(nèi)容勾股定理在三維空間中的內(nèi)容就相當(dāng)于勾股定理從平面推廣到了立體空間進(jìn)行 的研究。把勾股定理又進(jìn)一步高級化，從平面進(jìn)化到了空間。我們可以把勾股定理在 平面上的結(jié)論類比到勾股定理在三維空間中的結(jié)論4比如在一個長方體這一立體中， 我們設(shè)它的棱長為a、b、c，長方體的立體對角線為d，且因?yàn)閍、b、c、這三 條

18、棱長是相互垂直的，那么就有a 2 + b 2 + C 2 = d 2，還有就是在三維空間中一個直四 面體的三個側(cè)面的面積的平方和等于這個直四面體的底面面積的平方，這些都是勾股 定理在三維空間上的基本內(nèi)容。勾股定理在高維中的推廣證明5.1 勾股定理在二維空間的推廣證明二維空間上的勾股定理也就是我們初中課本里里所學(xué)過的平面勾股定理，然而在 二維空間中我們可以大膽的聯(lián)想到二維空間上的向量知識，就是把勾股定理從二維空 間推廣到向量當(dāng)中。把一個直角三角形的第三邊即三角形的斜邊看作二維平面上的向 量，那么我們就可以把這個直角三角形的兩條直角邊看作是在平面直角坐標(biāo)系中的兩 條坐標(biāo)軸上的投影，現(xiàn)在我們就可以把

19、勾股定理從另外一個角度去考察勾股定理的意 義（從二維平面轉(zhuǎn)換到二維平面向量）。設(shè)這個直角三角形的三個頂點(diǎn)為 A 、 B 、 C ， C 就是直角三角形的直角點(diǎn)（ C 也是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)）， AC 為直角三角形的直角邊（也是平面直角坐標(biāo)系中在y軸上的投影），CB就是直角三角形的另一直角邊（也是平面直角坐標(biāo)系中在x軸上的投影），那么AB就是直角三角形的斜邊（也就是 二維平面上的向量）向量CA的模平方與向量CB模的平方的和等于向量BA模的平方, 那么我們就很容易的知道向量CA和向量CB是向量BA的一組正交基，我們從上面的 推理證明中,我們最終的推廣的結(jié)果也就是我們從向量這一角度考察的直角三角形

20、的 勾股定理在二維空間上的意義。也就是這個向量長度的平方等于這個向量在它所在的 空間一組正交基上的投影長度的平方和5。還有第二種的證明方法就是利用相似三角 形的證法，如下：在已知直角三角形ABC中，其中C為直角，過點(diǎn)C作邊AB上的高交于AB于點(diǎn) H ,因此可以得到三角形ACH相似與三角形ABC，因?yàn)樵谌切蜛CH與三角形ABC 中，角C與角ACH都為直角且以角為公共角，因此兩個三角形的三個角相等，那么他們?yōu)橄嗨迫切?。同理，三角形ABC相似與三角形ABC，由此證明:設(shè) BC 二 a設(shè) BC 二 a，AC = b , AB 二 c ,可得到 =譽(yù),b AH。轉(zhuǎn)換成：a2 = c xHBb 2 =

21、 C X AH根據(jù)上面的兩個方程式可以得到:a2 + b2 = c xHB + c xHA=c x（HB + HA）=c 2最終得到：a 2 + b 2 = c 2下面是第三種證明方法，如下所示：在如圖5-1中，直角梯形ABDE中，已知ZAEC =ZCBD = 90。，A 二 AEC CDBAE = CD = b ， CE = BD = a， AC = BC = c，求證：a 2 + b 2 = c 2由已知條件可得:SaAECCDBab s c 2 2 由已知條件可得:SaAECCDBab s c 2 2 , aACB-乙,S _(a +b)a +b)AEDB為 S aAEC+ S aCDB

22、 + S aACB=SaAEDBab ab c (a + b+ + =，2 2 2ab + 乞二 ab + + b2勾股定理在三維空間上的推廣證明在二維空間也就是平面中的勾股定理就是“在一個直角三角形中，兩條直角邊的 平方和與該直角三角形的斜邊的平方相等，我們通常用表達(dá)式表示為a 2 + b 2 _ C2”通 過以上的結(jié)論那么我們要怎么樣去把這個勾股定理從二維空間的推廣到三維空間？ 在數(shù)學(xué)研究中我們通常用到數(shù)學(xué)的類比的推理方法去研究，我們可以大膽的去想象二 維空間的勾股定理表示的是線段的長度，那么如果是在三維空間中我們是否可以通過 空間中直角四面體的面積作為出發(fā)點(diǎn)呢？勾股定理在二維的直線關(guān)系類

23、比到三維空 間上面的關(guān)系，在三維空間直四面體ABCD中，作AE丄CD交于點(diǎn)e。證明(S)2 _(S)2 + (S)2 + (S)2aBCDaABCaACDaADB由圖5-2我們可以設(shè)線段BA_ n ，線段CA_ m，線段DA_y，那么，我們連接be過a作BE的垂線交于點(diǎn)F .再連接AF設(shè)線段AE _c，線段AF _g根據(jù)上面所提到的要求，只需要證明:(1(1nm12丿_(SaBCD+ myk2 丿可以先從右邊證明起，也就是先求出三角形BCD的面積表達(dá)式。為了求出Abcd的 面積，就可以應(yīng)用高中所學(xué)過的知識點(diǎn)棱錐的體積公式1Sx n =1 f1 myn 丫3 A BCD3 aacd3 3 A B

24、CD之前作的AE垂直CD，所以現(xiàn)在c是三角形ACD的高于是可得：S_1 my _1 c xCD _1 c . m 2 + y 2aACD 222 my因此可以得到：c _；m2+y2m 2 y 2由等式兩邊同時平方，可以得到c 2 _ m 2yin 2 + y 2因?yàn)锳F是三角形ABE中BE上的一條高，那么g就這個高的長度 三角形ABE的面積1 cn _1 g x BE2 2_1 n 2 + c 22那么就可以得到g _cn、.：c 2 + n 那么就可以得到g _cn、.：c 2 + n 2cnv c 2 + n 2帶入 3 S aacd x n _2 1 s=一 73 aBCd1f1可以得

25、到1 f 1 myn_2丿3S ABCDXcn： c 2 + n 21jc 2 + n 2約掉1，并乘以則有：S aBCD_則有：S aBCD_ 1my那么，m 2y 2帶入到(S風(fēng)丄=1 m 2y 帶入到(S風(fēng)丄=1 m 2y 2m 2y 2y +m 2y 2丿(S pc=1 m 2n 2 +1 m 2y 2 +1 y 2n 2通過整理可以得到：(s=G+(S+(SBCDAABCaACDaADB這就是我們從三維空間中對勾股定理的做出的一個推廣，推廣出來的證明結(jié)論就 是在三維空間。中一個直四面體的三個側(cè)面的面積的平方和等于這個直四面體的底面 面積的平方。上面所證就是勾股定理類比平面直角三角形推

26、廣到三維空間中的四面 體并給出的證明。勾股定理在三維空間中的推廣主要是應(yīng)用了類比推理，這充分的體 現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的數(shù)型結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，當(dāng)中我們有二維空間到三維空間整個類比推理的 過程當(dāng)中我們要注意點(diǎn)的性質(zhì)常常要推廣導(dǎo)線的性質(zhì)，而線的性質(zhì)往往要推廣到面的 性質(zhì)。勾股定理在高維空間中的應(yīng)用6.1 勾股定理在二維空間上的應(yīng)用勾股定理與現(xiàn)實(shí)生活是密不可分息息相關(guān)的，在我們的現(xiàn)實(shí)生活中，你可能不會 去注意生活中的細(xì)節(jié)，生活中愛觀察的人就會發(fā)現(xiàn)勾股定理也是時常伴隨著我們的， 比如有一些建筑工人在給你們建造新房子的時候，他們要判斷你這個新房子每一個一 個墻角是不是一個直角，在這個時候我們就可以應(yīng)用到我們學(xué)習(xí)到的

27、勾股定理來解決 了。而且工人們只需要測量出你們新房子兩個墻角邊的長度和斜邊的長度，那么他們 就可以來應(yīng)用勾股定理來計(jì)算著三個數(shù)據(jù)是不是滿足勾股定理，如果滿足那么這個墻 角就是一個直角。勾股定理在三維空間上的應(yīng)用在三維空間圖形表面上的最短路程問題，就可以充分運(yùn)用到勾股定理，將立體圖 形展開在用勾股定理求路徑。也是巧妙地將三維空間問題轉(zhuǎn)化為二位空間問題。也能 直接使用空間勾股定理進(jìn)行求解。三維空間上的勾股定理也是經(jīng)常被人們所用的。我 們知道黎曼曾經(jīng)解釋說：“我們都知道比得葛拉斯定理，既是我們學(xué)過的勾股定理” 兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，如果是矩形兩條相臨的邊平方和就是對角線的 平a2 + b

28、2 = c2。我們把擴(kuò)展到三維空間就可以輕易得a2 + b2+ c2 = d2，這個我們學(xué) 過立體幾何的人都知道,d就是立方體的對角線.那么我們大膽的聯(lián)想一下，在x高維 空間中是不是就是a 2 + b2 + c 2 + k2 = X 2 7關(guān)于勾股定理在三維空間的應(yīng)用如下：在三棱錐P -ABC中，側(cè)面pab、PAC、PBC兩兩相互垂直，且他們的面積均 為2,需要求出P點(diǎn)到底面ABC的距離為多少。因?yàn)閭?cè)面PAB、PAC、PBC兩兩相互垂直，所以線段PA、PB、PC相互垂。 設(shè) PA二 a ， PB = b， PC 二c 則有 a xb = 4,a xc = 4,c xb = 4 所以 Ca x b xc 上=64a x b x c = 8 那么有V= V=x =P - ABCC - PAB 2 3 6 。由三維空間勾股定理可得G+（s=G s= 2梟 設(shè)點(diǎn)p到aPABaPACaABC， aABC。1 l 41 l 4底面ABC的距離為H，根據(jù)三棱錐的體積公式可求出：3x23h = 3x2、：3H = 3所以，H =仝2 即點(diǎn)P到底面ABC的距離為空， 。7 研究勾股定理在高維空間推廣應(yīng)注意的問題在二維空間中我們推廣的