北京版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題6.3等比數(shù)列（講解練）教學(xué)講練

1、6.3等比數(shù)列數(shù)學(xué) 北京專用考點(diǎn)一等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式(1)當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1.(2)當(dāng)q1時(shí),Sn=.通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式的推廣an=a1qn-1(揭示首末兩項(xiàng)的關(guān)系)an=amqn-m(揭示任意兩項(xiàng)之間的關(guān)系)(2)同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng).如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么稱這個(gè)數(shù)G為a與b的等比中項(xiàng),即G=(a,b同號(hào)).(1)a,G,b成等比數(shù)列G2=ab(ab0).3.等比中項(xiàng)考向突破考向一等比數(shù)列中的基本量運(yùn)算例1(2019北京門頭溝一模,11)等比數(shù)列an中,S3=21,2a2=a

2、3,則an=.解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由2a2=a3得q=2,因?yàn)镾3=21,所以a1=3,所以an=32n-1.答案an=32n-1 考向二等比中項(xiàng)的運(yùn)用例2(2019北京朝陽二模,5)已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差d0,則“a1,a3,a9成等比數(shù)列”是“a1=d”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析由a1,a3,a9成等比數(shù)列,得=a1a9,從而(a1+2d)2=a1(a1+8d),因?yàn)閐0,所以a1=d;若a1=d,則a3=3a1,a9=9a1,從而有=a1a9,所以a1,a3,a9成等比數(shù)列.綜上,“a1,a3,a9成等比

3、數(shù)列”是“a1=d”的充要條件,故選C.答案C考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用考向基礎(chǔ)1.等比數(shù)列an滿足或時(shí),an是遞增數(shù)列;滿足或時(shí),an是遞減數(shù)列.2.有窮等比數(shù)列中,與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等.特別地,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí),還等于中間項(xiàng)的平方.3.等比數(shù)列的一些結(jié)論:(1)在等比數(shù)列中,每隔相同的項(xiàng)抽出來的項(xiàng)按照原來的順序排列,構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列.(2)當(dāng)q-1(或q=-1且k為奇數(shù))時(shí),Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,是等比數(shù)列;當(dāng)q=-1且k為偶數(shù)時(shí),Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,不是等比數(shù)列.(3)若an是等比數(shù)列,則an,|an|皆為等比數(shù)列,公比分別為q和|q|(為

4、非零常數(shù)).(4)一個(gè)等比數(shù)列各項(xiàng)的k次冪仍組成一個(gè)等比數(shù)列,新公比是原公比的k次冪.(5)an為等比數(shù)列,若a1a2an=Tn,則Tn,成等比數(shù)列.(6)若數(shù)列an與bn均為等比數(shù)列,則manbn與仍為等比數(shù)列,其中m是不為零的常數(shù).(7)若數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為2n,S偶與S奇分別為偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)的和,則=q;若項(xiàng)數(shù)為2n+1,則=q.4.當(dāng)q0且q1時(shí),Sn=k-kqn(k0)是an為等比數(shù)列的充要條件,這時(shí)k=.考向突破5.對(duì)于正整數(shù)m,n,p,q,若m+n=p+q,則在等比數(shù)列an中,am,an,ap,aq的關(guān)系為aman=apaq.考向一判斷數(shù)列是不是等比數(shù)列例3對(duì)任意等比數(shù)列an,下列

5、說法一定正確的是()A.a1,a3,a9成等比數(shù)列B.a2,a3,a6成等比數(shù)列C.a2,a4,a8成等比數(shù)列D.a3,a6,a9成等比數(shù)列解析不妨設(shè)公比為q,則=q4,a1a9=q8,a2a6=q6,當(dāng)q1時(shí),A、B均不正確;=q6,a2a8=q8,同理,C不正確;由=q10,a3a9=q10,知D正確.答案D考向二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例4(2018北京海淀一模,15)已知等比數(shù)列an滿足a1=1,a5=a2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)試判斷是否存在正整數(shù)n,使得an的前n項(xiàng)和Sn為.若存在,求出n的值;若不存在,說明理由.解析(1)設(shè)an的公比為q,因?yàn)閍5=a2,且a5=a2q3

6、,所以q3=,解得q=.所以an=a1qn-1=(n=1,2,). (2)不存在正整數(shù)n,使得an的前n項(xiàng)和Sn為.因?yàn)閍1=1,q=,所以Sn=2.解法一:令Sn=,則2=,得2n=-4,該方程無解.所以不存在正整數(shù)n,使得an的前n項(xiàng)和Sn為.解法二:因?yàn)閷?duì)任意的nN*,有1-1,所以Sn=22,所以不存在正整數(shù)n,使得an的前n項(xiàng)和Sn為.方法1等比數(shù)列的基本量運(yùn)算解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常用思想方法:(1)方程思想:等比數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求出關(guān)鍵量a1和q,問題可迎刃而解.(2)分類討論思想:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的

7、分類討論,當(dāng)q=1時(shí),數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=na1;當(dāng)q1時(shí),數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=.方法技巧例1已知an是等差數(shù)列,滿足a1=3,a4=12,數(shù)列bn滿足b1=4,b4=20,且bn-an為等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.解題導(dǎo)引 解析(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意得d=3.所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,).設(shè)等比數(shù)列bn-an的公比為q,由題意得q3=8,解得q=2.所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.從而bn=3n+2n-1(n=1,2,).(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,).數(shù)列3n的

8、前n項(xiàng)和為n(n+1),數(shù)列2n-1的前n項(xiàng)和為1=2n-1.所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為n(n+1)+2n-1.方法2等比數(shù)列的判定方法1.定義法:若=q(q為非零常數(shù),nN*)或=q(q為非零常數(shù)且n2,nN*),則數(shù)列an是等比數(shù)列.2.等比中項(xiàng)法:若數(shù)列an中,an0且=anan+2(nN*),則數(shù)列an是等比數(shù)列.3.通項(xiàng)公式法:若數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫成an=cqn(c,q均是不為0的常數(shù),nN*),則數(shù)列an是等比數(shù)列.4.前n項(xiàng)和公式法:若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=k-kqn(k為常數(shù)且k0,q0,1),則數(shù)列an是等比數(shù)列.其中前兩種方法常用于證明等比數(shù)列,后兩種方法常用于選擇題和填空題中.若證明一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列,只要證明存在相鄰三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.例2(2018北京通州期中,17改編)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=4an-3