機械工程測試技術(shù)2.5信號分析基礎(chǔ)

1、華中科技大學(xué)機械學(xué)院第二章、信號分析基礎(chǔ)華中科技大學(xué)機械學(xué)院信號的相關(guān)分析相關(guān)系數(shù)與相關(guān)函數(shù)1 相關(guān)系數(shù)（變量相關(guān)）研究信號之間的相似性。兩個信號x(t)和y(t)的波形完全相同，則有：t)y(t為常系數(shù)11TT2Tx(t) ay(t)dt22dPddadPdda1T 1T12t)t)y(t)dt0T1T1t)y(taT1T1y( t2T華中科技大學(xué)機械學(xué)院Pd的大小隨a值變化，調(diào)整a選擇參數(shù)a使最小，則應(yīng)滿足：華中科技大學(xué)機械學(xué)院P1 / T x( t ) y( t )1 / T華中科技大學(xué)機械學(xué)院 1 / 華中科技大學(xué)機械學(xué)院x( t) y()dt 2 dtminT 1/ T1 / T 1

2、 / y 2 ()dt1T其中：1 / T 1 / x2xy1/Txy2xy 1/t t 11/Tx2(1/)dt.y2(2xy11/T1/Txy1稱為相關(guān)系數(shù)為華中科技大學(xué)機械學(xué)院第二章、信號分析基礎(chǔ)華中科技大學(xué)機械學(xué)院2.5 信號的相關(guān)分析統(tǒng)計學(xué)中，兩隨機變量之積的數(shù)學(xué)期望，稱為相關(guān)性（相關(guān)系數(shù)），表征了x、y之間的關(guān)聯(lián)程度。xyyxyy )華中科技大學(xué)機械學(xué)院yx華中科技大學(xué)機械學(xué)院yxxy 1yxxy 1yyxx0 xy 1xy 0華中科技大學(xué)機械學(xué)院2 相關(guān)函數(shù)（波形變量相關(guān)）華中科技大學(xué)機械學(xué)院研究信號時延后的相似程度（性）即相關(guān)系數(shù)是關(guān)于時延的函數(shù)。如果所研究的變量x, y是與時

3、間有關(guān)的函數(shù)，即x(t) 與y(t)：x(t)y(t)華中科技大學(xué)機械學(xué)院這時可以引入一個與時間有關(guān)的量，稱為函數(shù)的相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)函數(shù)，并有：華中科技大學(xué)機械學(xué)院1 / T( )1/x(t )y(t)dtxy1 /T/Tx2( 1 / T)dt/y2 ( t )dt 1/ 2相關(guān)函數(shù)反映了二個信號在時移中的相關(guān)性。x(t)y(t)y(t)(t)yy(t)y(t)y(t)(t)( )1 / T/x(t )y(t)dtxy1 /T/Tx2( 1 / T)dt/y2(t )dt1/分母為常量為描述方便，設(shè)x(t)和y(t)函數(shù)定義為：華中科技大學(xué)機械學(xué)院Ryx ()華中科技大學(xué)機械學(xué)院Ryx (

4、) x(t )y(t x(t )y(t dt) y()x( t )d華中科技大學(xué)機械學(xué)院當(dāng) t華中科技大學(xué)機械學(xué)院y( t時，稱為自相關(guān)函數(shù)：Rx ()Rx () x(t )x(t x(t )x(t dtRxy ) xt)yt )dt x(t )yt)dtRyx ) xt )yt)dt xt)yt )dt和y(t)均為實功率信號的情況下(即共軛為信號本身)：Rx Rx ) xt)xt )dt xt)xt )dtR) lim 1 T2xyT TT 2x(t)y(t )dt lim 1 T 2T TT 2x(t )y(t)dt華中科技大學(xué)機械學(xué)院此時的自相關(guān)為：華中科技大學(xué)機械學(xué)院如果信號不是能量

5、信號，那么上式中的積分將趨于無窮，因而這兩個式子的定義將失去意義。但如果信號是功率信號， 我們可以定義它們之間的相關(guān)函數(shù)。華中科技大學(xué)機械學(xué)院R華中科技大學(xué)機械學(xué)院R) lim 1 T2yxT TT 2y(t)x(t )dt lim 1 T 2T TT 2y(t )x(t)dtRx ) lim1T TT2T 2x(t)x(t )dt lim 1 T 2T TT 2x(t)x(t )dt自相關(guān)函數(shù)有華中科技大學(xué)機械學(xué)院特別地，如果兩個信號為周期信號，且它們的周期分別為T1和T2，且一個周期是另外一個周期的整數(shù)倍，不妨設(shè)華中科技大學(xué)機械學(xué)院(m N那么它們之間的互相關(guān)函數(shù)可以求得為RR) 1xyT

6、2T2x(t)y(t )dt 1T2T2x(t )y(t)dtR) 1yxT2Ty(t)x(t )dt 12T2T2y(t )x(t)dtR) 1xT2T2x(t)x(t )dt 1T2Tx(t)x(t )dt2自相關(guān)函數(shù) 可用積分區(qū)間2 或代替T 2022華中科技大學(xué)機械學(xué)院相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)華中科技大學(xué)機械學(xué)院相關(guān)函數(shù)描述了兩個信號間或信號自身不同時（1）自相關(guān)函數(shù)是的偶函數(shù)，RX()=Rx(-)；（2）互相關(guān)函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，但滿足下式Rxy) Ryx)（3）當(dāng) =0 時，自相關(guān)函數(shù)具有最大值。華中科技大學(xué)機械學(xué)院（4）周期信號的自相關(guān)函數(shù)仍然是同頻率的周期信號，但不保留原信號的相位信息。

7、華中科技大學(xué)機械學(xué)院（5）隨機噪聲信號的自相關(guān)函數(shù)將隨的增大速衰減。（7）兩個非同頻率的周期信號互不相關(guān)。華中科技大學(xué)機械學(xué)院例求正弦信華中科技大學(xué)機械學(xué)院Asin(0的自相關(guān)函數(shù)1Rx 1Rx TT1T2T2x tx t dtT02T02A0t20t0Rx2TA2T02T02cos 0 0t 002T02co0t dt 0此處其中)sincos cossinRxRxA2T02T02A20dt 200華中科技大學(xué)機械學(xué)院最后得華中科技大學(xué)機械學(xué)院正弦信號自相關(guān)實驗正弦信號自相關(guān)實驗正弦信號與帶有噪音的正弦信號自相關(guān)實驗正弦信號與帶有噪音的正弦信號自相關(guān)實驗華中科技大學(xué)機械學(xué)院隨機信號的相關(guān)函數(shù)

8、與其頻譜的關(guān)系華中科技大學(xué)機械學(xué)院對于平穩(wěn)隨機信號，自相關(guān)函數(shù)Rx()是時域描述的重要 統(tǒng)計特征，而功率譜密度函數(shù)Sx(f)統(tǒng)計特征。Rx()與Sx(f)有著密切的關(guān)系。Rx()與自功率譜密度函數(shù)Sx(f)構(gòu)成 了一對傅里葉變換對。Rx ) Sxxxj 2fdfSflim1XSflim1Xf2xT TTR)ej2fd華中科技大學(xué)機械學(xué)院2.5.3 隨機信號的相關(guān)函數(shù)與其頻譜的關(guān)系華中科技大學(xué)機械學(xué)院F R( ) limT2 t )x( t )dtej2f,x T T2變量替換，不影響積分結(jié)果 lim 1 t)t)e j 2f d dtT T lim 1 t)xt)ej2f(t )d( t )e

9、 j 2ftdtT Tlim 1 t)ej2ftdt )ej2ftdtT T lim 1 X( ) X( f X( ) X*( f) 對于實信號x( t )T T lim 1 X( )X*( f )T T lim 1X( f )2T T Sx( f )華中科技大學(xué)機械學(xué)院隨機信號的相關(guān)函數(shù)與其頻譜的關(guān)系華中科技大學(xué)機械學(xué)院Sxf Rx)e j 2f dRx ) Sxj 2fdf稱為維納-辛欽（Wiener-X）定理，維納-辛欽定理揭示了平穩(wěn)隨機信號時域統(tǒng)計特征與其頻域統(tǒng)計特征之間的內(nèi)在聯(lián)系，是分析隨機信號的重要公式。由于Sx(f)和Rx()之間是傅里葉變換對的關(guān)系，二者唯一對應(yīng)，Sx(f)中包

10、含著Rx()的全部信息。因為Rx()為實 偶函數(shù)，Sx(f)亦為實偶函數(shù)。華中科技大學(xué)機械學(xué)院互譜密度函數(shù)Sxy(f)和互相關(guān)函數(shù)Ryx()也構(gòu)成一對傅立葉變換對華中科技大學(xué)機械學(xué)院SxyfRyx)e j 2f dRyx) Sxye j 2f df華中科技大學(xué)機械學(xué)院例：求周期余弦的功率譜S()華中科技大學(xué)機械學(xué)院和自相關(guān))f (t)tE1F) E 2 S()211f (t) f (t) Ecos1t E (e j1t e j1t )2S( ) Cn2n(n)1 ) E 22(1 )(1)2 1 2S(jEejejE2421欣定理)華中科技大學(xué)機械學(xué)院相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用華中科技大學(xué)機械學(xué)院X(t)

11、Y(t)Rxyt0X(t)地下輸油管道漏損位置的探測Y(t)L X VV t0油X油X 0.5*LV*t0XL傳感器微血管紅血球的流速測量傳感器1(t)0tx2 (t)L2傳感器)傳感器00tt0 t2 華中科技大學(xué)機械學(xué)院0v華中科技大學(xué)機械學(xué)院0vLt t21華中科技大學(xué)機械學(xué)院案例：機械加工表面粗糙度自相關(guān)分析華中科技大學(xué)機械學(xué)院 被測工件相關(guān)分析 性質(zhì)3,性質(zhì)4:性質(zhì)3,性質(zhì)4:提取出回轉(zhuǎn)誤差等周期性的故障源。2.4 2.4 信號的時差域相關(guān)分析理想信號華中科技大學(xué)機械學(xué)院案例：自相關(guān)測轉(zhuǎn)速理想信號華中科技大學(xué)機械學(xué)院實測信號自相關(guān)系數(shù)實測信號自相關(guān)系數(shù)干擾信號干擾信號性質(zhì)3，性質(zhì)4：性質(zhì)3，性質(zhì)4：提取周期性轉(zhuǎn)速成分。脈沖器脈沖器L漏電)(t)x2 (t) T1T2華中科技大學(xué)機械學(xué)院互相關(guān)法用于長電力傳輸線的故障檢測華中科技大學(xué)機械學(xué)院RR(T1)