第4章力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對(duì)稱性課件

1、第 4 章力學(xué)量隨時(shí)間的演化與對(duì)稱性第 4 章力學(xué)量隨時(shí)間的演化與對(duì)稱性 經(jīng)典力學(xué)中,處于一定狀態(tài)下的體系的每一個(gè)力學(xué)量 ,作為時(shí)間的函數(shù),在每一時(shí)刻都具有一個(gè)確定值.量子力學(xué)中,處于量子態(tài) 下的體系,在每一時(shí)刻,不是所有力學(xué)量都具有確定值,一般說來,只具有確定的概率分布和平均值.先討論力學(xué)量的平均值如何隨時(shí)間改變.引言: 量子力學(xué)中力學(xué)量隨時(shí)間演化的問題與經(jīng)典力學(xué)有所不同.4.1.1 守恒量 經(jīng)典力學(xué)中,處于一定狀態(tài)下的體系的每一個(gè)力學(xué)量 第四章 力學(xué)量隨時(shí)間的演化與對(duì)稱性 4.1 力學(xué)量隨時(shí)間的演化在波函數(shù)(x,t)所描寫的態(tài)中，力學(xué)量A的平均值為 (1) (2) 一、力學(xué)量平均值隨時(shí)間的

2、變化 第四章 力學(xué)量隨時(shí)間的演化與對(duì)稱性 4.1 力學(xué)量 由薛定諤方程， 因?yàn)槭嵌蛎芩惴?(2) 由 (3) 這就是力學(xué)量平均值隨時(shí)間變化的公式。如不顯含t，即: (4)則有:若則 (5)即這種力學(xué)量在任何態(tài) 之下的平均值都不隨時(shí)間改變。 (3) 這就是力學(xué)量平均值隨時(shí)間變化的公式。如不顯含t，力學(xué)量 的平均值為所以用標(biāo)積表示力學(xué)量 的平均值為所以用標(biāo)積表示 如 不顯含時(shí)間 (以后如不特別聲明,都是指這種力學(xué)量),即 ,則因此，若則即這種力學(xué)量在任何態(tài) 之下的平均值都不隨時(shí)間改變。 如 不顯含時(shí)間 (以后如不特別聲明證明： 且任意態(tài)均可以用 來展開，即可取包含 和 在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集，其共

3、同的本征函數(shù)記為 ，則有，此式表明，在態(tài) 下，測(cè)量 得到 的幾率為 。 二、 在任意態(tài) 下 的概率分布也不隨時(shí)間改變.證明： 且任意態(tài)均可以用 來展開，即可取包含 而而按照上述定義，量子力學(xué)中的守恒量A是指 ：（1）力學(xué)量不顯含時(shí)間，（2）力學(xué)量與對(duì)易（, =0）則無論體系處于什么狀態(tài)（定態(tài)或非定態(tài)），A的平均值及其測(cè)量的概率分布均不隨時(shí)間改變。所以把A稱為量子體系的一個(gè)守恒量或者運(yùn)動(dòng)恒量。守恒量有兩個(gè)重要性質(zhì)：(1) 在任意態(tài)(t)之下的平均值都不隨時(shí)間改變； (2) 在任意態(tài)(t)之下的概率分布不隨時(shí)間改變。按照上述定義，量子力學(xué)中的守恒量A是指 ：守恒量有兩個(gè)重要性1、證明：若不顯含時(shí)間

4、t,則為守恒量 不顯含t又即為 守恒量（能量守恒）。三、舉例證：1、證明：若不顯含時(shí)間t,則為守恒量 不顯含t又例2、證明自由粒子動(dòng)量p和角動(dòng)量為守恒量。自由粒子的哈密頓算符：所以自由粒子的動(dòng)量p和角動(dòng)量是守恒量?？勺C： 可證：例2、證明自由粒子動(dòng)量p和角動(dòng)量為守恒量。自由粒子的哈密頓 例3 粒子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)：角動(dòng)量是守恒量， 動(dòng)量 p 不是守恒量。所以角動(dòng)量是守恒量?？梢宰C明：可見：但是由于 所以動(dòng)量 p不是守恒量 例3 粒子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)：角動(dòng)量是守恒量，所以第4章力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對(duì)稱性課件第4章力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對(duì)稱性課件第4章力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對(duì)稱性課件就不能寫成 的形式

5、。 與經(jīng)典力學(xué)守恒量不同，量子體系的守恒量并不一定取確定值，即體系的狀態(tài)并不一定就是某個(gè)守恒量的本征態(tài)。 例如，自由粒子的動(dòng)量是守恒量，但自由粒子的狀態(tài)不一定是動(dòng)量本征態(tài)。量子力學(xué)中的守恒量的概念，與經(jīng)典力學(xué)中守恒量概念不同。這實(shí)質(zhì)上是不確定度關(guān)系的反映。 例如，在中心力場(chǎng)中，是守恒量，顯然L2也是守恒量， 但這里所給出的波函數(shù)不一定是L2的本征態(tài)。 就不能寫成 守恒量是否處于某本征態(tài)由初始條件確定:（1） 若初始時(shí)刻(t=0)為A的本征態(tài)，則體系保持在該 本征態(tài)；本征態(tài)對(duì)應(yīng)的量子數(shù)稱為好量子數(shù)（2） 若初始時(shí)刻(t=0)沒有處于A的本征態(tài)，則以后 任意時(shí)刻也不會(huì)處于本征態(tài)，但是A的平均值和測(cè)

6、 值概率的分布不隨時(shí)間變化。詳見第十一章 教材第204頁(yè)證明守恒量是否處于某本征態(tài)由初始條件確定:詳見第十一章 (b) 量子體系的各守恒量并不一定都可以同時(shí)取確定值，除非在同一個(gè)守恒量完全集中 。 例如，中心力場(chǎng)中的粒子，角動(dòng)量的三個(gè)分量 都守恒，但由于三個(gè)分量互相不對(duì)易，所以一般說來它們并不能同時(shí)取確定值。但特殊情況 ， 是它們的共同本征態(tài) 。因而此時(shí)它們同時(shí)有確定值0。 例如，中心力場(chǎng)中的粒子，角動(dòng)量的三個(gè)分量 守恒量與定態(tài)的異同：（1）概念不一樣 a. 定態(tài)是能量取確定值的狀態(tài)能量本征態(tài) b.守恒量是特殊的力學(xué)量，不含時(shí)間 t，且和 Hamilton算符對(duì)易（2）性質(zhì)不一樣 a. 在定態(tài)

7、下，一切不含 t 的力學(xué)量，不管是否守恒量， 其平均值、概率分布都不隨 t 改變。 b.守恒量對(duì)一切狀態(tài)，不管是否定態(tài)，其平均值、 概率分布都不隨 t 改變。守恒量與定態(tài)的異同： 可見，不管是定態(tài)問題還是力學(xué)量問題，都存在力學(xué)量的平均值和取值的概率分布不隨時(shí)間變化問題。 所以，只有當(dāng)體系在非定態(tài)，而所研究的力學(xué)量又不是守恒量時(shí)，才討論力學(xué)量的平均值和取值幾率分布隨時(shí)間的變化問題。 可見，不管是定態(tài)問題還是力學(xué)量問題，都存在4.1.2、能級(jí)簡(jiǎn)并與守恒量的關(guān)系定理：設(shè)體系有兩個(gè)彼此不對(duì)易的守恒量，則：體系能級(jí)一般是簡(jiǎn)并的。 守恒量在能量本征值問題中的應(yīng)用，要害是涉及能級(jí)簡(jiǎn)并，其中包括: (a)能級(jí)

8、是否簡(jiǎn)并？（b）在能級(jí)簡(jiǎn)并的情況下，如何標(biāo)記各簡(jiǎn)并態(tài)？4.1.2、能級(jí)簡(jiǎn)并與守恒量的關(guān)系定理：設(shè)體系有兩個(gè)彼此不對(duì)證明：證明：推論：如果體系有一個(gè)守恒量F，而體系的某條能級(jí) 不簡(jiǎn)并（即對(duì)應(yīng)于某能量本征值E只有一個(gè)本 征態(tài)），則 必為F的本征態(tài)。證明：推論：如果體系有一個(gè)守恒量F，而體系的某條能級(jí)證明：位力(virial)定理 當(dāng)體系處于定態(tài)下，關(guān)于平均值隨時(shí)間的變化，有一個(gè)有用的定理，即位力（virial）定理. 設(shè)粒子處于勢(shì)場(chǎng) 中，Hamilton量為 考慮 的平均值隨時(shí)間的變化.按式 ，有位力(virial)定理 當(dāng)體系處于定態(tài)下，關(guān)于對(duì)于定態(tài)， ，所以即式中 是粒子動(dòng)能，上式即位力定理.

9、對(duì)于定態(tài)， ，所以即式中 位力定理詳細(xì)證明同理因?yàn)槲涣Χɡ碓敿?xì)證明同理因?yàn)榈?章力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對(duì)稱性課件第4章力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對(duì)稱性課件第4章力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對(duì)稱性課件第4章力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對(duì)稱性課件第4章力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對(duì)稱性課件作業(yè)：本章課后習(xí)題第4.4、 4.5題作業(yè)：本章課后習(xí)題第4.4、 4.5題4. 5 全同粒子體系與波函數(shù)的交換對(duì)稱性前面我們實(shí)際上學(xué)習(xí)了量子力學(xué)的四個(gè)基本原理：原理1 微觀體系的狀態(tài)可以用波函數(shù)完全描述原理2 力學(xué)量可以用厄米算符來描述原理3 體系狀態(tài)的波函數(shù)可以用算符的本征函數(shù)來展開原理4 體系狀態(tài)的波函數(shù)要滿足Schrdinger方程。今

10、天我們開始學(xué)習(xí)第五個(gè)基本原理-全同性原理4. 5 全同粒子體系與波函數(shù)的交換對(duì)稱性前面我們實(shí)際上學(xué)習(xí) 自然界中存在各種不同種類的粒子，例如電子，質(zhì)子，中子，光子，介子等。 同一類粒子具有完全相同的內(nèi)稟屬性，包括靜質(zhì)量，電荷,自旋，磁矩，壽命等. 在量子力學(xué)中，把內(nèi)稟屬性相同的一類粒子稱為全同（identical）粒子.4.5.1 全同粒子的交換對(duì)稱性 自然界中存在各種不同種類的粒子，例如電子，質(zhì)全同粒子組成的多體系的基本特征是： 任何可觀測(cè)量，特別是Hamilton 量，對(duì)于任何兩個(gè)粒子交換是不變的，即交換對(duì)稱性.例如氦原子中兩個(gè)電子組成的體系, Hamilton量為 當(dāng)兩個(gè)電子交換時(shí)， 顯然

11、不變， 是兩個(gè)電子交換的算符, 亦即全同粒子組成的多體系的基本特征是：例如氦原子中兩個(gè)電子組成的故這說明， 是一個(gè)守恒量，即全同粒子系的交換對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。因?yàn)楣蔬@說明， 是一個(gè)守恒量，即全同粒子系的交換對(duì)因?yàn)榈?章力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對(duì)稱性課件 全同粒子系的交換對(duì)稱性，反映到描述量子態(tài)的波函數(shù)上就有了極深刻的內(nèi)容。例如對(duì)于氦原子，當(dāng)人們?cè)谀程帨y(cè)得一個(gè)電子時(shí)，由于兩個(gè)電子的內(nèi)稟屬性完全相同因此不能（也不必）判斷它究竟是兩個(gè)電子中的哪一個(gè)。換言之，只能說測(cè)到了一個(gè)電子在那里，但不能說它是兩個(gè)中的哪一個(gè)。 對(duì)于全同粒子多體系，任何兩個(gè)粒子交換一下，其量子態(tài)是不變的，因?yàn)橐磺袦y(cè)量結(jié)果都不會(huì)因此有

12、所改變。這樣，就給描述全同粒子系帶來很強(qiáng)的限制，即要求該體系的波函數(shù)對(duì)于粒子交換具有一定的對(duì)稱性. 全同粒子系的交換對(duì)稱性，反映到描述量 對(duì)于有 個(gè)全同粒子組成的多體系，其量子態(tài)用波函數(shù) 描述, 表示每一個(gè)粒子的全部坐標(biāo) ( 例如包括空間坐標(biāo)與自旋坐標(biāo)) . 表示第 粒子與第 粒子的全部坐標(biāo)的交換，即 由于所有粒子的內(nèi)稟屬性完全相同， 和 這兩種情況是無法分辨的。所以只能認(rèn)為它們描述的是同一個(gè)量子態(tài)，因此它們最多可以相差一個(gè)常數(shù)因子 ,即 對(duì)于有 個(gè)全同粒子組成的多體系，其量子態(tài)用 再運(yùn)算一次，得顯然 ，所以 ，因而代入式（2），可看出， 有（而且只有）兩個(gè)本征值，即 . 即全同粒子系的波函數(shù)

13、必須滿足下列關(guān)系之一用 再運(yùn)算一次，得顯然 ，所以 注意，對(duì)于全同粒子系式中 .凡滿足 的，稱為對(duì)稱波函數(shù)；滿足 的, 稱為反對(duì)稱波函數(shù).所有 都是守恒量. 所以，全同粒子體系的交換對(duì)稱性給了波函數(shù)很強(qiáng)的限制，即要求它們對(duì)于任意兩個(gè)粒子交換，或者對(duì)稱，或者反對(duì)稱. 注意，對(duì)于全同粒子系式中 實(shí)驗(yàn)表明 凡自旋為 的整數(shù)倍 的粒子，波函數(shù)對(duì)于兩粒子交換總是對(duì)稱的，稱為Bose子.例如介子 ，光子 . 凡自旋為 的半奇數(shù)倍 的粒子，波函數(shù)對(duì)于兩粒子交換總是反對(duì)稱的，稱為Fermi子.例如電子，質(zhì)子，中子等. 對(duì)于給定的一類全同粒子, 其多粒子體系的波函數(shù)的交換對(duì)稱性是完全確定的, 而且與粒子的自旋有

14、確定的關(guān)系.實(shí)驗(yàn)表明 凡自旋為 的整數(shù)倍 設(shè)有兩個(gè)全同粒子 (忽略它們的相互作用)，Hamilton 量表示為4.5.2 兩個(gè)全同粒子組成的體系 表示單粒子的Hamilton 量. 與 形式上完全相同，只不過 互換而已.顯然，設(shè)的本征方程為 設(shè)有兩個(gè)全同粒子 (忽略它們的相互作用)，H 這種與交換相聯(lián)系的簡(jiǎn)并, 稱為交換簡(jiǎn)并.但這兩個(gè)波函數(shù)還不一定具有交換對(duì)稱性. 在上式中， 為單粒子能量, 為相應(yīng)的歸一化單粒子波函數(shù), 代表一組完備的量子數(shù). 設(shè)兩個(gè)粒子中有一個(gè)處于 態(tài),另一個(gè)處于 態(tài),則 與 對(duì)應(yīng)的能量都是 這種與交換相聯(lián)系的簡(jiǎn)并, 稱為交換簡(jiǎn)并.但這兩個(gè) 對(duì)于Bose子，要求波函數(shù)對(duì)于交

15、換是對(duì)稱的.這里要分兩種情況： 是歸一化因子（b ) ,歸一化波函數(shù)為 （a） ，歸一化的對(duì)稱波函數(shù)可如下構(gòu)成 對(duì)于Bose子，要求波函數(shù)對(duì)于交換是對(duì)稱的.這 對(duì)于Fermi子，要求波函數(shù)對(duì)于交換是反對(duì)稱的.歸一化的波函數(shù)可如下構(gòu)成 對(duì)于Fermi子，要求波函數(shù)對(duì)于交換是反對(duì)稱著名的Pauli不相容原理： 對(duì)全同費(fèi)米子體系，不允許有兩個(gè)或兩個(gè)以上的粒子處于完全相同的量子態(tài)。這一結(jié)論稱為Pauli不相容原理。 Pauli不相容原理對(duì)研究原子的結(jié)構(gòu)和元素周期表等起著非常重要的作用。 在上式中, 若 ，則 ，即這樣的狀態(tài)是不存在的.著名的Pauli不相容原理： 在上式中, 若 對(duì)于玻色子體系，處于同

16、一量子態(tài)的粒子數(shù)目沒有限制，在一般情況下，由于玻色子體系的各個(gè)粒子具有不同的動(dòng)量它們不能處于完全相同的量子態(tài)。但在極低的溫度下，由于體系的各個(gè)粒子的動(dòng)量都趨于零，體系的大量粒子可以處于完全相同的量子態(tài)，這種現(xiàn)象叫做玻色-愛因斯坦凝聚。玻色愛因斯坦凝聚是玻色子原子在冷卻到接近絕對(duì)零度所呈現(xiàn)出的一種氣態(tài)的、超流性的物質(zhì)狀態(tài)（物態(tài)）。1995年，麻省理工學(xué)院的沃夫凱特利與科羅拉多大學(xué)鮑爾德分校的埃里克康奈爾和卡爾威曼使用氣態(tài)的銣原子在170 nK的低溫下首次獲得了玻色-愛因斯坦凝聚。在這種狀態(tài)下，幾乎全部原子都聚集到能量最低的量子態(tài)，形成一個(gè)宏觀的量子狀態(tài)。 對(duì)于玻色子體系，處于同一量子態(tài)的粒子數(shù)目

17、沒有限第4章力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對(duì)稱性課件第4章力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對(duì)稱性課件第4章力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對(duì)稱性課件第4章力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對(duì)稱性課件這就是兩全同粒子波函數(shù)交換反對(duì)稱時(shí)在空間相對(duì)距離的幾率分布，見下圖。 這就是兩全同粒子波函數(shù)交換反對(duì)稱時(shí)在空間相對(duì)距離的幾率分布，第4章力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對(duì)稱性課件注意：全同粒子相對(duì)距離的幾率分布與波函數(shù)的交換對(duì)稱性密切相關(guān)。這是可觀測(cè)效應(yīng)，尤其在電子-電子散射及介子-介子散射中，這種全同性效應(yīng)可觀測(cè)到。注意：全同粒子相對(duì)距離的幾率分布與波函數(shù)的交換對(duì)稱性密切相關(guān) 先考慮三個(gè)無相互作用全同F(xiàn)ermi 子組成的體系. 設(shè)三個(gè)粒子處于三個(gè)不同的單粒

18、子態(tài) , ,和 , 則反對(duì)稱波函數(shù)可表示為4.5.3 N個(gè)全同F(xiàn)ermi子組成的體系 先考慮三個(gè)無相互作用全同F(xiàn)ermi 子組成的體其中稱為反對(duì)稱化算符.其中稱為反對(duì)稱化算符. 類似可以推廣到N個(gè)全同F(xiàn)ermi子組成的體系.設(shè)N個(gè)Fermi子分別處于 態(tài)下，則反對(duì)稱波函數(shù)可如下構(gòu)成 類似可以推廣到N個(gè)全同F(xiàn)ermi子組成的體系. P 代表N個(gè)粒子的一個(gè)置換 ( permutation) . N 個(gè)粒子分別排列在N個(gè)單粒子態(tài)上 , 共有N！個(gè)置換（包括恒等變換 I ）。在上式中稱為反對(duì)稱化算符. 從標(biāo)準(zhǔn)排列 經(jīng)過各種可能的置換P，得到 一共得出N！項(xiàng)，即行列式展開后得出的N! 項(xiàng). P 代表N個(gè)粒子的一個(gè)置換 ( permutati Bose 子不受Pauli原理限制，可以有任意數(shù)目的Bose子處于相同的單粒子態(tài). 設(shè)有 個(gè)Bose子處于 態(tài)上 ， ，這些 中，有些可以為0，有些可以大于1.此時(shí)，對(duì)稱的多粒子波函數(shù)可以表示成 4.5.4 N個(gè)全同Bose子組成的體系 Bose 子不受Pauli原理限制，可以有任注意： 這里的P是指那些只對(duì)處于不同單粒子態(tài)上的粒子進(jìn)行對(duì)換而構(gòu)成的置換，因?yàn)橹挥羞@樣，式（13）的求和中的各項(xiàng)才彼此正