關(guān)于函數(shù)值域的求法優(yōu)秀獲獎(jiǎng)科研論文

1、關(guān)于函數(shù)值域的求法優(yōu)秀獲獎(jiǎng)科研論文 函數(shù)的值域就是函數(shù)值的取值范圍，求函數(shù)值域是重點(diǎn)，更是難點(diǎn).學(xué)生對(duì)函數(shù)值域的問題常感到頭疼.下面通過典型例題說明求函數(shù)值域的幾種方法. 一、常見函數(shù)的值域 一次函數(shù)y=kx+b（k0）的值域?yàn)镽. 二次函數(shù)y=ax+bx+c（a0），當(dāng)a0時(shí)，值域是4ac-b，+）；當(dāng)a0且a1）的值域?yàn)镽. 正余弦函數(shù)的值域?yàn)?1，1，余切函數(shù)的值域?yàn)镽 二、求函數(shù)值域的方法 1逆求法主要適用于形如y=（c不為）的函數(shù)，通過求函數(shù)反函數(shù)的定義域來確定函數(shù)的值域. 例1求y=的值域. 解:由y=解出x，得x=. 2y+10，故函數(shù)的值域?yàn)閥且yR. 2分離常數(shù)法主要適用于具

2、有分式形式的函數(shù)解析式，通過變形將函數(shù)化成y=a+的形式. 例2求函數(shù)y=的值域. 解:由y=得y=1+. -1sinx1 ， -y-，即函數(shù)的值域是-，-. 評(píng)注：此題也可把函數(shù)轉(zhuǎn)化為sinx=f（y）的形式，則-1f（y）1確定值域. 3判別式法能轉(zhuǎn)化為（y）+（y）+（y）=0的函數(shù)常用判別式法.主要適用于形如y=（a，d不同為零）的函數(shù). 例3求函數(shù)y=的值域. 解:由 y=去分母得（y-1）x+（1-y）x+y=0. （） y=1時(shí)，方程（）無解， y1.又 xR 方程（）的判別式?駐=（1-y）-4y（y-1）0（y1），解得函數(shù)的值域是-，1）. 評(píng)注:在由?駐0且a（y）0求出

3、y的最值后，要檢驗(yàn)這個(gè)最值在定義域內(nèi)是否有相應(yīng)的x值. 4配方法形如二次函數(shù)或 y=af（x）+bf（x）+c （a0）的函數(shù)常用配方法. 例4求函數(shù)y=sinx+4cosx+1的值域. 解: y=-cosx+4cosx+2=-（cosx- 4cosx+4）+6=-（cosx-2）+6 當(dāng)cosx=-1時(shí)，ymin=-3; 當(dāng)cosx=1時(shí)，ymax=5所以函數(shù)的值域是-3，5. 評(píng)注:利用配方法時(shí)，注意f（x）的取值范圍. 5 均值不等式法利用基本不等式求出函數(shù)的最值進(jìn)而確定函數(shù)的值域，要注意滿足“一正、二定、三等”. 例5求函數(shù)y=x （-3x0）的值域. 解: y=x=-=-. 當(dāng)且僅當(dāng)x=9-x，即x=-時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的值域是-，+）. 評(píng)注:利用均值不等式求最值應(yīng)驗(yàn)證等號(hào)成立的條件. 6換元法通過整體換元法（形如y=ax+b+的函數(shù)）或三角換元法（形如y=ax+的函數(shù)）把無理函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)求函數(shù)值域的方法. 例6求函數(shù)y=x-的值域 解：令t=（t0），則x=t+1，y=t-t+1=（t-）+. 當(dāng)t=時(shí)，ymin=，y沒有最大值， 所以函數(shù)的值域是，+） 評(píng)注:應(yīng)用換元法時(shí)，須注意新元的范圍. 此外，還有數(shù)形結(jié)合法和導(dǎo)數(shù)法等 遇到求函數(shù)值域的問題，應(yīng)首先考慮有哪幾種基本方