2003考研數二真題及解析

1、 64.10) 1xsinx與 a= 若xax2.4 f(x)xy2lnx yy f(x) y4. 2x y .xn e (a 0)2 從0 a.1 1 1 1 1 1 設 為3 T是 . 若 T 1 1 1 =.T,BA2B AB E A E1 0 1A 0 2 0 B.2 0 164. 設a ,b ,c lima 0 limb 1 limc ,()nnnnnnnnn bnb cn. a .nnnnlima climb c . .nnnnnn3na x1 x limna 設1 n1, ()nn2nn0n33e) 1e ) 1.1.2233e ) 1e) 1.21.2xyxx( )yy ( )

2、 y()lnxxyy2y22x2xy22 . .x2xy2y(x) (,)在 ) f(x)則 f().x x x I 4 設I, ()4x01x20 I 1 I I . I I12212 I 1 I I .121 , , , , , ,：()12r12s sr sr s 當r 當r.I. 當.I. s 當三 、分)ax )3,x0 xarcsinx(x) 6,x0 x0 fe x ax12,xxsin4(x) x 0在ax 0 f(x) 是 問a f四 、9分) 12 ,xt2d y2 yy(x)ut.2lnty dx2x9u1五 、9分)xearctanx. x )322分) y(x) (,

3、)y x x(y) y y(x)是 y)在.d2xdxx(y)(ysinx)( ) 0y y(x) x3dy2dy y(0)y(0)3.2七 、分) 4lnxk y 4xln4 x與 y.八 、分)2 1 f(x)( , )，其上任一點P(x,y)y軸y2 2Q被 .x f(x) yx 0, lly f(x) y在 s.y九 、分)x (y)(y 繞 y2m. yx=(y)m3/ m2-2 O2x t時刻液面的面積，寫出t與(y) (y) x .m十 、分)(x)a,b (a,b) f (x) 0. ff(2xa)xalimxa(a,b) f(x)0內 ; 在b2a2(a,b) 在；f)f(x

4、)dx ba 在(a,b) ) b af(x).中 f b22aa十 分)2 2 0 8 2 a a P 使 A0 0 6P1 . 、8分)l :axbyc 0，l :bx2cy3a 0，l :cx2ayb 0.123bc : a 41111x 0(1 ) 1 ) 1 ， x x4x x x222xxn4n10 x(1) 1與x2x4114 ax2ax )1241limlim a，xsinxx42x0 x0a4 y 0 xx xy2y 43y yx將x1,y1y 1. ，再利用點斜式得，過點y11(xx y 2)n! f(x) y(0)(0)n( )fff(x) f(0) f(0) xx xn

5、x ( )n22!n! f(x)xy f(x)x 0n階求 ynf( )n(0) f ( )n，x .nn! 2 ln2 2 (ln2)2 ；y； yyn x n( ) 2 (ln2)xxy( )(0) nny (0) (ln2) y 2 x . (n)nxn!1(e 4a4a12 ) 2 d. S121211 ) d e d (e S22a=ea2 4 a4a4a000.D d dD121 a22(e d de e2 daS=4a4a000D3 T A求T T 出 2Ax x x1 23 A 故1 1 11 A 1 1 11 1 1 1，=T 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 3.

6、知 T 1 1 ) A(1)A ：A ，T2TTTTT1 1 1 1 1 3 3 A 1 1 1 1 1 3 3A 3(2)而2 1 1 1 1 1 3 3 3T1 1 1x1x x x x1 221 3 x x x A x x xx x 1 1 1TT21232 1x x x x22 3x2 1 1 1 3 13 23x 1 () x x x x x x x故2122(A)T 1 2 3223 x 312 B BBABE(A2E)BAE(AE)(AE)BAE， AB2AE(AE)B E.AEB 1，0 0 112E 0 1 0 22 0 0 A, B AB E：由AB2(AE)(AE)B A

7、E=AE AE B AE11 AE 0BAE 2(D) b cn nbc A,limb limb c Ann nnnnnnnlimc limb c (D)nn nnn1n1lima 0 limb 1()取 ， , 而 ，aba1b1a bnnnn11nnnnn1limb 1 limc 取b ， 2c n,b c而 01 ，(B)nnn11nnnn1lima 0 limc 取 ， 2,而a c 1 C)，n nanc nnnnnnnn( )B33nna nx1 x 1 x d x )n1 n1=)nn1nn22n0032nn11n132n1= (1 ) 1 xnn1n nn03 n n2limn

8、a=lim 1 11n nnn3n21=lim 1 (1)(n1) n1)n1n3(1e ) 112(B)()x ln 1yxx y yy lnxxln x y2lnx111 (lnx)(lx ) ln2 xlnxln x21xlnxuu) 令 uu2yxy2( ) .=yx2() ( )C)y03x；x對30 x 0 x(x)故 f( )B(x)xx(0 , ( ) ec 1 ,0,【詳解】令，有xx，所以當4tanxx x 時(x) (x)0tanxx01，1，4tanxxxxI 1 1 I444x4x2000 II I且1224 , , , ：12r , , ,： sr I 12s ,

9、, , , , ,I：12r12ssr 010 , , 0 0 ,； 0011 1 2 11212011 , , , ； 0001 2 1 1211110 , , , ， 1 0011 1 2 121(x) x 0在f(x) x 0在 f即 ) fff )ax33f ) f(x) xxxxx0 x0 x0 x) x(xln(1ax ) ax (x)33ax20（ =lim10 x011x2ax21x 1 limlim 1x2)2x0 x0121ax21x ) 1(x ) x (x）= lim（222212x0 x226ae x 1eax x ax122=f(0 ) lim f(x) limxx

10、24x0 xsinx0 x04e x 1 2xa2=4=4x22xx0 x0a e 22 =42lim(a e 2a242 2x0 x0f(0)6.0 f(x)為6a62a 4a1；xx ) )ff20 f(x)為6a2a 46 2a26a4a12 2f(x) x 0在 a d(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )； uf t dtf u u x f v v xdxv(x)( )x tdy dy dt dy 1( )t:dx dt dx dt；( ) t ( )ydxdtt t) y t)若x ，( )dtd2y d dy dt ( )dx2dxdx dt t dx( ( ) ( (

11、) 1t ( ( ) ( ( )ttttt tt ( )( )t ( )2t3teuu t txt)1t2, y ( )et1dxdtdydte1 2ln2222ett(t)t；2et (t) ；12lnt t 12lnt t 12lntdy 12lnetdxt2(12lnt)1e( ) 11d2y d dy dtdt eet ( )2(12ln ) 4 4(12ln ) 4t t4 2ln )dx2dxdx dt t dx t tt2t229x 1t2 t 1 t 2及 得 , 故當xd2yee.2t2(1t)216(12x9t21x2五【詳解】方法 1. xtant( x )(1 ) se

12、c3 ，dxsec tdtx232t222 xearctanxe tantettantt=sec2sec2 tdttdtsec t x )3(1 tan )3322t22tant sintdt. etdt= etsect又 esintdt e dcost (e cost e costdt)=tttt(e co e d (t i (e cot e si e stdt ttttte cost e sint e sintdt=，ttt1sintdt e (sint cost)C.故 ett2tant( x ) t x得由x2212x1(xearctanxxearctanx()C=C.=e x x )

13、31x1x2 1x22222 xearctanxx1=d e(arctanx)earctanxx x )31 x1 x2222xearctan earctanxx=1 x3 x )222xearctan11xdearctand e()exa r c xa nx r c t a n1 x1 x1x2221 2xxearctanearctanx2x earctanxdx1 x21 x2(1x2)32xearctanearctan xearctan xxx=，1 x1 x3 x )2222(xearctanx xearctanxC.= x )32 1 x222d2xd2 y 與 y與x2dx2111

14、 1yd2x d dx dy ( )dy dy y y( ) =，=y dy( )y 3dydxy22 s in.y y(*) 210 1 0 (*y yrr C e C e . iY (*xx12y* Acosx Bsin xy*xBx y AxBx則A，*(*AxBxAxBxAxBxx11B y* sinxy y x. A221y Y y C e C e sin.*xx2123由 y(0)y(0)，得C C 1故變 件2123y(0) y(0) 21y e e sin.xx21且y(x)y(x)e e cosx0y0 xx2 4lnxk y 4xln4 x與 y(x)ln4x x4xk(0

15、,)4ln x 443( ) 4 (ln 1 ).x3xxxxx41是( )0 x 1ln 1 0 xxln x0 x1 x0，33x4( )( )0 x1ln 00有xx3x3xxx( ) 4k( ) x .( ) 0 xx44(x)( ) (1) 0 x ，(1) 4 k0 當 當k(x)(1) 4 k0( ) (1) 0kx ，(1) 44 當 kk0lim (x) limlnx(ln x4)4xk ；3x0 x0lim (x) limlnx(ln x4)4xk 3xx與)(x)(x). 總之，(x)與4k4k4k f(x)P(x,y) y1Y y (X x)yx0y ( , )令 X

16、yP x y xy12x(y y ) 02 0.y1212x2 ( y得C ( ) y f xy2C C22x2x21 2y 1. y x22222x y在0,x2t2弧長公式l 1 ydx 1 cosxdx 1cos2tdt 1cos2tdt.22220002 f(x)y x cost,0t .22y sint,22112=222s(x) ( )y 2dt t 1 22220tt00tu11201cos u(du)1cos udu2222 202122s lsl24 ytt) (y),2m2/t) dd ( ) y (y)122dtdtdt2(y) tC0時(y)2C 4, t(y) t4.

17、2t 2(y)4.t) u)3 3/ m 的y yV20 dVt) d ( ) 3u du y2dtdt0 ( )3 ( ) y u ty220y變限積分求導 ( )y ，( ( )y2y( ) d y( )y即6(y) Ce y C6(0) 2 C 2知 , 由x 2ey.6f(2xa)xalimxalim(xa)0 lim f(2xa)0 xaxa(x) a,b在lim f(2xa) f(a) f(a)0又 fxa( ) 0 f x( ) ( , )( ) f x 在 a b f x 在x af(x) f(a) x(a,b F(x)x， g x f t ( )x( )2a(a xb)g(x

18、) f(x) 0F(xg(x)(a,b)內存在點 Fb)F(a)gb)g(a)ba)222f)baxft) ft) ( ft)xaaabb2a2即f)f(x)dxa 在區(qū)間a,(a, ) f) f a f a)( )(a)0f) f a) 因 fbb2a2)( )faf(x)dxa ) ( ) .f x b即fb2a2aa AA . PaA 220E A 8 2( 6)( 2) 16 ( 6) ( 2)a = 2 ，200 6 6, 2.故 A123 6 A 123r(6E ) 2r(6E ) 1.4 2 0 2 1 0 6EA 8 4 a 0 0 a， 0 0 0 0 0 0 0 6 a1201 0 2 .， 1210 2當34 2 0 2 1 0 2E A 8 4 0 0 0 1， 00 0 0 0 1 2x x 2 . 3 2的特征向量12x 33 0 0 1 1 0 2 2 P P .令P11 0 0 ,l ,l . l123axby c,2cy a,bxcx2ay