高等流體力學(xué)第二章

1、高等流體力學(xué)第二章第1頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四 2.1 歐拉質(zhì)量守恒質(zhì)量守恒定理 上述積分的積分區(qū)域V是任選的，要使積分恒等于零，只有被積函 數(shù)等于零，質(zhì)量守恒定理 在流動(dòng)過程中流體團(tuán)體積V的大小和形狀可能會(huì)發(fā)生變化，但質(zhì)量保持不變。由雷諾輸運(yùn)定理，第2頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四 2.1 歐拉質(zhì)量守恒定常流動(dòng)和不可壓縮流體的連續(xù)方程 對(duì)于定常流動(dòng)， ，連續(xù)方程可簡化為，對(duì)于不可壓縮流體， ，連續(xù)方程可簡化為，第3頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四流體質(zhì)點(diǎn)可沿 線或 線流動(dòng)，此時(shí)其密度保持為常數(shù) 或 ， 因

2、此 ，但 ， 。2.1 歐拉質(zhì)量守恒 密度分層流動(dòng) 不可壓縮流體上述定義并不要求這個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)與另一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的密度相等，即不要求密度場為均勻場。密度分層流動(dòng)可能發(fā)生在大氣中（由空氣溫度變化引起），也可能發(fā)生在大洋中（由于水的含鹽量變化引起）。密度分層流動(dòng)第4頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四均質(zhì)不可壓縮流體 密度處處相等的不可壓縮流體不可壓縮流體均質(zhì)流體密度不是 x、y、z的函數(shù)密度也不是 t 的函數(shù)在絕大多數(shù)情況下，不可壓縮流體也是均質(zhì)的。物質(zhì)導(dǎo)數(shù)定義式均質(zhì)不可壓縮流體2.1 歐拉質(zhì)量守恒第5頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四 2.1 歐拉質(zhì)量

3、守恒 第二雷諾輸運(yùn)定理 證明：根據(jù)連續(xù)方程 ，又 于是，第6頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四2.2動(dòng)量守恒定理第7頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四 2.2動(dòng)量守恒定理積分形式的動(dòng)量方程 系統(tǒng)的動(dòng)量，作用在系統(tǒng)上的質(zhì)量力作用在系統(tǒng)上的表面力由動(dòng)量定理得積分形式的動(dòng)量方程系統(tǒng)中流體動(dòng)量的變化率等于作用在該系統(tǒng)上的質(zhì)量力和表面力之和。第8頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四 2.2動(dòng)量守恒定理微分形式的動(dòng)量方程 第9頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四 2.2動(dòng)量守恒定理用張量表示法表示動(dòng)量方程方程左邊表

4、示單位體積流體的動(dòng)量變化率：第一項(xiàng)是當(dāng)?shù)丶铀俣软?xiàng)；第二項(xiàng)是對(duì)流加速度項(xiàng)，由速度分布的不均勻性引起，即使是定常流動(dòng)這一項(xiàng)也可能不等于零。對(duì)流加速度項(xiàng)是非線性的。方程右邊第一項(xiàng)是應(yīng)力張量的散度，表示作用在單位體積流體上的表面力；第二項(xiàng)表示作用在單位體積流體上的質(zhì)量力。用張量表示法表示動(dòng)量方程，第10頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四 2.2動(dòng)量守恒定理 守恒形式的動(dòng)量方程 并矢是二階張量。第11頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四2.3能量方程第12頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四對(duì)于一個(gè)靜止的熱力學(xué)系統(tǒng)（或起始和終止?fàn)顟B(tài)處于

5、靜止的系統(tǒng)）：系統(tǒng)內(nèi)能的增加等于外力對(duì)系統(tǒng)所作的功與外界傳遞給系統(tǒng)的熱量之和。一個(gè)確定的流體團(tuán)也可看作一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)，流體質(zhì)點(diǎn)總在流動(dòng)中，設(shè)該系統(tǒng)偏離平衡態(tài)不遠(yuǎn)：系統(tǒng)總能量的變化率（包括內(nèi)能和動(dòng)能）等于外力對(duì)系統(tǒng)的作功功率與通過導(dǎo)熱向系統(tǒng)的傳熱功率之和。熱力學(xué)第一定理2.3能量方程第13頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四 2.3能量方程 積分形式的能量守恒方程 任取流動(dòng)系統(tǒng)體積V，外表面S，表面外法線單位矢量為 系統(tǒng)總能量， ， e 為單位質(zhì)量流體的內(nèi)能； 單位質(zhì)量流體的動(dòng)能 表面力作功功率， 質(zhì)量力作功功率， 傳熱功率， 熱通量離開系統(tǒng)表面時(shí)為正，這里求傳遞 給系統(tǒng)的

6、傳熱功率，所以積分號(hào)前加負(fù)號(hào)根據(jù)能量守恒原理得積分形式的能量方程，第14頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四 2.3能量方程 微分形式的能量方程 第二雷諾輸運(yùn)定理高斯定理第15頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四 2.3能量方程 機(jī)械能方程 動(dòng)量方程上述方程可看作在i方向的受力平衡式和速度作點(diǎn)乘，即方程兩邊都乘以 ，表示力的機(jī)械功功率，所以上式是機(jī)械能守恒方程。兩邊同乘 ，第16頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四2.3能量方程 內(nèi)能方程 上式左邊表示內(nèi)能的變化率，第一項(xiàng)是當(dāng)?shù)刈兓?，第二?xiàng)是對(duì)流變化率，是由于流體質(zhì)點(diǎn)從一個(gè)區(qū)域

7、運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)區(qū)域引起的。公式右邊是引起內(nèi)能變化的動(dòng)因，第一項(xiàng)表示由于表面力的作用引起的機(jī)械能向內(nèi)能的轉(zhuǎn)換功率，第二項(xiàng)則表示由于導(dǎo)熱從外界向系統(tǒng)內(nèi)部的傳熱功率。 總能量方程減去機(jī)械能方程第17頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四2.4Navier-Stokes方程 第18頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四 2.4Navier-Stokes方程 N-S方程 s是應(yīng)變率張量 動(dòng)量方程，本構(gòu)方程第19頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四不可壓縮流體(動(dòng)力粘性系數(shù)為常數(shù) ) 2.4Navier-Stokes方程 第20頁，共37頁，20

8、22年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四2.4Navier-Stokes方程 歐拉方程（ ） 第21頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四2.5能量方程第22頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四 稱耗損函數(shù)，表示流體變形時(shí)粘性應(yīng)力對(duì)單位體積流體的作功功率，這部分機(jī)械能向內(nèi)能的轉(zhuǎn)變是不可逆的，在一切流體和一切流動(dòng)中總大于零。 2.5能量方程 內(nèi)能方程，表示表面力作功功率，可包括兩部分：壓縮功功率，表示流體體積變化時(shí)，外部壓強(qiáng)在單位時(shí)間內(nèi)對(duì)單位體積流體作功的功率，這種轉(zhuǎn)變是可逆的；導(dǎo)熱功率第23頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四 2

9、.5能量方程 能量方程其它形式 內(nèi)能方程，連續(xù)方程，于是內(nèi)能方程可改寫為，熱力學(xué)關(guān)系式，則內(nèi)能方程可變換為，或上兩式分別是以熵和焓表示的能量方程第24頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四2.6 牛頓流體的基本方程組 第25頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四 2.6 牛頓流體的基本方程組 基本方程組 以上方程包括7個(gè)標(biāo)量方程，7個(gè)未知量：uj， ， p ，e， T ，方程組是封閉的。方程中出現(xiàn)的,等參數(shù)均可認(rèn)為是 p 和 T 的函數(shù)。對(duì)完全氣體，狀態(tài)方程和內(nèi)能公式可分別寫為 ， 。通?？紤]的質(zhì)量力是重力，此時(shí)單位質(zhì)量力可用重力加速度來表示 基本方程組

10、包括連續(xù)方程，N-S 方程，能量方程及狀態(tài)方程和內(nèi)能公式，第26頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四當(dāng)密度為常數(shù)時(shí)，上述連續(xù)方程和N-S方程共4個(gè)標(biāo)量方程，未知量uj、p也是4個(gè)，形成一個(gè)封閉的方程組。也就是說，壓強(qiáng)場和速度場只需求解以上方程組即可得到，然后再求解能量方程得到溫度場，流體動(dòng)力學(xué)問題和熱力學(xué)問題可分開求解，能量方程和連續(xù)方程、N-S方程不再耦合在一起，使問題得到簡化。 2.6 牛頓流體的基本方程組 不可壓縮流體（動(dòng)力粘性系數(shù)為常數(shù)） 第27頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四2.7 邊界條件第28頁，共37頁，2022年，5月20日，2

11、1點(diǎn)38分，星期四2.7 邊界條件 流體力學(xué)微分方程組是描述流體運(yùn)動(dòng)的普遍適用的方程組，要確定某種具體的流體運(yùn)動(dòng)，也就是要找出方程組的一組確定的解，還需要給出初始條件和邊界條件。初始條件就是在初始時(shí)刻流體運(yùn)動(dòng)應(yīng)該滿足的初始狀態(tài)，即t=t0時(shí)邊界條件指在流體運(yùn)動(dòng)邊界上方程組的解應(yīng)該滿足的條件，本節(jié)主要研究兩種介質(zhì)界面上的邊界條件。這里說的界面是指兩種介質(zhì)的接觸面，其中至少有一種介質(zhì)是我們所考慮的流體，并假設(shè)分界面兩邊的物質(zhì)互不滲透，原來的邊界在以后時(shí)刻永遠(yuǎn)是兩介質(zhì)的界面。 初始條件和邊界條件第29頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四2.7 邊界條件 曲面上的表面張力 表面張

12、力的合力指向凹面一側(cè)，與壓力差平衡。 為表面張力系數(shù)。 當(dāng)分界面兩邊為不同介質(zhì)時(shí)，界面上存在著表面張力，分界面兩側(cè)的壓強(qiáng)一般不相等，凹面一側(cè)的壓強(qiáng)會(huì)大于凸面一側(cè)的壓強(qiáng)。作兩個(gè)垂直于界面曲面切平面而且相互正交的平面，它們和界面曲面交線的曲率半徑分別為R1、R2，則曲面兩側(cè)壓強(qiáng)差可表示為 p1 - p2第30頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四2.7 邊界條件 液液分界面的邊界條件 動(dòng)力學(xué)邊界條件作用在界面兩側(cè)的表面力和表面張力相平衡，上式中 指向介質(zhì)1， R1、R2 的曲率半徑中心在 指向一側(cè)時(shí)取正值， 、 分別是介質(zhì) 1、2 的應(yīng)力張量。 是表面張力系數(shù)。將上式分解為法向

13、和切向分量，分界面兩側(cè)的切向應(yīng)力總是連續(xù)的；當(dāng)界面曲率不為零時(shí)，表面張力會(huì)導(dǎo)致法向應(yīng)力的一個(gè)突躍。介質(zhì)2介質(zhì)1第31頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四2.7 邊界條件 液液分界面的邊界條件 運(yùn)動(dòng)學(xué)、熱力學(xué)條件界面兩側(cè)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)速度相等（無滑移條件、粘附條件），界面兩側(cè)溫度和熱流量相等，介質(zhì)2介質(zhì)1第32頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四液固分界面邊界條件2.7 邊界條件固壁靜止時(shí)，在固體邊界上給定的條件是固壁的運(yùn)動(dòng)，而不是固體中的應(yīng)力，因此應(yīng)放棄動(dòng)力學(xué)邊界條件，第33頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四液氣分界面邊界條件2.7

14、 邊界條件由于氣體密度和粘度都很低，它的運(yùn)動(dòng)一般不會(huì)對(duì)液體產(chǎn)生顯著影響，應(yīng)當(dāng)放棄速度邊界條件而采用應(yīng)力邊界條件，設(shè) 為大氣壓強(qiáng)， 為液氣邊界面上的液體側(cè)壓強(qiáng)，自由面曲率中心在氣相一側(cè)，液體的粘性可忽略時(shí)，法應(yīng)力條件可寫為液氣第34頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四自由面的運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件2.7 邊界條件液氣邊界最典型的是水與大氣的分界面，即自由面。自由面的形狀通常是待求的內(nèi)容。自由面本身是運(yùn)動(dòng)和變形的，設(shè)其方程為，假定在自由面上的流體質(zhì)點(diǎn)始終保持在自由面上，則自由面流體質(zhì)點(diǎn)的法向速度，應(yīng)該等于自由面本身在該點(diǎn)的法向速度。第35頁，共37頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)38分，星期四上式用到點(diǎn)的自由面法向單位矢量 。自由面上 點(diǎn)在 t 時(shí)刻的法向速度為，設(shè)自由面上