電動力學(xué)教程時變電磁場

1、第四章 時變電磁場 4.1 波動方程 在時變得情況下，電場和磁場相互激勵，在空間形成電磁波，其能量以波的形式向前傳播，電磁波的傳播規(guī)律服從波動方程。由麥?zhǔn)戏匠炭梢酝茖?dǎo)出電磁場的波動方程。下面建立無源空間 的波動方程。取限定形式的麥?zhǔn)戏匠?(1)式兩邊取旋度代入(2)式再利用矢量恒等式和 (3)式 可得到同樣地，(2)式兩邊取旋度后可得無源空間電磁場的波動方程 波動方程的解是空間中沿某一特定方向的電磁波。所有電磁波的傳播問題就歸結(jié)為在給定邊界條件和初值條件下求波動方程的解。在有源空間 ，電磁場的波動方程表示為：證明：和無源空間的波動方程的證明類似，差別在于算子對源變量、J作用時不為0，要保留。

2、(作業(yè)) 4.2 時變場中的位函數(shù)1. 動態(tài)矢量位和標(biāo)量矢量位代入麥?zhǔn)戏匠?，有 也隨時間變化稱為動態(tài)標(biāo)量位。故可令對于磁感應(yīng)強度： 隨時間變化為動態(tài)矢量位(5)(6)2. 達(dá)朗貝方程到A和滿足的微分方程引入洛倫茨規(guī)范將(5)和(6)式分別代入麥克斯韋方程組得得到-達(dá)朗貝方程4.3 Poynting矢量和Poynting定理1. Poynting矢量的定義電磁場中電能密度和磁能密度時變場中的能量密度由于場隨時間變化，故空間各點的電磁能量密度也隨時間變化，從而引起能量的流動。為了描述能量的流動情況，引入一個新的矢量-能流密度矢量，即Poynting矢量(符號S)。其大小定義為：單位時間流過與能量

3、流動方向垂直的單位面積的能量。故又稱為功率密度矢量。其方向規(guī)定為： 能量的流動方向 (=波的傳播方向)。2. Poynting定理-電磁能量守恒定律 利用麥?zhǔn)戏匠探M可以導(dǎo)出Poynting矢量和Poynting定理的表達(dá)式。上兩式相減若介質(zhì)是線性、均勻且各向同性的，則介質(zhì)參數(shù)(、)均為常數(shù)，那么上式右邊各項：因此上式改寫為：利用矢量恒等式上式寫為：兩端體積分，并利用散度定理式中右邊第一項就是焦耳定理的積分式，代表體積的介質(zhì)中所消耗的功率，即單位時間體積中消耗的電磁能量；第二項中的積分是體積中的電磁能量，因此該項代表單位時間體積中增加的電磁能量。故等式右邊實際上代表單位時間內(nèi)，經(jīng)邊界流入體積的總

4、的電磁能量，即流入功率 另一方面，根據(jù)Poynting矢量的定義，單位時間流過任意曲面A的能量(i.e.功率)為A流入閉合曲面A的功率對比(a)、(b)兩式，可得Poynting矢量S的表達(dá)式說明：該式給出的是Poynting矢量S的瞬時值表達(dá)式。 S、E、H三者彼此正交且構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。 將Poynting矢量的表達(dá)式代入(*)式，得到(為避免混淆，將面積S改寫成A)稱為Poynting定理，也就是電磁能量的守恒定律。定理的物理意義：流入體積V內(nèi)的電磁功率等于體積V內(nèi)電磁能量的增加率與體積V內(nèi)損耗的電磁功率之和。例題： 已知無源的自由空間中，時變電磁場的電場強度求：(1)磁場強度；(2)瞬

5、時坡印廷矢量；(3)平均坡印廷矢量。解: (1)(2)(3) 物理量的某種“流”顯然是個和時間有關(guān)的概念。比如能量的流動(“能流”)、動量的流動(“動量流”)、電荷的流動(“電荷流”，即電流)、粒子的流動(“粒子流”)。流的概念反映了物理量的時空上的動態(tài)變化。物理量的“流”及“流密度” 流 物理場T中物理量T的流定義為單位時間內(nèi)垂直流過面積dA上的T的值，或者單位時間內(nèi)面元dA上物理量T的變化量， i.e. dT/dt。 流密度 為單位時間內(nèi)垂直流過單位面積的T的值，或者單位時間內(nèi)單位面積上物理量T的變化量， i.e. dT/dt/dA。 電荷分布場(標(biāo)量場)中的電荷流（即電流）及電荷流密度（

6、即電流密度） （q是電荷量） 粒子流和粒子流密度動量場中的動量流和動量流密度 （p是動量）（N是粒子數(shù)） 4.4 時諧電磁場1. 時諧場的復(fù)數(shù)表示時諧場： 電磁場變量隨時間正弦或余弦式地變化。 時變電磁場的任一坐標(biāo)分量隨時間作正弦變化時，其振幅和初相也都是空間坐標(biāo)的函數(shù)。 以電場強度為例， 在直角坐標(biāo)系中，實振幅初相利用復(fù)數(shù)來描述時諧電磁場場量，可使數(shù)學(xué)運算簡化：復(fù)振幅場矢量的復(fù)數(shù)表示其中稱為電場強度復(fù)矢量。它只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，與時間t無關(guān)。這樣我們就把時間t和空間x、y、z的四維(x, y, z, t)矢量函數(shù)簡化成了空間(x, y, z)的三維函數(shù)，即 時間因子若要得出瞬時值，只要將其復(fù)

7、振幅矢量乘以ejt并取實部，便得到其相應(yīng)的瞬時值： 時諧場復(fù)數(shù)場矢量的時間導(dǎo)數(shù)：一階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)其它場變量的復(fù)數(shù)形式可 依照寫出：例題： 已知場矢量的瞬時值 請寫出其復(fù)數(shù)形式。解：2. 麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式是分別對其實部和虛部進(jìn)行的，并不改變其實部和虛部的性質(zhì)，故在復(fù)數(shù)運算中，對復(fù)數(shù)的微分和積分運算其中L是實線性算子，如 等，因此麥?zhǔn)戏匠坦十?dāng)t任意時， 類似地 復(fù)數(shù)形式的麥?zhǔn)戏匠陶f明： 復(fù)數(shù)形式的麥?zhǔn)戏匠讨?，所有場、源變量均為?fù)數(shù)。所有場變量都僅僅是空間的函數(shù)(反映場的空間分布)，方程的解剩以時間因子ejt后再取實部就是真實的時諧場的解。復(fù)數(shù)形式的麥?zhǔn)戏匠? 與含時的麥?zhǔn)戏匠瘫容^，其復(fù)數(shù)形式

8、實現(xiàn)了時空分離，因此使方程的求解更簡單。對時諧平面波 -jk3. 亥姆霍茲方程在無源空間中，電磁波滿足波動方程在時諧場的情況下，（I）式中（II）亥姆霍茲方程空間的函數(shù)，該方程就是復(fù)場矢量滿足的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。與方程(I)比較，亥姆霍茲方程實現(xiàn)了時空分離，求解更容易。因此時諧場的傳播問題就歸結(jié)為亥姆霍茲方程的求解。亥姆霍茲方程的解乘以時間因子ejt后再取實部就是真實的時諧場的解，即方程(II)中的場矢量是復(fù)場矢量，僅僅是亥姆霍茲方程的每一個解代表電磁波在空間的一種可能的分布形式；每一種分布形式稱為一種電磁波模式或波型。4. 平均能流密度矢量電磁場能流密度矢量S的瞬時值的表達(dá)式這里對于時諧場(實際上應(yīng)取實部)在實際應(yīng)用時，能流密度的時間平均值，即平均能流密度矢量（或平均Poynting矢量），更有意義。對時諧電磁場，當(dāng)場矢量用