2021課標(biāo)版理數(shù)高考總復(fù)習(xí)專題10.1排列、組合（講解練）理科數(shù)學(xué)教學(xué)講練

1、專題十計數(shù)原理 10.1排列、組合高考理數(shù)考點(diǎn)計數(shù)原理、排列、組合考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.兩個計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理聯(lián)系兩個計數(shù)原理都是對完成一件事的方法種數(shù)而言的區(qū)別一每類辦法都能獨(dú)立完成這件事,它是獨(dú)立的、一次的,且每次得到的是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨(dú)立完成這件事,缺少任何一步也不可,只有各步驟都完成了才能完成這件事區(qū)別二各類辦法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是相互依存的,并且既不能重復(fù)也不能遺漏2.排列與排列數(shù)(1)排列:從n個不同元素中取出m(mn)個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元

2、素中取出m個元素的一個排列.(2)排列數(shù):從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),記作.注意易混淆排列與排列數(shù),排列是一個具體的排法,不是數(shù)而是一件事,而排列數(shù)是所有排列的個數(shù),是一個正整數(shù).3.組合與組合數(shù)(1)組合:從n個不同元素中取出m(mn)個元素組成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.(2)組合數(shù):從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),記作.注意易混淆排列與組合問題,區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān),排列問題與順序有關(guān),組合問題與順序無關(guān).4.

3、排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=;(2)=.(n,mN*,且mn)性質(zhì)(1)0!=1;(2)=n!;(3)=;(4)=+考向突破考向一兩個基本計數(shù)原理的應(yīng)用例1如圖所示,用五種不同的顏色分別給A、B、C、D四個區(qū)域涂色,相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,若允許同一種顏色多次使用,則不同的涂色方法共有種.解析按區(qū)域分四步:第一步,A區(qū)域有5種顏色可選;第二步,B區(qū)域有4種顏色可選;第三步,C區(qū)域有3種顏色可選;第四步,由于D區(qū)域可以使用區(qū)域A已選擇的顏色,故也有3種顏色可選.由分步乘法計數(shù)原理知,共有5433=180(種)涂色方法.答案180考向二有限制條件的排

4、列問題或組合問題例2(2017課標(biāo),6,5分)安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有()A.12種B.18種C.24種D.36種解析第一步:將4項工作分成3組,共有種分法.第二步:將3組工作分配給3名志愿者,共有種分配方法,故共有=36種安排方式,故選D.答案D方法1求解排列問題的常用方法方法技巧直接法直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法相鄰問題捆綁處理,即可以把相鄰元素看成一個整體與其他元素排列,同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問題插空處理,即先考慮不受限制元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空位中先整體后局部“小

5、集團(tuán)”排列問題中,先整體后局部除法對于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以定序元素的全排列間接法正難則反,等價轉(zhuǎn)化例1(2019安徽六安一中高二月考,20)在班級活動中,4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目:(寫出必要的數(shù)學(xué)式,結(jié)果用數(shù)字作答)(1)三名女生不能相鄰,有多少種不同的站法?(2)四名男生相鄰有多少種不同的站法?(3)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少種不同的站法?(4)甲、乙、丙三人按高矮從左到右有多少種不同的站法?(甲、乙、丙三位同學(xué)身高互不相等)(5)現(xiàn)有7個座位連成一排,僅安排4個男生就座,恰好有兩個空座位相鄰的不同坐法共有多少種?解析(1)根據(jù)題意,分2

6、步進(jìn)行分析:將4名男生全排列,有=24種情況,排好后有5個空位.在5個空位中任選3個,安排3名女生,有=60種情況.則三名女生不能相鄰的排法有2460=1 440種.(2)根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:將4名男生看成一個整體,考慮4人間的順序,有=24種情況.將這個整體與三名女生全排列,有=24種情況.則四名男生相鄰的排法有2424=576種.(3)根據(jù)題意,分2種情況討論:女生甲站在右端,其余6人全排列,有=720種站法.女生甲不站在右端,甲有5種站法,女生乙有5種站法,將剩余的5人全排列,安排在剩余的位置,有=120種站法,則此時有55120=3 000種站法.則一共有720+3 000=3

7、720種站法.(4)根據(jù)題意,首先把7名同學(xué)全排列,共有種結(jié)果,甲、乙、丙三人內(nèi)部的排列共有=6種結(jié)果,要使甲、乙、丙三個人按照高矮順序排列,結(jié)果數(shù)只占6種結(jié)果中的一種,則有=840種.(5)根據(jù)題意,7個座位連成一排,僅安排4個男生就座,還有3個空座位,分2步進(jìn)行分析:將4名男生全排列,有種情況,排好后有5個空位,將3個空座位分成2、1的2組,在5個空位中任選2個,安排2組空座位,有種情況,則有=480種排法.方法2分組、分配問題的求解策略分組、分配問題是排列組合的綜合問題,解題思想是先分組后分配.(1)分組問題屬于“組合”問題,常見的分組方法有三種:完全均勻分組,每組元素的個數(shù)都相等;部分

8、均勻分組,應(yīng)注意不要重復(fù);完全非均勻分組,這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.(2)分配問題屬于“排列”問題,常見的分配方法有三種:相同元素的分配問題,常用“擋板法”;不同元素的分配問題,利用分步乘法計數(shù)原理,先分組,后分配;有限制條件的分配問題,采用分類法求解.例2按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;(7)甲得1

9、本,乙得1本,丙得4本.解析(1)無序不均勻分組問題.先選1本,有種選法;再從余下的5本中選2本,有種選法;最后余下3本全選,有種選法.故共有=60(種).(2)有序不均勻分組問題.由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)題基礎(chǔ)上,還應(yīng)考慮再分配,共有=360(種).(3)無序均勻分組問題.先分三步,則應(yīng)是種方法,但是這里出現(xiàn)了重復(fù).不妨記六本書為A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,記該種分法為(AB,CD,EF),則種分法中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有種情況,而這種情況僅是AB,CD,EF的順序不同,因此只能作為一種分法,故分配方式有=15(種).(4)有序均勻分組問題.在(3)的基礎(chǔ)上再分配給3